潘良海

［摘? 要］ 傳統(tǒng)的逐課教學(xué)有時會影響單元教學(xué)目標的實現(xiàn)以及學(xué)生完整認知體系的建構(gòu)。研究者以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元教學(xué)為例，通過對教材內(nèi)容的整合和拓展，形成了完整的整數(shù)乘法知識結(jié)構(gòu)，不僅提升了教學(xué)效率，還發(fā)展了學(xué)生學(xué)習(xí)能力。

［關(guān)鍵詞］ 逐課教學(xué)；整合；拓展

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)遵循由低到高、由易到難的邏輯順序，前面的知識往往是后面知識的基礎(chǔ)和前提。因此，對數(shù)學(xué)知識的教學(xué)不能僅停留于本節(jié)內(nèi)容，教師應(yīng)該著眼于本單元、本學(xué)期甚至整個小學(xué)段，用全局的眼光去思考，用整體的思路去建構(gòu)教學(xué)體系，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。筆者在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時，從單元整合思路出發(fā)，將新知與舊知進行串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生探究整數(shù)運算的秘密。

一、教學(xué)分析

1. 內(nèi)容分析

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是整數(shù)乘法的重要組成部分，這部分內(nèi)容既與前面所學(xué)的多位數(shù)乘一位數(shù)有密切的聯(lián)系，又為后面學(xué)習(xí)多位乘法做好了鋪墊，還是除數(shù)是兩位數(shù)的除法運算的思維基礎(chǔ)。

在本單元教學(xué)中，大多數(shù)教師習(xí)慣按照教材順序分五步教學(xué)：第一步，學(xué)習(xí)乘數(shù)是整十數(shù)乘法的口算；第二步，學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算；第三步，學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)不進位的筆算；第四步，學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的進位筆算；第五步，進行練習(xí)鞏固。

教學(xué)內(nèi)容由易到難地逐層深入，順應(yīng)了學(xué)生的思維發(fā)展。但是縱觀以上內(nèi)容不難發(fā)現(xiàn)，這樣的教學(xué)安排不利于結(jié)構(gòu)化教學(xué)的實施，不利于學(xué)生整體認知體系的建構(gòu)。其實，第一步內(nèi)容對于學(xué)生來講并不難，學(xué)生完全可以將“十位數(shù)乘一位數(shù)”的方法進行遷移，自主完成該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)。無論是從結(jié)構(gòu)化教學(xué)的角度來分析，還是從教學(xué)重難點來考量，在本單元教學(xué)中教師有必要將該部分內(nèi)容進行整合，將散落于不同年級的知識點進行串聯(lián)，打通知識方法間的聯(lián)系，從而有效提升學(xué)生的知識遷移能力，提高教學(xué)效率。

2. 學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容前，學(xué)生已有了多位數(shù)乘一位數(shù)的運算經(jīng)驗。筆者結(jié)合課前導(dǎo)學(xué)發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生已經(jīng)能夠獨立完成整十數(shù)乘法以及兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算。不過大多數(shù)學(xué)生在運算時主要依靠模仿，對具體的算理并不明晰，并且學(xué)生欠缺筆算的經(jīng)驗。

結(jié)合學(xué)生反饋不難發(fā)現(xiàn)，本單元教學(xué)的難點為兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算。教師若想幫助學(xué)生突破難點，則應(yīng)該讓學(xué)生明晰算理，讓學(xué)生知曉每次運算后積的表征和明確積的定位；同時，通過對比分析、方法類推等教學(xué)，幫助學(xué)生形成完善的認知。

二、課時安排

基于以上分析，在單元教學(xué)中，筆者將教學(xué)內(nèi)容進行了重組和拓展。

第一課：將教材中的前三課內(nèi)容進行整合，歸結(jié)為“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算（不進位）”；

