【摘 要】初中階段的代數(shù)推理能力培養(yǎng),應(yīng)當(dāng)自然地蘊(yùn)含于“數(shù)與代數(shù)”板塊的日常教學(xué)中.具體教學(xué)時要為學(xué)生提供五類學(xué)習(xí)支架,即由遠(yuǎn)及近提供心理支持,由表及里促進(jìn)語言表達(dá),由小見大增進(jìn)規(guī)則理解,由此及彼熟化形式操作,由博返約完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)等.實施前后連貫、扶放有度的代數(shù)推理教學(xué),能減少學(xué)生不必要的心理負(fù)擔(dān)與認(rèn)知障礙,對提高代數(shù)推理教學(xué)實效有積極意義.
【關(guān)鍵詞】代數(shù)推理;推理能力;認(rèn)知規(guī)律
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《課標(biāo)(2022版)》)指出“課程內(nèi)容特別強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理”.由于對代數(shù)推理能力的培養(yǎng)機(jī)制缺乏洞察力,一些教師把加強(qiáng)代數(shù)推理等同于加強(qiáng)代數(shù)難題訓(xùn)練,或者刻意去構(gòu)建一些高于教學(xué)要求的代數(shù)結(jié)論.在學(xué)生的心理基礎(chǔ)、知識儲備、推理意識不足的情況下,這些做法無疑是本末倒置的.初中階段重視代數(shù)推理教學(xué),應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”板塊的日常教學(xué)中.
1 典例分析
由于代數(shù)推理問題本身沒有一個清晰的邊界,我們不妨基于“家族相似性”來把握這一概念,考察《課標(biāo)(2022版)》中給出的代數(shù)推理典型例題:
例66:(1)設(shè)abcd是一個四位數(shù),若a+b+c+d可以被3整除,則這個數(shù)可以被3整除.
此題是一個假言命題推理,需用演繹的方法論證,過程表述如下:abcd=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d),顯然(999a+99b+9c)能被3整除,因此,如果(a+b+c+d)能被3整除,那么abcd就能被3整除.
盡管上述例題及論證過程對代數(shù)推理的要求是初步的,但是反映了思維的一般過程,若抽去具體內(nèi)容后可概括為圖1,顯然學(xué)生需要在符號表征、形式推理和形成解釋三個方面突破.與之對應(yīng)便形成三個教學(xué)重點,即適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)形式、合理的推理方式以及學(xué)生認(rèn)知或概念范圍內(nèi)的命題集合.
代數(shù)推理教學(xué)應(yīng)避免讓過早的形式化成為學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙.但是,代數(shù)推理離不開形式化,數(shù)學(xué)的概念、規(guī)則、原理等各方面都可以加以形式化地描述,許多代數(shù)推理問題本身就是一種形式操作.因此,結(jié)合代數(shù)推理本身的特點,從學(xué)生的認(rèn)知角度進(jìn)一步探尋相應(yīng)的學(xué)習(xí)支架尤為重要.
2 學(xué)習(xí)支架分析
鮑建生、章建躍指出“與幾何推理相比,代數(shù)推理比較抽象,也不夠系統(tǒng),因此,教學(xué)時應(yīng)該量力而為.”[1]這里的“量力而為”即量學(xué)生之力而為,只有關(guān)注學(xué)生真實的學(xué)習(xí)體驗,才能為學(xué)生作出有益的反思.筆者在教學(xué)實踐中提出,應(yīng)從心理支持、語言表達(dá)、規(guī)則理解、形式操作、認(rèn)知結(jié)構(gòu)等五個方面為學(xué)生提供連貫式學(xué)習(xí)支架(如圖2),供同行批評指正.
