楊冠

［摘 要］線性代數(shù)主要授課對象是非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生，部分學(xué)生對數(shù)學(xué)課程知識的接受和運(yùn)用存在一定的問題，而有效的教學(xué)設(shè)計(jì)無疑會(huì)給教師和學(xué)生帶來強(qiáng)大的動(dòng)力。文章基于微信公眾號平臺(tái)，依據(jù)BOPPPS教學(xué)模式對線性代數(shù)課程進(jìn)行有針對性的教學(xué)設(shè)計(jì)探討，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，注重教學(xué)過程的反思和互動(dòng)，使教師及時(shí)獲得教學(xué)反饋，讓學(xué)生進(jìn)行全方位的參與式學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性，以期獲得良好的教學(xué)效果。

［關(guān)鍵詞］線性代數(shù)；教學(xué)設(shè)計(jì)；BOPPPS

［中圖分類號］ G642 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 2095-3437（2023）07-0076-03

在各類高等院校中，線性代數(shù)是數(shù)學(xué)教育的一門重要公共基礎(chǔ)課，是研究有限維向量空間和線性變換的重要數(shù)學(xué)分支，其思想方法在大學(xué)生素質(zhì)教育中的重要性也日益顯現(xiàn)[1]。不同院校的線性代數(shù)課程的教學(xué)學(xué)時(shí)有所不同，以西南林業(yè)大學(xué)（以下簡稱我校）為例，線性代數(shù)課程的教學(xué)學(xué)時(shí)有32學(xué)時(shí)和48學(xué)時(shí)，不同專業(yè)方向的內(nèi)容側(cè)重點(diǎn)也有所差別，32學(xué)時(shí)涵蓋了矩陣、行列式、向量空間、線性方程組等內(nèi)容，48學(xué)時(shí)增加了特征值與特征向量、二次型等內(nèi)容，符合線性代數(shù)課程的基本要求。當(dāng)代線性代數(shù)課程的教學(xué)模式不僅有傳統(tǒng)的黑板教學(xué)模式，還有多媒體教學(xué)模式，慕課、微課等教學(xué)形式也在不斷發(fā)展，但課程教學(xué)過程中仍存在一些問題，如對學(xué)生的創(chuàng)造性思維培養(yǎng)不足，實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)不夠，部分教師的教學(xué)模式仍是講解概念、給出例題、完成習(xí)題三部曲等。而線性代數(shù)課程是林業(yè)院校課程知識體系中重要的基礎(chǔ)課，學(xué)好該門課程可以為學(xué)生今后的專業(yè)課程學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。這就要求教師要不斷探索和研究不同的教學(xué)方法和教學(xué)模式，改變傳統(tǒng)教學(xué)方式，充分運(yùn)用信息化技術(shù)輔助課堂教學(xué)，不斷積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，努力提升教學(xué)質(zhì)量。

我校線性代數(shù)歷年的教學(xué)數(shù)據(jù)顯示，該課程教學(xué)對象有大一年級的新生，也有大二年級的學(xué)生，授課專業(yè)涵蓋了生物管理類專業(yè)和工科類。由于學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的差異，在對待不同專業(yè)、不同年級學(xué)生時(shí)應(yīng)使用不同的教學(xué)方式方法，精彩的教學(xué)設(shè)計(jì)是教學(xué)過程中必不可少的環(huán)節(jié)，也是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的有效保障，還能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。

一、BOPPPS教學(xué)模式簡介

BOPPPS教學(xué)模式是加拿大廣泛推行的教師技能培訓(xùn)體系ISW的理論基礎(chǔ)[2]，該模式將課堂教學(xué)環(huán)節(jié)依次分為六個(gè)階段，并分別用六個(gè)英文縮寫字母來表示：（1）B（Bridge-in），即正式進(jìn)入課堂教學(xué)之前的引言環(huán)節(jié)。作為一節(jié)課開頭，設(shè)置引言環(huán)節(jié)的目的在于更好地吸引學(xué)生注意力，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力，促使學(xué)生關(guān)注即將開展的核心教學(xué)內(nèi)容。（2）O（Objective），即建立該課堂的學(xué)習(xí)目標(biāo)和預(yù)期達(dá)到的結(jié)果。教師要言簡意賅地闡明學(xué)習(xí)目的、傳達(dá)教學(xué)目標(biāo)，特別是課程的重點(diǎn)知識和學(xué)習(xí)價(jià)值，要明確告知學(xué)生通過這節(jié)課能夠懂得什么或者即將學(xué)會(huì)做什么，從而讓學(xué)生明確掌握學(xué)習(xí)的方向。（3）P（Pre-assessment），即在建立學(xué)習(xí)目標(biāo)之后對學(xué)生開展的先測或摸底。（4）P（Participatory Learning），即師生參與式學(xué)習(xí)，該環(huán)節(jié)注重通過師生互動(dòng)來實(shí)現(xiàn)課程核心內(nèi)容的交互式學(xué)習(xí)。（5）P（Post-assessment），即在此次課堂快要結(jié)束之際及時(shí)對學(xué)生開展核驗(yàn)或評估，了解學(xué)生本次課的學(xué)習(xí)效果是否達(dá)成既定的教學(xué)目標(biāo)。（6）S（Summary），即對本次課堂進(jìn)行總結(jié)。教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)課堂內(nèi)容、整合學(xué)習(xí)要點(diǎn)、布置課后作業(yè)、預(yù)告下次課的教學(xué)內(nèi)容等，鞏固學(xué)習(xí)目標(biāo)。以上六大基本要素的英文首字母連在一起即組成了BOPPPS教學(xué)模式的英文縮寫，上述六個(gè)模塊連貫構(gòu)成了一個(gè)有效的完整課堂過程。

