【摘 要】初中階段的代數(shù)推理能力培養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)自然地蘊(yùn)含于“數(shù)與代數(shù)”板塊的日常教學(xué)中．具體教學(xué)時要為學(xué)生提供五類學(xué)習(xí)支架，即由遠(yuǎn)及近提供心理支持，由表及里促進(jìn)語言表達(dá)，由小見大增進(jìn)規(guī)則理解，由此及彼熟化形式操作，由博返約完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)等．實施前后連貫、扶放有度的代數(shù)推理教學(xué)，能減少學(xué)生不必要的心理負(fù)擔(dān)與認(rèn)知障礙，對提高代數(shù)推理教學(xué)實效有積極意義．

【關(guān)鍵詞】代數(shù)推理;推理能力;認(rèn)知規(guī)律

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)（2022版）》）指出“課程內(nèi)容特別強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理”．由于對代數(shù)推理能力的培養(yǎng)機(jī)制缺乏洞察力，一些教師把加強(qiáng)代數(shù)推理等同于加強(qiáng)代數(shù)難題訓(xùn)練，或者刻意去構(gòu)建一些高于教學(xué)要求的代數(shù)結(jié)論．在學(xué)生的心理基礎(chǔ)、知識儲備、推理意識不足的情況下，這些做法無疑是本末倒置的．初中階段重視代數(shù)推理教學(xué)，應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”板塊的日常教學(xué)中．

1 典例分析

由于代數(shù)推理問題本身沒有一個清晰的邊界，我們不妨基于“家族相似性”來把握這一概念，考察《課標(biāo)（2022版）》中給出的代數(shù)推理典型例題：

例66：（1）設(shè)abcd是一個四位數(shù)，若a+b+c+d可以被3整除，則這個數(shù)可以被3整除．

此題是一個假言命題推理，需用演繹的方法論證，過程表述如下：abcd=1000a+100b+10c+d=（999a+99b+9c）+（a+b+c+d），顯然（999a+99b+9c）能被3整除，因此，如果（a+b+c+d）能被3整除，那么abcd就能被3整除．

盡管上述例題及論證過程對代數(shù)推理的要求是初步的，但是反映了思維的一般過程，若抽去具體內(nèi)容后可概括為圖1，顯然學(xué)生需要在符號表征、形式推理和形成解釋三個方面突破．與之對應(yīng)便形成三個教學(xué)重點，即適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)形式、合理的推理方式以及學(xué)生認(rèn)知或概念范圍內(nèi)的命題集合．

代數(shù)推理教學(xué)應(yīng)避免讓過早的形式化成為學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙．但是，代數(shù)推理離不開形式化，數(shù)學(xué)的概念、規(guī)則、原理等各方面都可以加以形式化地描述，許多代數(shù)推理問題本身就是一種形式操作．因此，結(jié)合代數(shù)推理本身的特點，從學(xué)生的認(rèn)知角度進(jìn)一步探尋相應(yīng)的學(xué)習(xí)支架尤為重要．

2 學(xué)習(xí)支架分析

鮑建生、章建躍指出“與幾何推理相比，代數(shù)推理比較抽象，也不夠系統(tǒng)，因此，教學(xué)時應(yīng)該量力而為.”^［1］這里的“量力而為”即量學(xué)生之力而為，只有關(guān)注學(xué)生真實的學(xué)習(xí)體驗，才能為學(xué)生作出有益的反思．筆者在教學(xué)實踐中提出，應(yīng)從心理支持、語言表達(dá)、規(guī)則理解、形式操作、認(rèn)知結(jié)構(gòu)等五個方面為學(xué)生提供連貫式學(xué)習(xí)支架（如圖2），供同行批評指正．

