周炳

[摘? ?要]在學完任意角的三角函數(shù)后，接下來就是三角函數(shù)的恒等變換，而兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程是學習后面三角函數(shù)恒等變換的重要基礎(chǔ)，兩角和與差的余弦公式、兩角和與差的正弦公式及正切公式都是在兩角差的余弦公式上變形得來的，所以兩角差的余弦公式的證明與推導(dǎo)作為基礎(chǔ)公式，得到了廣大高中教師與學生的高度關(guān)注.引導(dǎo)學生認真體會各版本教材的兩角差的余弦公式的推導(dǎo)方法，能提高學生對公式的理解與記憶能力，能幫助學生有效解決恒等變換問題.

[關(guān)鍵詞]兩角差;余弦公式;推導(dǎo)方法;單位圓;三角函數(shù)線

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0036-02

本文主要對不同版本高中數(shù)學教材的兩角差的余弦公式的推導(dǎo)方法以及筆者在貴州省榕江第一中學的一節(jié)公開課中所講解的兩角差的余弦公式的推導(dǎo)方法進行論述.

一、利用三角函數(shù)線的定義推導(dǎo)兩角差的余弦公式

[反思]“利用三角函數(shù)線的定義來推導(dǎo)兩角差的余弦公式”這一推導(dǎo)方法學生很難想到，需要畫的輔助線太多，但是輔助線畫出來以后容易理解. 另外，該推導(dǎo)方法的另一個難題在于，公式都是在角[α、β]均為銳角的情況下進行推導(dǎo)與證明的，所以還需進一步考慮角[α、β]從銳角向鈍角以及任意角的推廣問題.在實際教學中學生反饋“很難想到該方法”以及“任意角的推廣有難度”.

二、利用向量數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式

[反思]利用向量數(shù)量積的定義以及向量數(shù)量積的坐標運算推導(dǎo)余弦的差角公式可以避免煩瑣的幾何輔助線及對角度范圍的討論.將向量的數(shù)量積的概念與坐標運算的兩種形式有機結(jié)合起來，充分體現(xiàn)了向量在高中數(shù)學中的基礎(chǔ)作用.在實際教學中，由于我們還沒有學習平面向量，因此實際教學起來難度較大.

三、利用面積恒等推導(dǎo)兩角差的余弦公式

四、利用三角形全等的方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式

五、利用兩點間的距離公式推導(dǎo)兩角差的余弦公式

（特約編輯 安 平）