二、研究設(shè)想

BOPPPS模式的教學(xué)理念是有效的教學(xué)設(shè)計(jì)，主要方式是將教學(xué)過程分解成模塊。該模式的核心環(huán)節(jié)是以學(xué)生為中心的參與式學(xué)習(xí)，教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)師生參與式互動(dòng)學(xué)習(xí)，加深教師對課堂教學(xué)的把控度。目前已有部分學(xué)者對BOPPPS模式下的線性代數(shù)教學(xué)進(jìn)行探討，如線性代數(shù)的微課設(shè)計(jì)、通過超星學(xué)習(xí)平臺(tái)輔助BOPPPS模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，也有除線性代數(shù)課程外的其余課程基于該模式開展教學(xué)[3-7]，講授過程中結(jié)合問題式、探究式教學(xué)方法，解決重點(diǎn)和難點(diǎn)問題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，提高課堂教學(xué)活躍度，從而完成教學(xué)目標(biāo)。

文中擬探討通過微信輔助BOPPPS模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。即先建立一個(gè)微信公眾號，然后根據(jù)本校學(xué)生的專業(yè)特點(diǎn)來設(shè)計(jì)教學(xué)中的各個(gè)環(huán)節(jié)，定時(shí)推送和更新公眾號中的內(nèi)容，并且在模塊的設(shè)計(jì)中盡可能多地加入實(shí)踐內(nèi)容，讓學(xué)生更多地參與到教學(xué)中。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

文中基于BOPPPS模式下線性代數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)研究擬用32學(xué)時(shí)開展。依據(jù)BOPPPS教學(xué)模式，將每次課的教學(xué)環(huán)節(jié)分為六個(gè)階段：（1）B（Bridge-in）：精心設(shè)計(jì)課堂引入；（2）O（Objective）：設(shè)置學(xué)習(xí)目標(biāo)和教學(xué)目標(biāo)；（3）P（Pre-assessment）：課前知識檢測；（4）P（Participatory Learning）：變課堂教學(xué)為以學(xué)生為中心的參與式學(xué)習(xí)；（5）P（Post-assessment）：課后測驗(yàn)學(xué)習(xí)效果和教學(xué)效果；（6）S（Summary）：對課堂內(nèi)容及時(shí)進(jìn)行梳理與總結(jié)。每個(gè)環(huán)節(jié)均為獨(dú)立模塊，但前后又互相銜接，構(gòu)成完整的教學(xué)過程[8]。32學(xué)時(shí)的教學(xué)共有16次課，固定采用一種BOPPPS有效教學(xué)設(shè)計(jì)教案格式，分別完成16個(gè)教學(xué)方案的撰寫。

（一）案例引入

線性代數(shù)的概念一般都會(huì)有來源背景，如果能結(jié)合實(shí)際案例來引入，學(xué)生對概念的理解會(huì)更深入。例如，在講解線性方程組的求解過程中，不應(yīng)完全局限于書本上的例子引入，不同的專業(yè)可以給出不同的示例。如在工科專業(yè)中，可以舉關(guān)于平衡結(jié)構(gòu)的梁受力問題，在橋梁、房頂、鐵塔等建筑結(jié)構(gòu)中，涉及各種各樣的梁，對這些梁進(jìn)行受力分析是設(shè)計(jì)師、工程師經(jīng)常做的事情；在生物管理類專業(yè)中，可以舉關(guān)于多個(gè)經(jīng)濟(jì)部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系問題，為了協(xié)調(diào)多個(gè)相互依存的行業(yè)的平衡發(fā)展，有關(guān)部門需要根據(jù)每個(gè)行業(yè)的產(chǎn)出及其在各個(gè)行業(yè)中的分配情況確定每個(gè)行業(yè)產(chǎn)品的指導(dǎo)價(jià)格，使得每個(gè)行業(yè)的投入與產(chǎn)出都大致相等。學(xué)生可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行理論分析，簡化題目的分析過程，重點(diǎn)闡述要求解的問題，從而引入線性方程組的求解討論。該階段的教學(xué)設(shè)計(jì)需要花費(fèi)教師大量的時(shí)間，多方位、多角度地考慮學(xué)生的差異性，查閱資料文獻(xiàn)，通過多媒體課件來進(jìn)行展示。

