? 湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院 趙 薇 徐運閣

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出高中數(shù)學的課程目標之一就是發(fā)展學生的核心素養(yǎng),學者章建躍也提出“教好數(shù)學就是落實核心素養(yǎng)”.那么,六大核心素養(yǎng)怎樣才能落地生根?什么樣態(tài)的知識教學有利于學科核心素養(yǎng)的發(fā)展?學者李松林認為問題驅動的整合式教學有利于學生核心素養(yǎng)的發(fā)展,并提出學習即持續(xù)的自主建構,學生的學習及核心素養(yǎng)的發(fā)展最終依靠的都是學生本身的內源性學習力.因此,教師需要做的就是通過自己精心設計的教學來驅動學生的內源性學習力,無疑問題驅動式教學就是有效的教學模式之一.

1 教材分析

三角恒等變換是高一學生需要掌握的重點內容,兩角差的余弦公式是“三角恒等變換”這一節(jié)的基礎和出發(fā)點,也是前面所學三角函數(shù)知識的繼續(xù)與發(fā)展.由于和與差內在的聯(lián)系性與統(tǒng)一性,教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎,使公式的證明過程盡量簡潔明了,易于學生理解和掌握.教材沒有直接給出兩角差的余弦公式,因此可以利用問題驅動學生結合本章已學的知識與方法進行自主探究,引導學生大膽猜想、小心求證,鼓勵學生發(fā)散思維、創(chuàng)新方法.

2 教學目標

(1)掌握兩角差的余弦公式,能正確運用公式進行簡單的求值運算;

(2)經(jīng)歷用平面直角坐標系、單位圓、兩點間的距離公式推導兩角差的余弦公式的過程,進一步體會平面直角坐標系和單位圓對于三角函數(shù)的重要作用;

(3)在探究過程中,體會“轉化與化歸”“分類討論”“數(shù)形結合”等數(shù)學思想方法,體會數(shù)學思維的合理性與條理性.

3 教學過程

3.1 課程引入,提出問題

問題1某城市電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上(如圖1),沿著山坡有一條坡度為15°,長為200 m的小路可以從山底直達塔底,在小路最底端測得電視信號發(fā)射塔塔尖的仰角為60°,求塔尖到地面的距離.

圖1 現(xiàn)實情境

圖2 數(shù)學模型

追問1:cos 15°=?

追問2:cos 15°=cos(60°-45°)=?

追問3:更一般地,對于任意角α,β,cos(α-β)=?

設計意圖:從實際問題出發(fā),有利于強調數(shù)學與實際的聯(lián)系,使學生感受到研究差角公式的必要性,讓學生經(jīng)歷將現(xiàn)實情境抽象成數(shù)學問題的過程,有利于培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng).強調用已知角表示未知角,讓學生體會將未知轉化為已知的轉化與化歸思想.

3.2 聯(lián)系舊知,形成猜想

問題2同學們之前見過哪些兩角差的余弦呢?

追問1:觀察這6個式子的結果,有什么發(fā)現(xiàn)嗎?

師生活動:學生回答,教師總結.這6個式子的結果涉及到cosβ,sinβ,cosα,sinα這4個三角函數(shù)值,于是猜想cos(α-β)與cosβ,sinβ,cosα,sinα有關!

追問2:cos(α-β),cosβ,sinβ,cosα,sinα的數(shù)學意義是什么?

師生活動:引導學生根據(jù)三角函數(shù)的定義回答.當角的始邊與x軸的非負半軸重合時,cosα與sinα;cosβ與sinβ分別是角α,β的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標;cos(α-β)是角α-β的終邊與單位圓交點的橫坐標.

設計意圖:該環(huán)節(jié)體現(xiàn)了從特殊到一般的思想,聯(lián)系以前學過的誘導公式,讓學生經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)的過程,而不是直接告訴學生結論.最后引導學生從最本質的定義出發(fā)說出各三角函數(shù)值的數(shù)學意義,也意在提示學生要注重對數(shù)學定義的理解和記憶.

3.3 探究發(fā)現(xiàn),得出結論

利用平面直角坐標系、單位圓,結合兩點之間的距離公式,推導兩角差的余弦公式.

師生活動:學生動手操作,將上述數(shù)學符號在圖中表示出來.有學生將角α,β的終邊畫在了一起(預設),此時α=β+2kπ(k∈Z),對應cos(α-β)=1.接著探究一般情況,假設α,β的終邊不重合,也就是α≠β+2kπ(k∈Z),提示學生不必糾結角α,β終邊的位置問題,因為cos(α-β)=cos(β-α),為了研究方便這里將角α的終邊畫在角β終邊的上方,就可得到角α,β的終邊與單位圓交點的坐標分別為P1(cosα,sinα),A1(cosβ,sinβ).