圖2
2.1 心理支持,由遠(yuǎn)及近
皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論表明兒童十一歲到十二歲是開始形成形式運(yùn)演階段,林崇德的研究也證實八年級是學(xué)生抽象邏輯思維的質(zhì)變時期.因此,學(xué)生在七年級從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維時存在較大個體差異.要消除代數(shù)推理的神秘感,讓學(xué)生敢于進(jìn)行代數(shù)推理,首先要讓學(xué)生認(rèn)識到“符號化是迄今人類對信息的最強(qiáng)有力的壓縮加工方式,信息的符號化也是推理的必要條件”[2].從心理支持上說,這是一個由遠(yuǎn)及近的過程.
例如,在整個初中階段的“方程”教學(xué)中,可將人類對未知量不懈探索的歷史與文化貫穿其中,為學(xué)生提供豐富的情感支架.七年級“一元一次方程”起始課可介紹“萊因德紙草書”中的數(shù)學(xué)問題:一位叫阿姆士(約公元前1680-前1620)的古埃及抄寫員記錄了這樣一個問題:“一個量加上自身的四分之一等于15”,用現(xiàn)代記法寫出來,就是已知x+14x=15,求未知數(shù)x.阿姆士處在代數(shù)萌芽的階段,他當(dāng)時使用了試錯法求解.學(xué)生通過比較當(dāng)時的方法和現(xiàn)在的方法可以獲得這樣的感悟:一是試錯法求解的效率太低了,二是人類文明的進(jìn)步來之不易.事實上,代數(shù)學(xué)在起源階段與解方程同義.這樣的教學(xué)可以改變學(xué)生對“方程”無感的心向,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心.
有經(jīng)驗的教師在教學(xué)中善用隱喻,以幫助溝通學(xué)生的生活現(xiàn)實和數(shù)學(xué)現(xiàn)實.現(xiàn)代認(rèn)知語言學(xué)認(rèn)為隱喻不只是一種語言現(xiàn)象,而是人類認(rèn)知和建構(gòu)世界的思維方式.這也是情緒情感上由遠(yuǎn)及近教學(xué)策略的體現(xiàn).
2.2 語言表達(dá),由表及里
《課標(biāo)(2022版)》指出“數(shù)與式”是代數(shù)的基本語言.語言和思維密不可分,加強(qiáng)語言表征能力是開展代數(shù)推理的思維前提.維果斯基把語言的發(fā)展分為連續(xù)發(fā)展的三個階段,分別是外部語言階段、自我中心語言階段和內(nèi)部語言階段,學(xué)生在代數(shù)語言的習(xí)得過程中同樣會經(jīng)歷這三個階段.學(xué)生處于自我中心語言階段時,會使用與教師所說的相似的指導(dǎo)語言來控制和調(diào)節(jié)自己的行為,這個細(xì)節(jié)是教師在日常教學(xué)中容易忽視的.教師應(yīng)示范如何分析特定語句的數(shù)學(xué)意義,準(zhǔn)確把握語句之間的關(guān)系,從而用對等的符號語言再現(xiàn)原語的信息.隨著經(jīng)驗的增長,學(xué)生進(jìn)入內(nèi)部語言階段,對自己說話越來越簡化.當(dāng)自然語言退到幕后,符號語言從表層結(jié)構(gòu)逐步過渡到深層結(jié)構(gòu),例如:
1.任意兩個不相等的有理數(shù)都可以比較大?。?/p>
2.任意兩個有理數(shù)a,b,如果a≠b,則a大于b或a小于b,二者必居其一.
3.任意兩個有理數(shù)a,b,如果a-b>0,則a>b;如果a-b<0,則a<b.
……
當(dāng)符號語言遞進(jìn)發(fā)展到一定高度后,可出示下列問題:如何說明在任意兩個不相等的有理數(shù)之間存在無數(shù)個有理數(shù)(即有理數(shù)的稠密性)?
推理中的語言轉(zhuǎn)化流程見表1.
2.3 規(guī)則理解,由小見大
推理離不開規(guī)則,代數(shù)推理的規(guī)則包括書寫規(guī)則、運(yùn)算規(guī)則、邏輯規(guī)則等,規(guī)則為直覺性越來越少的理論提供基礎(chǔ).規(guī)則上由小見大,是指在教學(xué)中不把目光僅僅盯在規(guī)則的運(yùn)用上,能為學(xué)生揭示數(shù)學(xué)符號的優(yōu)美以及蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想,否則只是用了推理,但并未研究推理.正如袁隆平院士在回憶錄中所述,他上學(xué)時不理解“負(fù)負(fù)得正”,老師說只要記住結(jié)論就行了,從此給袁隆平留下“數(shù)學(xué)不講理”的印象.其實,要讓學(xué)生體會到“負(fù)負(fù)得正”法則的合理性,可從歸納法或者運(yùn)算系統(tǒng)的自洽性等角度來啟發(fā)學(xué)生思考,即便是一句“敵人的敵人就是朋友”也能給人啟迪.規(guī)則的理解有時需要幫助學(xué)生“開腦洞”,讓學(xué)生思考“如果不這樣,會怎樣?”體現(xiàn)由小見大的策略.
例如,在學(xué)習(xí)乘法公式時,為了防止學(xué)生發(fā)生混淆,教師往往采用大運(yùn)動的機(jī)械訓(xùn)練,效果并不理想.不妨設(shè)計下列問題:你認(rèn)為式子(a-b)2=a2-b2成立嗎?說說你的理由.學(xué)生在教師的鼓勵下,會從各種角度去思考不一定成立的理由.如:(1)代入具體數(shù)字,舉出反例;(2)畫出圖形,發(fā)現(xiàn)面積不等;(3)直接對等式左邊進(jìn)行計算;(4)等式左邊a,b交換位置后值不變,即式子具有對稱性,而等式右邊的式子不具有對稱性;(5)將等式右邊因式分解,可以推出等式成立的條件是“a=b或b=0”.實質(zhì)上,(a-b)2=a2-b2作為一個等式本身并無正誤之分,只不過這是一個條件等式,不具有普遍性,因此不能作為公式使用.可見規(guī)則雖小,內(nèi)涵不小.在規(guī)則理解上小中見大,規(guī)則本身也能成為代數(shù)推理的素材.
我們觀察到,七年級學(xué)生在解決“P→Q”與“Q→P”時,書寫過程往往不加以區(qū)別.可見,學(xué)生的“自然”思維與形式化的程序之間常常是背道而馳的.教學(xué)時首先要引導(dǎo)學(xué)生全面地分析條件和結(jié)論之間的關(guān)系,建立推理的基本形式和規(guī)范.
2.4 形式操作,由此及彼
形式操作是代數(shù)推理能力的核心.形式操作上由此及彼,是指教學(xué)中應(yīng)注重層次性.從代數(shù)推理能力的外在表現(xiàn)看,在理解水平上,學(xué)生總是小心翼翼地模仿,避免在抽象世界里犯錯,由于同類的形式操作,如因式分解、待定系數(shù)法、代入消元法等,有著相同的結(jié)構(gòu)和程序,這些操作能很快進(jìn)入平淡的、不假思索的自動化階段;在遷移水平上,學(xué)生需要在不熟悉的情境中喚醒各種操作程序,并加以選擇性使用;如果各種常規(guī)程序都不能解決問題,學(xué)生能自主創(chuàng)造出新的操作模式,可以認(rèn)為其已經(jīng)具有了創(chuàng)新能力.
筆者為了考察本校七年級學(xué)生形式操作能力,連續(xù)兩周分別設(shè)計了下列試題進(jìn)行測試:
問題1:小敏認(rèn)為,對于六位數(shù)abcdef(其中a,b,c,d,e,f均為不超過9的自然數(shù),且ad≠0),如果abc與def的差能被7整除,那么這個數(shù)就能被7整除.你認(rèn)為小敏的結(jié)論正確嗎?若正確,請給出證明;不正確,請舉出反例.
簡答:設(shè)abc-def=7k(k是整數(shù)),則def=abc-7k.
因此,abcdef=1000abc+def=1000abc+abc-7k=1001abc-7k=7(143abc-k),故得證.
問題2:小紅認(rèn)為,對于六位數(shù)abcdef(其中a,b,c,d,e,f均為不超過9的自然數(shù),且a≠0),如果(a+c+e)與(b+d+f)的差能被11整除,那么這個數(shù)就能被11整除.你認(rèn)為小紅的結(jié)論正確嗎?若正確,請給出證明;不正確,請舉出反例.(簡答略)
兩道試題的得分率分別是42.6%和47.9%,這表明,學(xué)生的形式操作能力很難在短時間內(nèi)通過訓(xùn)練獲得實質(zhì)提升.正如弗萊登塔爾所提倡的“與其學(xué)習(xí)形式化的數(shù)學(xué),不如學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的形式化.”在形式操作訓(xùn)練上,既要采用“形同質(zhì)同”的推理問題,讓學(xué)生在歸納與類比中獲得基本經(jīng)驗,也要設(shè)計“形同質(zhì)異”的問題,防止學(xué)生出現(xiàn)盲目類比、思維固化.
2.5 認(rèn)知結(jié)構(gòu),由博返約
盡管學(xué)生在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中,處處離不開代數(shù)推理,但是未必能獲得對代數(shù)推理的整體認(rèn)識.因此,《課標(biāo)(2022版)》提出要“了解代數(shù)推理”,這對健全學(xué)生有邏輯、有結(jié)構(gòu)、有體系的推理知識很有必要.認(rèn)知結(jié)構(gòu)上由博返約是指在學(xué)生在獲得了大量代數(shù)推理的具體經(jīng)驗之后,教師要引導(dǎo)學(xué)生對其進(jìn)行綜合、歸納,并形成基本的原理、原則和方法,用少量的觀念性的知識對后續(xù)的代數(shù)推理活動起到統(tǒng)領(lǐng)作用.
了解代數(shù)推理,包括了解推理的共性特征和代數(shù)推理的具體特征.首先,教學(xué)中應(yīng)設(shè)計不同類型的推理活動,讓學(xué)生認(rèn)識到演繹推理是必然性推理,歸納推理和類比推理有可能是必然推理也有可能是似然推理.歸納和類比是獲得新的猜想和結(jié)論的主要途徑.對簡單的形式邏輯有初步感知,理解論證全稱命題和特稱命題時中所運(yùn)用推理方式的區(qū)別.其次,要培養(yǎng)學(xué)生的符號意識,理解運(yùn)用符號運(yùn)算進(jìn)行推理所獲得的結(jié)果具有一般性.不孤立地教授各種代數(shù)方法,而要揭示它們之間的聯(lián)系,如數(shù)系通性在代數(shù)運(yùn)算中所具有的“靈魂”作用,代數(shù)中的等價類,不同代數(shù)方法背后所共有的數(shù)學(xué)思想等.最后,還要鼓勵學(xué)生去理解、解釋自己或他人的代數(shù)推理過程,學(xué)會判斷一個推理是否存在邏輯錯誤,推理過程是否需要優(yōu)化,逐步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣.
3 結(jié)束語
上述五類學(xué)習(xí)支架為學(xué)生代數(shù)推理能力的養(yǎng)成提供了相對完整的支持作用,實踐表明教師的示證階段不可跳過.通過對代數(shù)推理的教學(xué)研究,可以更好地理解學(xué)生的推理能力是如何發(fā)展的.提倡運(yùn)用教育現(xiàn)象學(xué)的方法,去關(guān)注我們的教育生活體驗,看學(xué)生對推理過程有沒有信心,在推理過程中有沒有理性精神涌現(xiàn),讓代數(shù)推理教學(xué)研究體現(xiàn)鮮明的實踐性、濃郁的人文性、至高的規(guī)范性、強(qiáng)烈的反思性,為提升學(xué)生核心素養(yǎng)作出有益探索.
參考文獻(xiàn)
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作者簡介 呂小兵(1981— ),男,中學(xué)高級教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教育研究工作.
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版)2023年4期