第二課：在第一課的基礎(chǔ)上安排1節(jié)拓展課，讓學(xué)生追隨古人的思路去探尋蘊含其中的算理，完成知識的傳承和內(nèi)容的深化；

第三課：完成“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算（進位）”。有了前面的鋪墊，學(xué)生在學(xué)習(xí)進位乘法時能夠信手拈來；

第四課：進行綜合練習(xí)，完成知識的鞏固和認知體系的建構(gòu)。

通過這樣的整合和拓展，筆者將原來的5節(jié)課縮減成4節(jié)課，不僅提高了教學(xué)的效率，而且凸顯了教學(xué)重難點，有助于學(xué)生提升學(xué)習(xí)能力。

三、重點課例設(shè)計與實踐

1. 整合課

（1）教學(xué)目標

掌握筆算方法，明晰算理，能夠正確地完成運算；借助具體應(yīng)用，感悟運算價值，形成愉悅的學(xué)習(xí)情感。

（2）教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：情境引入，認識算理

師：昨天老師請你們幫的忙，你們還記得嗎？

生（齊聲答）：記得。

師：很好，我們先回顧一下問題。（教師PPT出示問題）

問題1： 某校隊列表演團招募學(xué)員，隊列比賽要求每行有14人，共12行，你知道需要招募多少學(xué)員嗎？

師：說一說，你們是如何解決這個問題的？

生1：可以用畫圖法，簡捷、直觀。

師：你是如何畫的呢？

生1：這個很簡單，如圖1。（教師展示圖1）

師：這是一個辦法，不過這樣一個一個地畫需要很長的時間，還有沒有其他的畫法呢？

（教師選擇了兩個有代表性的畫法進行展示，如圖2和圖3）

師：這幾幅圖你們看懂了嗎？

生2：其實這3張圖所要表達的意思是相同的，就是把12個14加起來。

師：很好，通過一個一個地相加算出最終的結(jié)果為168。雖然我們通過以上過程得到了答案，但是卻花費了較多的時間。從時間成本的角度來思考，以上過程如何優(yōu)化呢？

生3：可以用乘法來運算，算式為14×12，不過這個我們好像還沒有學(xué)。

師：沒有學(xué)過是不是就不能算了呢？

生4：我會算。（教師讓學(xué)生板演運算過程）

14×12=14×2×6=168（人）

在生4的啟發(fā)下，學(xué)生給出了不同的運算過程。比如，14×12=14×3×4=168（人），14×12=14×（2+10）=14×2+14×10=28+140=168等。通過拆分12，學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為自身熟悉的“兩位數(shù)乘一位數(shù)”的運算問題。

師：剛剛老師巡視發(fā)現(xiàn)，還有學(xué)生利用豎式法完成了運算。（教師展示學(xué)生運算結(jié)果，如圖4）

師：在解決同一個問題時，大家用了不同的方法，比如畫圖法、口算法、豎式法等。在同一種方法中大家給出了不同的表現(xiàn)形式，為了便于大家理解，現(xiàn)在我將大家解決問題的方法重新組合（如圖5），你有什么發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計意圖：環(huán)節(jié)1的教學(xué)充分調(diào)動了學(xué)生元認知。在探究環(huán)節(jié)教師預(yù)留充足的時間讓學(xué)生展示，并通過對比分析，溝通了不同方法之間的聯(lián)系，為學(xué)生更好地理解算理做好了鋪墊。

環(huán)節(jié)2：溝通聯(lián)系，理解算理

師：對比以上三種不同的運算方法，你有什么發(fā)現(xiàn)？誰來說一說？（很多學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了蘊含其中的秘密，都躍躍欲試）

生5：它們的實質(zhì)是一樣的。口算中的14×2，其與豎式中的第一步相對應(yīng)，就是圖1中的前2行；口算中的14×10，其與豎式中的第二步相對應(yīng)，就是圖1中剩下的10行；28＋140＝168，就是豎式的最后一步，代表圖1中的12行。

師：你們認可生5的說法嗎？（生點頭表示贊成）

師：說得很好，豎式中的28是14與12中的個位2相乘得到的，就是口算中的第一步，圖1中的前兩行。誰來說一說豎式中的140是怎么得到的？168呢？

生6：豎式中的140是14與12中的十位1相乘得到的，就是口算中的14×10，對應(yīng)圖1中的10個14。

生7：168就是12個14。

師：你們太棒了，找到了不同方法間的聯(lián)系，理解了運算的實質(zhì)。

設(shè)計意圖：通過對比分析，不僅讓學(xué)生看懂了豎式運算，而且明晰了豎式運算的本質(zhì)，深刻理解了算理。學(xué)生經(jīng)歷的上述運算過程為其能夠自主完成“三位數(shù)與兩位數(shù)相乘”或“多位數(shù)與兩位數(shù)相乘”的運算奠基。

環(huán)節(jié)3：對比分析，深化理解

師：在剛剛的豎式運算中，有的學(xué)生是這樣寫的，你們看懂了嗎？（教師再次給出剛才的豎式運算過程，如圖6）

生8：先算14×2=28，再算14×1=14，最后算28與140的和。

師：140中的0去哪里了呢？

生9：因為8+0=8，所以就省略了。

師：省略后的14，其代表的意義有沒有發(fā)生變化呢？

生10：沒有變，去掉0后，4是與28中的十位2對齊的，而1是寫在百位的，所以依然表示14個10。

師：很好！那么這里的“+”是否能省略呢？（生爭辯）

師：大家都說得很好，雖然省略了“+”，但是還是運算的兩個數(shù)的和。為了追求簡捷，豎式中的“＋”和“0”可以省略不寫。（教師及時點評）

生11：那么是不是這樣寫也可以呢？（生給出自己的運算過程，如圖7）

圖7

師：你們怎么看？

生12：這個雖然簡單明了，但是缺少運算過程，應(yīng)該不行。

師：說得很好，在運算時可以追求簡捷，不過運算過程要交代清楚。

設(shè)計意圖：通過對比分析明確豎式運算過程的書寫規(guī)范，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性。在作業(yè)和測試中筆者發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生因為盲目追求效率而“偷工減料”，常常因運算過程缺失而導(dǎo)致運算錯誤。小學(xué)階段正是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維習(xí)慣的黃金期，因此在教學(xué)中教師應(yīng)關(guān)注細節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生正確的學(xué)習(xí)觀。

環(huán)節(jié)4：鞏固練習(xí)，類推筆算方法

師：大家思考一下，以下幾個問題你能用豎式運算嗎？（教師用PPT給出問題）

①23×13；②32×21；③132×21。

從練習(xí)反饋來看，大多數(shù)學(xué)生順利完成了前面兩個問題的運算，問題③也有很多學(xué)生做對了。為了鞏固算法，教師對運算過程進行了小結(jié)：在豎式運算時，需要注意每次“積”的書寫位置。若用個位去乘，則積的末尾寫在個位；若與十位相乘，則積的末尾寫在十位。

師：這三個問題大家都完成得非常好，前面兩個問題已經(jīng)重點學(xué)習(xí)了，這里就不再重復(fù)。不過問題③為“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，這個我們并沒有學(xué)習(xí)過，你們是怎么進行計算的呢？

生13：其實這個與前面的問題差不多，先是132×1=132，然后是132×20=2640，最后是132＋2640=2772。

師：說得很好，其實它的運算與“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的本質(zhì)是相同的。先算出1個132，再算出20個132，然后將兩個結(jié)果相加就是21個132了。

師：今天所學(xué)的豎式運算，大家有沒有一種似曾相識的感覺呢？

生（齊聲答）：有。

師：與我們以前學(xué)習(xí)的什么內(nèi)容類似呢？

生14：與我們前面學(xué)習(xí)的“乘數(shù)是一位數(shù)的乘法”類似。

師：很好，大家猜想一下，我們接下來可能會學(xué)到什么呢？

設(shè)計意圖：借助問題既溝通了舊知，又引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究新問題，為探究后面的問題奠定堅實的基礎(chǔ)。

在整個教學(xué)過程中看似沒有提及“乘數(shù)是整十數(shù)乘法”，其實它已經(jīng)蘊含于筆算教學(xué)中，比如14×10、132×20。將學(xué)生觸手可及的問題進行整合，不僅可以幫助學(xué)生規(guī)避機械運算所帶來的枯燥感，而且有助于學(xué)生建立結(jié)構(gòu)化認知體系。

2. 拓展課

（1）教學(xué)目標

進一步了解豎式的不同表示方法，拓展學(xué)生的知識面；強化不同方法間的聯(lián)系，建構(gòu)認知體系；感悟數(shù)學(xué)發(fā)展史，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。

（2）教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：復(fù)習(xí)引入（略）

該環(huán)節(jié)教師先給出練習(xí)讓學(xué)生獨立完成運算，然后與學(xué)生共同回顧了算理。

環(huán)節(jié)2：對比中溝通，拓寬學(xué)生視野

師：其實，古代的豎式運算并不是現(xiàn)在這樣的。你們想不想知道古人如何表示豎式運算？豎式又是如何演變的呢？（聽說古代的豎式不是現(xiàn)在這個樣子，學(xué)生都迫不及待地想看一下它的樣子，學(xué)習(xí)積極性被激發(fā)出來）

師：很好，我們以14×12為例，看看古人如何運算。

①視窗法

師：思考一下，這個算法你看得懂嗎？（教師用PPT給出運算過程，如圖8）

生1：4×2=8，10×2=20，4×10=40，10×10=100。

師：很好，與我們所用的豎式法相比，你感覺哪個更方便、更快捷呢？（學(xué)生一致認同現(xiàn)在的方法更方便）

②畫線法

師：觀察圖9，你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？（教師預(yù)留時間讓學(xué)生畫一畫、圈一圈）

生2：如圖10，只要看這些交點就可以了，百位上1個點代表100，十位上6個點代表60，個位上8個點代表8。

師：怎么算出來的呢？

生3：10×10=100，10×4=40，10×2=20，2×4=8。

師：大家真是太厲害了，不僅發(fā)現(xiàn)了畫線的秘密，而且還知道它所表達的意義。

③表格法

師：現(xiàn)在用你們的“火眼金睛”看一看，你知道表格中蘊含了什么秘密嗎？（師給出圖11）

圖11

生4：表格里的數(shù)分別為：2×4=8，2×1=2，1×4=4，1×1=1。

生5：與畫線法類似，這里面也有個位、十位和百位。

生6：這樣斜線上的數(shù)加起來，可以得到168。

師：大家真厲害，不僅給出了答案，而且還發(fā)現(xiàn)了古人方法里關(guān)于數(shù)位順序表的秘密。

師：觀察表格容易發(fā)現(xiàn)，里面還有一些空格子，你們猜一猜，這個又會蘊含著什么秘密呢？（生沉思）

師：這個問題在下節(jié)課的學(xué)習(xí)中就會揭曉。（為進位乘法做鋪墊）

與前面探究過程相似，接下來教師通過對比溝通，引導(dǎo)學(xué)生尋找隱藏于不同形式中的聯(lián)系，最終發(fā)現(xiàn)無論哪種運算都有28和140的身影，只是它們的記錄方式不同，其蘊含的運算原理是相同的。

教師組織學(xué)生嘗試用不同的方式運算23×13、32×21、132×21，通過對比讓學(xué)生體會現(xiàn)代豎式運算的優(yōu)越性。雖然拓展課中所講述的古人運用的運算方法現(xiàn)在已經(jīng)不再使用，但是其在拓展學(xué)生知識面、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、發(fā)展學(xué)生思維能力和探究能力等方面的價值不可估量。

總之，用好教材并不是完全按照教材的編排順序進行知識的講授，而是應(yīng)結(jié)合單元結(jié)構(gòu)及具體學(xué)情對教材進行拆分和重組。