問題3角α-β的始邊、終邊分別是什么?

師生活動:有學生提出∠A1OP1就是α-β(預設).教師提示,根據(jù)角的減法,角α-β的始邊就是角β的終邊,角α-β的終邊就是角α的終邊,則α-β=∠A1OP1+2kπ(k∈Z),但此時∠A1OP1沒有在標準位置上,也就是始邊沒有與x軸的非負半軸重合,無法得到cos(α-β),所以將角α-β的始邊、終邊一起旋轉,使其始邊與x軸的非負半軸重合,則角α-β的終邊與單位圓交點P的坐標為(cos(α-β),sin(α-β)),令單位圓與x軸正半軸的交點為A(1,0).

問題4觀察圖3,并聯(lián)系剛才得到的點的坐標,可以得到什么等量關系?

圖3

追問:到此我們的探究過程就結束了嗎?

師生活動:教師指出上述結果是在α≠β+2kπ(k∈Z)的前提下得到的,還需驗證α=β+2kπ(k∈Z)時等式是否成立.經(jīng)驗證,特殊情況下等式依然成立.因此,當α,β為任意角時,都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

設計意圖:在該環(huán)節(jié),引導學生分類討論,體現(xiàn)數(shù)學證明的嚴謹性.同時,讓學生知道平面直角坐標系和單位圓在解決三角函數(shù)問題中的重要作用,而且證明過程環(huán)環(huán)相扣,體現(xiàn)了數(shù)學的邏輯性,有利于培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng).

3.4 牛刀小試,加深理解

問題5利用兩角差的余弦公式求cos 15°的值.

引導學生通過15°=60°-45°和15°=45°-30°兩種方式求解,具體過程如圖4.

圖4 該題對應的教學PPT(截取)

設計意圖:幫助學生掌握兩角差的余弦公式的應用,拓展數(shù)學思維,體會角拆分的多樣性決定了變換的多樣性,但是最后都殊途同歸.

追問:現(xiàn)在能解決“求電視信號發(fā)射塔塔尖到地面的距離”問題嗎?

師生活動:學生計算,教師播放PPT展示答案.

3.5 深入思考,更新認知

問題6問題5中分別令α,β為特殊值來求得cos 15°的值,能否令α,β為其他形式,從而得到一些公式?

師生活動:教師提示,若令β=-β,則可以得到cos[α-(-β)]=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,這個公式叫做兩角和的余弦公式;還可以令β=-α,則可以得到cos[α-(-α)]=cos 2α=cos2α-sin2α,這個公式是二倍角的余弦公式.給出課后思考題——利用今天所學的兩角差的余弦公式推導剩下的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式.

設計意圖:幫助學生理解α,β的任意性,同時理解公式不僅能正用、逆用,還能變形用.

3.6 課堂小結,鞏固知識

問題7本節(jié)課你學到了哪些知識?

(1)兩角差的余弦公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

(2)體會到了平面直角坐標系、單位圓在解決三角函數(shù)問題中的便利性.

(3)解決數(shù)學問題的一些思想和方法:轉化與化歸、由特殊到一般、分類討論、數(shù)形結合.

4 教學反思

4.1 反思學生

學生雖有一定的認知基礎,但在單位圓中證明兩角差的余弦公式,容易犯思維不嚴密的錯誤.教學時,需要引導學生正確表述終邊與單位圓的各個交點,找到正確的等量關系,再結合兩點間距離公式計算差角終邊與單位圓交點間的距離并化簡.

4.2 反思教學

本節(jié)課的主要流程為“創(chuàng)設問題情境—抽象數(shù)學問題—形成猜想—驗證猜想—得出結論—解決問題—深化結論”,以問題鏈的形式驅動學生思考,以問題情境和學生的舊知(誘導公式)為出發(fā)點,利用研究三角函數(shù)的常用工具——平面直角坐標系和單位圓,不斷探究,自然“生長”出新的知識點——兩角差的余弦公式,然后回歸到最開始的問題情境解決問題,最后深化主題,將公式的變形應用留作課后思考題,引發(fā)學生的進一步思考.整個教學過程讓學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題,其間滲透了數(shù)學思想方法,培養(yǎng)了學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng).