李怡 曹文棟 仲秀英

［摘? 要］ 高中教師培育學生數學審美能力時，常誤將數學美外在特征，如簡單美、對稱美、和諧美、奇異美視作本質屬性，忽視了高中階段的特殊性. 文章簡析數學美的內涵、載體及表現特征，指出數學美特征分為外在特征與內在特征，內在特征包含邏輯美、思想美、方法美，抓住數學美的本質，指向核心素養(yǎng)培養(yǎng)，幫助高中生發(fā)現數學美.

［關鍵詞］ 數學美；外在特征；內在特征；核心素養(yǎng)

長期以來，我國教育界一直強調育人發(fā)展. 數學作為基礎學科，承擔著育人任務. 強化數學“美育”不僅有利于學生學習數學，還直接指向學生審美價值觀的培養(yǎng). 《高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱高中數學課標）強調“引導學生感悟數學審美價值”就是對其有力的回應. 學生感悟到數學審美的基礎是經歷數學活動獲得數學美，盡管大量學者對數學美進行了深入研究，許多高中教師也意識到數學美的重要性，但現實教學中常出現數學美的培養(yǎng)流于形式的現象，反觀理論研究數學美多指簡單美、對稱美、和諧美、奇異美這四種基本特征，未明確揭示數學美在各學段的特殊性. 實踐教學中的數學美到底是什么？數學美在高中階段有何特征？滲透數學美的教學中是否更關注數學本質，相較形式美更趨向理性美？都是高中數學教師在數學美的內涵和教學的理解上存在的疑惑，需進一步探討與研究.

簡析高中數學美的內涵

要合理引導高中生感悟數學審美價值，首先要幫助高中生發(fā)現數學美. 深入研究數學美的本質，根據數學美感的產生和來源設計教學是必由之路［1］. 基于此，教師應明晰高中數學美的本質，明確高中數學美教學是義務教育數學美教學的延續(xù)與進階，避免因數學美存在于多種載體而掩蓋其理性美，讓數學美不局限于基本特征.

1. 簡析數學美

當前數學美還未有明確和普遍認可的定義，但一些學者對數學美存在一些誤解或偏見，認為美學作為人文學科，與高度抽象且完美演繹的數學無緣. 事實上，數學作為人類描述自然的符號、思維的體操、科學的語言，哪里有數學，哪里就有美.

數學家就數學美的本質主要有三種觀點，一是源于科學但流于形式的理性美. 事實上，數學美已被數學家發(fā)展成為一種方法、一種思想，甚至成為一種研究工具［2］. 二是數學美源于自然美和物理美，這是由自然界本身固有結構所決定［3］. 這種觀點一致認為數學美被賦予自然的客觀現實性，是內化了數學邏輯結構刻畫客體的結果. 三是數學美不僅需要追溯到數學本身，還應關注學習與研究數學的過程，即數學在外在形式與內在思想中的美.

目前廣為接受的觀點是第三種，數學美是對現實美的反映，既具有現實美的客觀性又包含客體自身的主觀意識，兩者對立統(tǒng)一［4］. 數學美是人們對數學對象產生的主觀認知，因此研究數學美的本質，不能脫離數學和美學范疇.

2. 數學美的載體及載體表現特點

數學美是一種能引起人們美感的數學對象的共同本質屬性. 而數學對象是人類對現實世界抽象反應的結果，任何能抽象成數學的物體都是數學美的載體，也就是說，數學美的變現依托于載體且載體是豐富多樣的. 載體可以是數學對象，即數學公式、圖形、結構等，也可以是能進行數學抽象的現實產物. 盡管載體豐富多樣，但載體的表現存在共同特征.

（1）使數學美具有依附性. 人們對美的感知是需要對象的，數學美是認知主體對現實對象的主觀認知，因此數學美的產生離不開載體，而依附于載體，使數學美具有依附性.

（2）使數學美具有多樣性. 數學美的載體往往并不單一，存在多元融合的情況，數學美的表現形式也具有多元化的特點. 比如數形結合是常見的體現數學美多樣性的方式，在學習基本不等式時，從“形”的角度理解“數”更直觀與簡潔.

（3）使數學美具有外顯性. 選擇良好的載體，會帶來直觀的美的享受. 美妙的幾何結構往往是借助現實物體抽象而形成的，如由恒星抽象出球體，進而截出圓形. 好的載體能帶來好的感受，直觀且簡明地實現數學美的欣賞.

（4）使數學美具有內隱性. 具有美的數學對象不僅僅是直觀對象，內在思想和方法具有更深層次且隱性的美，但不易被人們發(fā)現. 同時，豐富的載體成了掩蓋理性美與創(chuàng)造美的“幫兇”. 比如黃金分割點常通過數形結合從外觀形式這一外顯的美被人們探究，但黃金分割點的再生性體現的最優(yōu)化思想卻常被人們忽略，哪怕是應用廣泛的再生性的“折紙法”. 因此，人們常感受外顯的數學美，而忽略了內隱的數學美.

3. 數學美的特征

對于美的定義，有外在形式上的，也有內涵思想上的，對于數學美來說，亦是如此. 數學美的特征籠統(tǒng)分為外在特征與內在特征兩個方面，其外在美主要是直觀、形式上的美，而內在美則是思想上的精神美.

（1）數學美的外在特征.

外在形式美是一種表層之美，具有直觀形象的特點，可憑借感官直接接受并內化出“愉悅”之感. 因具有直觀性，通常也是教師選取審美材料的入手點. 通過公式表達、圖形呈現等外在感知來快速抓住學生的眼球，從而為進入更深層次的探究奠定良好的心理基礎. 對稱性、簡單性、統(tǒng)一性、奇異性，是人們普遍接受的數學美的四種基本特征.

第一，對稱性. 客觀世界中處處有對稱，數學世界中也崇尚對稱，畢達哥拉斯特別欣賞高度對稱的球形和圓形，稱：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形.”同樣，高中學習的偶函數關于y軸對稱，就是對稱美的直接體現.

第二，簡潔性. 數學源于對現實世界的抽象，簡潔是它的特點之一. 這種簡潔最能給人以美的享受，同時又是數學發(fā)現與創(chuàng)造的源泉之一. 計數史就體現了數學對簡潔美的追求，從實物計數到符號計數，從石子、甲骨文計數到進制的出現，從算籌計數法到科學計數法，都是為了更簡潔地表示數的大小.

第三，統(tǒng)一性. 數學美的統(tǒng)一性，在數學中有著強大的魅力. 笛卡爾建立解析幾何的初衷，不正是受統(tǒng)一性的啟發(fā)嗎？在千變萬化的數學世界中，找到矛盾問題的共同特征并將其統(tǒng)一起來，這是數學長期以來在奮斗的事情. 歐拉公式eiπ+1=0這道被數學家譽為“上帝創(chuàng)造的公式”實現了幾個特殊數字的統(tǒng)一.

第四，奇異性. 數學美的奇異性與前三者對立統(tǒng)一.奇異性指在原有法則和統(tǒng)一格局中的突破與創(chuàng)新. 在原有法則和統(tǒng)一格局中存在出人意料的反例是奇異性的一種體現，好的反例能使人們對問題的理解更清晰. 比如的出現造成了第一次數學危機，使數域直接擴充.

（2）數學美的內在特征.

數學美不能停留于最終的表現形式，它作為數學的一部分，除了結論性特征外，還有存在于內在思想層面的過程美. 數學的內在美與其特有的內在結構、高度抽象與邏輯推理，需要人們經歷思維上的突破才能形成成就感，也需要經歷學習知識與實踐操作相結合的過程才能得到精神上的享受.

第一，思想美. 數學思想對數學思維活動、數學審美活動起著指導作用. 數學思想是對數學事實、數學理論經過概括后的本質認識，思想本身與其中蘊含的方法都是數學內在美的體現. 這種美，美在深刻的思想上. 比如，人類努力刻畫客觀世界，逐步準確的過程產生了逼近思想，導數、割圓術等都是這一深刻數學思想的具體應用.

第二，邏輯美. 數學美是純凈的，這歸功于高度追求邏輯的真實性，邏輯為真就能成為真理，也正是這種求真的態(tài)度使得數學變得客觀與絕對. 數學嚴密的理論體系、嚴格的證明過程、嚴謹的語言表達等都是數學邏輯美的體現. 對“推理和證明”的教學設計，不同教材均表明“推理”和“證明”有區(qū)別，推理是證明過程中的組成部分，在“證明”的教學過程中重點是要讓學生理解證明的必要性和證明的過程［5］. 其強調了數學學習過程中的邏輯性及邏輯美，數學教材中每一個定理的學習與證明都是感悟數學美的素材.

第三，方法美. 數學方法是數學各項活動中可用的工具或手段，只有依托于運用才能充分體現，方法的巧妙選取和正確運用能帶來比形式美更震動人心的沖擊力. 立體幾何中引入向量法，充分揭示了代數與幾何之間的關系，表明代數是寫出來的幾何，幾何是畫出來的代數，正確的方法使問題簡單化，呈現出了主體認知的美.