圖2

2.1 心理支持，由遠(yuǎn)及近

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論表明兒童十一歲到十二歲是開始形成形式運(yùn)演階段，林崇德的研究也證實八年級是學(xué)生抽象邏輯思維的質(zhì)變時期．因此，學(xué)生在七年級從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維時存在較大個體差異．要消除代數(shù)推理的神秘感，讓學(xué)生敢于進(jìn)行代數(shù)推理，首先要讓學(xué)生認(rèn)識到“符號化是迄今人類對信息的最強(qiáng)有力的壓縮加工方式，信息的符號化也是推理的必要條件”^［2］．從心理支持上說，這是一個由遠(yuǎn)及近的過程．

例如，在整個初中階段的“方程”教學(xué)中，可將人類對未知量不懈探索的歷史與文化貫穿其中，為學(xué)生提供豐富的情感支架．七年級“一元一次方程”起始課可介紹“萊因德紙草書”中的數(shù)學(xué)問題：一位叫阿姆士（約公元前1680－前1620）的古埃及抄寫員記錄了這樣一個問題：“一個量加上自身的四分之一等于15”，用現(xiàn)代記法寫出來，就是已知x＋14x=15，求未知數(shù)x．阿姆士處在代數(shù)萌芽的階段，他當(dāng)時使用了試錯法求解．學(xué)生通過比較當(dāng)時的方法和現(xiàn)在的方法可以獲得這樣的感悟：一是試錯法求解的效率太低了，二是人類文明的進(jìn)步來之不易．事實上，代數(shù)學(xué)在起源階段與解方程同義．這樣的教學(xué)可以改變學(xué)生對“方程”無感的心向，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心．

有經(jīng)驗的教師在教學(xué)中善用隱喻，以幫助溝通學(xué)生的生活現(xiàn)實和數(shù)學(xué)現(xiàn)實．現(xiàn)代認(rèn)知語言學(xué)認(rèn)為隱喻不只是一種語言現(xiàn)象，而是人類認(rèn)知和建構(gòu)世界的思維方式．這也是情緒情感上由遠(yuǎn)及近教學(xué)策略的體現(xiàn)．

2.2 語言表達(dá)，由表及里

《課標(biāo)（2022版）》指出“數(shù)與式”是代數(shù)的基本語言．語言和思維密不可分，加強(qiáng)語言表征能力是開展代數(shù)推理的思維前提．維果斯基把語言的發(fā)展分為連續(xù)發(fā)展的三個階段，分別是外部語言階段、自我中心語言階段和內(nèi)部語言階段，學(xué)生在代數(shù)語言的習(xí)得過程中同樣會經(jīng)歷這三個階段．學(xué)生處于自我中心語言階段時，會使用與教師所說的相似的指導(dǎo)語言來控制和調(diào)節(jié)自己的行為，這個細(xì)節(jié)是教師在日常教學(xué)中容易忽視的．教師應(yīng)示范如何分析特定語句的數(shù)學(xué)意義，準(zhǔn)確把握語句之間的關(guān)系，從而用對等的符號語言再現(xiàn)原語的信息．隨著經(jīng)驗的增長，學(xué)生進(jìn)入內(nèi)部語言階段，對自己說話越來越簡化．當(dāng)自然語言退到幕后，符號語言從表層結(jié)構(gòu)逐步過渡到深層結(jié)構(gòu)，例如：

1.任意兩個不相等的有理數(shù)都可以比較大?。?/p>

2.任意兩個有理數(shù)a，b，如果a≠b，則a大于b或a小于b，二者必居其一．

3.任意兩個有理數(shù)a，b，如果a－b＞0，則a＞b；如果a－b＜0，則a＜b．

……

當(dāng)符號語言遞進(jìn)發(fā)展到一定高度后，可出示下列問題：如何說明在任意兩個不相等的有理數(shù)之間存在無數(shù)個有理數(shù)（即有理數(shù)的稠密性）？

推理中的語言轉(zhuǎn)化流程見表1.

