? 江蘇省海安高級中學 張 梅

在教師教學與學生學習過程中,合理構建函數(shù),可以更好地了解與認識、處理與解決相關問題,是數(shù)學學習與數(shù)學解題中比較常用的一種基本技巧與方法.而函數(shù)作為高中數(shù)學的一條主線,是對現(xiàn)實問題的一種具體數(shù)學抽象,利用函數(shù)模型加以合理處理,特別在一些代數(shù)式、方程、不等式、解三角形等其他知識中,或合理改進,或無中生有,構造相應的函數(shù)模型,用函數(shù)的語言(包括概念、圖象與基本性質(zhì)等)來表達相關的數(shù)學問題,從而使得問題得以巧妙解決.

1 破解代數(shù)式問題

分析:將條件關系式看作關于x的方程,利用求根公式用含y的關系式來表示x,再代入所求的代數(shù)關系式,通過構造函數(shù)f(y),利用導數(shù)法確定所求代數(shù)關系式的最小值.

解析:由x+4y=x2y3,整理可得

y3x2-x-4y=0.

點評:借助合理數(shù)學建模,利用方程的巧妙轉化與相關根的求解,結合代數(shù)式的變形,自然聯(lián)想到通過構建相應的函數(shù)解決問題.導數(shù)法是破解一些代數(shù)關系式最值問題常用的技巧方法,關鍵是通過合理變形,將代數(shù)關系式轉化為只含一個參數(shù)的函數(shù)關系式.

2 破解方程問題

例2(2023屆廣東省深圳市六校高三第一次聯(lián)考數(shù)學試卷·8)已知x1是lnx+x=5的根,x2是ln (4-x)-x=1的根,則( ).

A.x1+x2=4 B.x1+x2∈(5,6)

C.x1+x2∈(4,5) D.x1+x2=5

分析:結合對應方程的根,通過“元”的認識,進行整體化思維,合理轉化方程,巧妙同構函數(shù).利用導數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性,結合兩函數(shù)值的相等關系,進而建立函數(shù)值所對應的自變量之間的關系,最后得以確定兩方程的根的和式的值.

解析:由ln (4-x)-x=1,可得

ln (4-x)+4-x=5.

根據(jù)題意,可得lnx1+x1-5=0,ln (4-x2)+4-x2-5=0.

構造函數(shù)f(x)=lnx+x-5,x>0,則有f(x1)=0,f(4-x2)=0,從而f(x1)=f(4-x2).

所以有x1=4-x2,即x1+x2=4.

故選擇答案:A.

點評:借助整體化思維以及方程的轉化與對應函數(shù)的同構,利用導數(shù)及其應用來分析并確定函數(shù)的單調(diào)性,利用兩函數(shù)值相等的條件進行性質(zhì)的應用,從而得以方程化處理問題.借助方程的轉化與函數(shù)的同構,通過函數(shù)單調(diào)性的確定,從“數(shù)”的視角來合理構建,巧妙破解.

3 破解不等式問題

分析:不失一般性確定變量的大小關系,進而根據(jù)原不等式進行恒等變形與轉化,合理構建函數(shù),結合函數(shù)值的大小關系來確定該函數(shù)的單調(diào)性,通過求導處理,結合導函數(shù)所對應的不等式恒成立來轉化,結合不等式的性質(zhì)以及對應函數(shù)的單調(diào)性來確定參數(shù)的取值范圍問題.

解析:不妨設1≤x10.

即x1(lnx2+m)

因為函數(shù)y=1-lnx在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞減,所以1-lnx的最大值為1-ln 1=1.

所以m≥1.

故填答案:[1,+∞).

點評:借助不等式的巧妙轉化與變形,通過合理構建,結合同構函數(shù)法進行處理是破解此類問題中比較常見的技巧方法.破解的關鍵就是合理恒等變形與轉化對應的不等式或函數(shù)式,進而合理構建,利用函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性)來合理轉化,進而得以巧妙求解.

4 破解其他問題

分析:由已知結合余弦定理建立不等式b2>a2+c2,又結合三角形的性質(zhì)知a+c>b,放縮處理建立對應的不等式,通過換元處理構建單變量函數(shù),從不等號兩邊分別利用構建函數(shù)并結合求導處理,通過函數(shù)的單調(diào)性與極值來確定對應的取值范圍,進而得以確定其對應的取值范圍問題.

解析:由題意可知cosB<0,結合余弦定理,有

b2=a2+c2-2accosB>a2+c2.

又由三角形的性質(zhì),知a+c>b,則當c≥a時,

點評:涉及解三角形最值問題的常見技巧策略是利用不等式和消元構建函數(shù)求解,多元變量可以逐個消元,也可以利用齊次消元,還可以利用某些不等關系消元.構建函數(shù),利用求導處理,是破解此類問題是比較有效的基本手段與方法之一.

構建函數(shù)既是一種方法,更是一種意識.合理根據(jù)數(shù)學思維方式,結合函數(shù)的概念、圖象與基本性質(zhì)等,建立起與相關問題相吻合的函數(shù)模型,合理改進,巧妙創(chuàng)新.在數(shù)學解題過程中不斷學習、深入、適應、模仿、套用、改進并創(chuàng)新,從而更加深入地借助函數(shù)來解決一些相關問題,不斷加深對相應數(shù)學概念的掌握、數(shù)學知識的理解以及數(shù)學模型的應用,舉一反三,融會貫通,進而提高數(shù)學能力,培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).