數學美的表現形式以一般標準可以分為形式美、內在美，不同學段的學生對數學美的接受程度不同，隨著學段的深入，美的層次應逐步提升. 義務教育階段多注重數學外在形式的美，而高中階段應走向更高層次的美，從外顯的直觀對象走向內隱的思想與方法. 教學上應盡可能將數學美中內隱的內容顯性化，高中階段的數學美應與核心素養(yǎng)相結合，數學美不應止步于欣賞，還要引導學生去創(chuàng)造，最終形成數學能力.

數學學習中對數學美的再認識

從理論上分析數學學習與數學美的結合，是對數學美的再認識，也是后續(xù)實踐探索的基礎. 在數學教學中滲透數學美是數學課程的育人模式，在課程實施中體現數學美特有功能的同時應考慮數學美學習心理機制.

1. 立足核心素養(yǎng)

高中數學課標綱領性指出立足核心素養(yǎng)，集中體現數學育人價值，將學生“感悟、認識數學審美價值”提至教學目標. 高中數學課標強調培養(yǎng)學生“三會”，其中“會用數學的眼光觀察現實世界”是強化數學美、培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的直接體現，期望學生通過抽象的視角理解自然現象背后的數學原理，從而形成數學美感. 事實上，數學美一直貫穿“三會”，數學思維特有的數學邏輯、數學表達特有的數學語言無一不呈現著數學美，這種美的直覺正是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的關鍵，處處蘊涵著育人價值.

2. 重視直覺思維

數學學習遷移是一種創(chuàng)造性的思維，需要邏輯思維、直覺思維，數學美感常表現為一種高層次的直覺. 心理學家布魯納認為，與特殊遷移相比，非特殊遷移比如原理或態(tài)度的遷移才是影響教育的關鍵［6］. 因此，只要掌握了學科基本結構、概念、原理就能實現學習遷移，而數學學習遷移離不開創(chuàng)造性思維，創(chuàng)造性思維又離不開邏輯和直覺，并且直覺在創(chuàng)造性思維過程中往往至關重要，而數學美感正是直覺的表現. 盡管由直覺帶來的不被邏輯約束的數學美感，未經嚴密推理，但在數學創(chuàng)造中由審美感知猜測的結果卻至關重要.

3. 關注數學美感的建構

數學美感產生的過程與認知結構優(yōu)化、更替的過程有異曲同工之妙. 用皮亞杰的認知結構理論分析數學美學習心理機制發(fā)現，人認知某一數學對象時，須利用頭腦中已建構的認知圖式來同化或順應該對象，從而得到新的認知圖式. 事實上，在學生數學學習過程中，數學美感貫穿數學對象同化或順應的過程. 當學生經歷圖式優(yōu)化、重構過程時，數學對象的美也會刺激并同化至原有審美圖式，從而伴隨著成功的喜悅與滿足，得到審美認知結構的進一步完善. 這種心靈享受可能源于對某種算法的優(yōu)化、對某個概念的深入理解，也可能源于糾正某個錯誤認識，這些求真求善的過程都是數學美感的產生來源. 所以，數學審美過程也是一種建構活動.

教學中如何幫助學生發(fā)現數學美

明確數學美的本質與表現形式后，教師應以核心素養(yǎng)為導向，以發(fā)展學生“三會”為目標，在高中數學教學中滲透數學美. 從觀察發(fā)現的角度創(chuàng)設數學情境，將數學知識的抽象性和邏輯性與思考方式、表達形式有機結合，充分展示數學的形式美、內在美.

1. 直觀材料喚醒學生對美的感知

數學美充滿了整個世界，開普勒曾指出“數學是這個世界之美的原型”，而這個世界不只是現實世界，還包含富有科學邏輯的數學世界. 因此，在數學教學教育中，教師可將現實世界和數學世界作為觀察數學美的兩條途徑，引導學生用數學的眼光觀察世界，在現實世界和數學世界中充分挖掘數學美學因素.

能引發(fā)學生觀察與思考的現實情境往往是學生熟悉，有意義、有趣的生活情境. 例如，以植物界中的斐波那契數列為專題展開數列教學：通過展示向日葵種子盤，引導學生觀察種子盤上兩組連續(xù)螺旋線走向與數量的關系，抽象出斐波那契數列后展開數列教學.

數學抽象形式的展現也不乏形象，仍具有可憑借感官認識與發(fā)現的美. 相對于純理論邏輯的科學美，學生對富有感性美的美學饒有興趣. 不妨從美的角度引導學生發(fā)現數學情境也富有審美價值. 例如，在高中二項式定理教學中，以（a+b）2，（a+b）3的展開式類比分析（a+b）n，用組合數表示二項式系數得到二項式定理，將觀察得到的二項式系數排列成楊輝三角，在排列形式上得到美的享受.

2. 操作實驗刺激學生對美的抽象

數學創(chuàng)造中存在數學美，盡管外在的審美形式也可作為創(chuàng)作與思考的方法和發(fā)展的方向，但站在思想的高度，教師把數學概念的創(chuàng)造與認識等與審美形式相結合，可進一步抽象出數學思想方法，讓學生以順應或重構的方式經歷數學家思維創(chuàng)造的過程，在實踐活動中得到靈感與頓悟，進而感受到數學思維的生命力、創(chuàng)造力與深刻之美.

例如，在橢圓概念的教學中，學生經歷“做橢圓”的過程，在實踐活動中抽象出數學活動是抽象思維的體現. 而結合審美形式，可借助信息技術實現多感官刺激學習，從視覺上感受橢圓的對稱性. 在橢圓標準方程的教學中，利用數形結合思想過渡，引導學生類比圓的標準方程的探究過程，以一般曲線方程的求解步驟為線索進行公式推導. 教師可從數學審美角度指導學生利用統(tǒng)一性、對稱性和換元思想化簡公式，從“形”的對稱轉換到“式”的對稱，突破公式推導的難點.在公式推導過程中，不是簡單地類比一般的公式推導步驟，而是追尋方法和結果的簡單性、徹底性，再從審美角度培養(yǎng)學生的數學運算素養(yǎng). 針對橢圓焦點在y軸的情況，引導學生回歸原始問題，檢驗思維過程，從圖形對稱性可發(fā)現焦點分類情況不唯一，以此培養(yǎng)學生的分類思想. 經歷上述過程，學生可將各種審美形式作為思想方法來思考世界.

3. 多樣表征激勵學生對美的升華

數學活動論的觀點表明數學語言作為一種傳遞數學知識、表達數學思想方法、體現數學學科特性的專業(yè)語言［7］，是數學活動之一，承擔著連接活動各個環(huán)節(jié)的作用. 顯然，高度符號化的數學語言是數學抽象的必要支撐，但正是高度抽象性讓學生難以感受數學理論體系創(chuàng)造過程蘊含的內涵美. 換個角度思考，何不借助數學語言的簡單性、嚴密性、可操作性等特性來輔助學生感受數學美. 數學語言的三種表征形式——文字語言、符號語言、圖象語言在真實教學中是互利共生的，可立足數學語言的表征形式來呈現數學語言特性，以此得到美的享受.

例如，在高中函數概念起始教學時，學生常因數學符號語言的變換難以理解函數對應關系這一本質. 例舉函數解析式、圖象和表格三種表示形式，讓學生思考與判斷例子，初步感受函數表示形式多樣，但本質為對應關系. 讓學生嘗試用自己的語言描述變量變化與對應的關系，教師針對學生的描述引導學生思考“為什么選擇該語言表達？”“用集合語言表示有何優(yōu)勢？”“變量變化與對應關系需滿足什么條件？有什么共同特點？”……通過與學生共同建構函數概念，從初中的“變量說”逐步改進到高中的“對應說”，讓學生經歷函數發(fā)生與發(fā)展的過程，感受語言產生的意義并學會運用語言表達世界，體會在語言產生的過程中蘊含著數學美.

數學既是一門科學也是一門藝術，數學審美教學既要關注形式也要關注內涵，欣賞數學形式上的藝術、洞察數學內在深刻的思想是教育工作者未來關注的方向. 把數學美以潤物細無聲的方式真正落實到課堂上，還有很長一段路要走.

參考文獻：

［1］ 楊澤忠.從數學美感的產生看數學美教學［J］. 數學教育學報，2008（02）：5-7.

［2］王欽敏. 感受數學美的兩個重要途徑［J］. 數學教育學報，2014，23（02）：53-56.

［3］ 程民治. 從物理學看數學美［J］. 自然辯證法研究，1995（12）：23-27.

［4］ 劉智睿. 合理引導，幫助學生發(fā)現數學之美［J］. 數學教學通訊，2018（15）：61-62.

［5］ 曹文棟，童莉. 逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學中的應用［J］. 數學教學通訊，2022（05）：3-5+9.

［6］ 傅夕聯(lián)，孟昭為，梁振英等. 數學學習遷移的幾個策略［J］. 洛陽大學學報，2006（02）：110-112.

［7］ 張文超. 小學生數學語言能力發(fā)展的教學模型研究［D］. 西南大學，2017.