2.3 規(guī)則理解，由小見大

推理離不開規(guī)則，代數(shù)推理的規(guī)則包括書寫規(guī)則、運(yùn)算規(guī)則、邏輯規(guī)則等，規(guī)則為直覺性越來越少的理論提供基礎(chǔ)．規(guī)則上由小見大，是指在教學(xué)中不把目光僅僅盯在規(guī)則的運(yùn)用上，能為學(xué)生揭示數(shù)學(xué)符號的優(yōu)美以及蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想，否則只是用了推理，但并未研究推理．正如袁隆平院士在回憶錄中所述，他上學(xué)時不理解“負(fù)負(fù)得正”，老師說只要記住結(jié)論就行了，從此給袁隆平留下“數(shù)學(xué)不講理”的印象．其實，要讓學(xué)生體會到“負(fù)負(fù)得正”法則的合理性，可從歸納法或者運(yùn)算系統(tǒng)的自洽性等角度來啟發(fā)學(xué)生思考，即便是一句“敵人的敵人就是朋友”也能給人啟迪．規(guī)則的理解有時需要幫助學(xué)生“開腦洞”，讓學(xué)生思考“如果不這樣，會怎樣？”體現(xiàn)由小見大的策略．

例如，在學(xué)習(xí)乘法公式時，為了防止學(xué)生發(fā)生混淆，教師往往采用大運(yùn)動的機(jī)械訓(xùn)練，效果并不理想．不妨設(shè)計下列問題：你認(rèn)為式子（a－b）²=a²－b²成立嗎？說說你的理由．學(xué)生在教師的鼓勵下，會從各種角度去思考不一定成立的理由．如：（1）代入具體數(shù)字，舉出反例；（2）畫出圖形，發(fā)現(xiàn)面積不等；（3）直接對等式左邊進(jìn)行計算；（4）等式左邊a，b交換位置后值不變，即式子具有對稱性，而等式右邊的式子不具有對稱性；（5）將等式右邊因式分解，可以推出等式成立的條件是“a=b或b=0”．實質(zhì)上，（a－b）²=a²－b²作為一個等式本身并無正誤之分，只不過這是一個條件等式，不具有普遍性，因此不能作為公式使用．可見規(guī)則雖小，內(nèi)涵不小．在規(guī)則理解上小中見大，規(guī)則本身也能成為代數(shù)推理的素材．

我們觀察到，七年級學(xué)生在解決“P→Q”與“Q→P”時，書寫過程往往不加以區(qū)別．可見，學(xué)生的“自然”思維與形式化的程序之間常常是背道而馳的．教學(xué)時首先要引導(dǎo)學(xué)生全面地分析條件和結(jié)論之間的關(guān)系，建立推理的基本形式和規(guī)范．

2.4 形式操作，由此及彼

形式操作是代數(shù)推理能力的核心．形式操作上由此及彼，是指教學(xué)中應(yīng)注重層次性．從代數(shù)推理能力的外在表現(xiàn)看，在理解水平上，學(xué)生總是小心翼翼地模仿，避免在抽象世界里犯錯，由于同類的形式操作，如因式分解、待定系數(shù)法、代入消元法等，有著相同的結(jié)構(gòu)和程序，這些操作能很快進(jìn)入平淡的、不假思索的自動化階段；在遷移水平上，學(xué)生需要在不熟悉的情境中喚醒各種操作程序，并加以選擇性使用；如果各種常規(guī)程序都不能解決問題，學(xué)生能自主創(chuàng)造出新的操作模式，可以認(rèn)為其已經(jīng)具有了創(chuàng)新能力．

筆者為了考察本校七年級學(xué)生形式操作能力，連續(xù)兩周分別設(shè)計了下列試題進(jìn)行測試：

問題1：小敏認(rèn)為，對于六位數(shù)abcdef（其中a，b，c，d，e，f均為不超過9的自然數(shù)，且ad≠0），如果abc與def的差能被7整除，那么這個數(shù)就能被7整除．你認(rèn)為小敏的結(jié)論正確嗎？若正確，請給出證明；不正確，請舉出反例．

簡答：設(shè)abc－def=7k（k是整數(shù)），則def=abc－7k．

因此，abcdef=1000abc+def=1000abc+abc－7k=1001abc-7k=7（143abc－k），故得證．

問題2：小紅認(rèn)為，對于六位數(shù)abcdef（其中a，b，c，d，e，f均為不超過9的自然數(shù)，且a≠0），如果（a+c+e）與（b+d+f）的差能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除．你認(rèn)為小紅的結(jié)論正確嗎？若正確，請給出證明；不正確，請舉出反例．（簡答略）

兩道試題的得分率分別是42.6%和47.9%，這表明，學(xué)生的形式操作能力很難在短時間內(nèi)通過訓(xùn)練獲得實質(zhì)提升．正如弗萊登塔爾所提倡的“與其學(xué)習(xí)形式化的數(shù)學(xué)，不如學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的形式化．”在形式操作訓(xùn)練上，既要采用“形同質(zhì)同”的推理問題，讓學(xué)生在歸納與類比中獲得基本經(jīng)驗，也要設(shè)計“形同質(zhì)異”的問題，防止學(xué)生出現(xiàn)盲目類比、思維固化．

2.5 認(rèn)知結(jié)構(gòu)，由博返約

盡管學(xué)生在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，處處離不開代數(shù)推理，但是未必能獲得對代數(shù)推理的整體認(rèn)識．因此，《課標(biāo)（2022版）》提出要“了解代數(shù)推理”，這對健全學(xué)生有邏輯、有結(jié)構(gòu)、有體系的推理知識很有必要．認(rèn)知結(jié)構(gòu)上由博返約是指在學(xué)生在獲得了大量代數(shù)推理的具體經(jīng)驗之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生對其進(jìn)行綜合、歸納，并形成基本的原理、原則和方法，用少量的觀念性的知識對后續(xù)的代數(shù)推理活動起到統(tǒng)領(lǐng)作用．

了解代數(shù)推理，包括了解推理的共性特征和代數(shù)推理的具體特征．首先，教學(xué)中應(yīng)設(shè)計不同類型的推理活動，讓學(xué)生認(rèn)識到演繹推理是必然性推理，歸納推理和類比推理有可能是必然推理也有可能是似然推理．歸納和類比是獲得新的猜想和結(jié)論的主要途徑．對簡單的形式邏輯有初步感知，理解論證全稱命題和特稱命題時中所運(yùn)用推理方式的區(qū)別.其次，要培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，理解運(yùn)用符號運(yùn)算進(jìn)行推理所獲得的結(jié)果具有一般性．不孤立地教授各種代數(shù)方法，而要揭示它們之間的聯(lián)系，如數(shù)系通性在代數(shù)運(yùn)算中所具有的“靈魂”作用，代數(shù)中的等價類，不同代數(shù)方法背后所共有的數(shù)學(xué)思想等.最后，還要鼓勵學(xué)生去理解、解釋自己或他人的代數(shù)推理過程，學(xué)會判斷一個推理是否存在邏輯錯誤，推理過程是否需要優(yōu)化，逐步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣．

3 結(jié)束語

上述五類學(xué)習(xí)支架為學(xué)生代數(shù)推理能力的養(yǎng)成提供了相對完整的支持作用，實踐表明教師的示證階段不可跳過．通過對代數(shù)推理的教學(xué)研究，可以更好地理解學(xué)生的推理能力是如何發(fā)展的．提倡運(yùn)用教育現(xiàn)象學(xué)的方法，去關(guān)注我們的教育生活體驗，看學(xué)生對推理過程有沒有信心，在推理過程中有沒有理性精神涌現(xiàn)，讓代數(shù)推理教學(xué)研究體現(xiàn)鮮明的實踐性、濃郁的人文性、至高的規(guī)范性、強(qiáng)烈的反思性，為提升學(xué)生核心素養(yǎng)作出有益探索.

參考文獻(xiàn)

［1］鮑建生，章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之五：推理能力［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2022（19）：3-11.

［2］張廣祥，張奠宙.代數(shù)教學(xué)中的模式直觀［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2006（01）：1－4.

作者簡介 呂小兵（1981— ），男，中學(xué)高級教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教育研究工作．