（二）設(shè)置學(xué)習(xí)目標(biāo)和教學(xué)目標(biāo)

教師在授課過程中，一定要明確教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)目標(biāo)。主要根據(jù)布魯姆教育目標(biāo)來制訂便于測評和客觀評價(jià)的目標(biāo)，而非理想的愿望。教學(xué)目標(biāo)應(yīng)具體且能顯見，應(yīng)有層次結(jié)構(gòu)，由簡單到復(fù)雜遞增，如課程的重點(diǎn)知識、學(xué)習(xí)價(jià)值，以及可習(xí)得的能力，讓學(xué)生明確掌握學(xué)習(xí)的方向。通常目標(biāo)的句子設(shè)計(jì)包含四要素：誰（Who）、將學(xué)到什么（Will do what）、在什么情況下（Under what condition）以及學(xué)得如何（How well）。

如，矩陣是線性代數(shù)的核心內(nèi)容，矩陣的運(yùn)算與秩這一章節(jié)內(nèi)容多，計(jì)算量大，教學(xué)時(shí)需要放慢腳步，講授清楚逐個(gè)知識點(diǎn)。矩陣的運(yùn)算與秩安排在第四章節(jié)[1]，第一節(jié)內(nèi)容包括矩陣的線性運(yùn)算、矩陣的乘法運(yùn)算、矩陣的轉(zhuǎn)置和幾種特殊矩陣的乘法運(yùn)算，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)闡明教學(xué)目的與要求，重難點(diǎn)為矩陣的乘法運(yùn)算，讓學(xué)生認(rèn)識到每次課需要達(dá)成的學(xué)習(xí)目標(biāo)，如何完成，并且怎樣才能算達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)?？蓪⒊Ｒ姷慕虒W(xué)目標(biāo)“理解矩陣的加法、數(shù)乘矩陣及矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律、理解矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式、方陣的冪、伴隨陣等概念。掌握矩陣的線性運(yùn)算以及矩陣的乘法運(yùn)算”修改為“在線上提前預(yù)習(xí)時(shí)，學(xué)生能正確完成一個(gè)矩陣加法和一個(gè)數(shù)乘矩陣計(jì)算題，能通過向量乘法看懂矩陣乘法的定義；在課堂隨機(jī)提問環(huán)節(jié)，學(xué)生能正確說出至少兩個(gè)矩陣乘法運(yùn)算律；在課后作業(yè)中，學(xué)生獨(dú)立完成教師布置的三個(gè)作業(yè)題（兩個(gè)基礎(chǔ)題、一個(gè)補(bǔ)充題）并在規(guī)定時(shí)間內(nèi)提交作業(yè)”等目標(biāo)。

（三）課前知識檢測

根據(jù)部分專業(yè)的培養(yǎng)方案設(shè)計(jì)，線性代數(shù)課程的授課對象若是大一年級的新生，為了解學(xué)生中學(xué)課程的基礎(chǔ)和預(yù)備知識的掌握程度，確保學(xué)生能適應(yīng)新知識的教學(xué)進(jìn)度和難度，教師可在建立的微信公眾號中以發(fā)放開放性試題、推送調(diào)查問卷等方式調(diào)研學(xué)生的知識儲(chǔ)備情況，要求學(xué)生在限定時(shí)間內(nèi)完成。即將講授的新課內(nèi)容也通過微信公眾號發(fā)放，讓學(xué)生提前預(yù)習(xí)并反饋更想掌握的知識。先測會(huì)使學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定的緊迫感，集中注意力，避免聽課時(shí)一頭霧水，掃除新課中的障礙，把精力主要放在理解和思考問題上，發(fā)現(xiàn)自己的薄弱環(huán)節(jié)，提高學(xué)習(xí)效率。

（四）以學(xué)生為中心的參與式學(xué)習(xí)

參與式學(xué)習(xí)是BOPPPS模式的關(guān)鍵部分，目的是讓學(xué)生最大限度地參與到教學(xué)過程中。在16次教學(xué)設(shè)計(jì)中，分別交叉使用不同的方法來設(shè)計(jì)本環(huán)節(jié)。（1）課堂互動(dòng)方法。如講到矩陣乘積所滿足的運(yùn)算律時(shí)，消去律一般不成立。學(xué)生容易將其和常數(shù)的乘積運(yùn)算混淆，因此為讓學(xué)生更清楚地記住“兩個(gè)非零矩陣的乘積仍可能是零矩陣（即當(dāng)矩陣[A≠0]，矩陣[B≠0]時(shí)，仍有可能[AB=0]）”，可以讓學(xué)生在課堂上自由發(fā)言、自由舉例。（2）翻轉(zhuǎn)課堂。若某些章節(jié)實(shí)際示例較多，或者通過前測部分已了解到感興趣的學(xué)生較多，可采用翻轉(zhuǎn)課堂，給學(xué)生更多的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生來講，時(shí)長由教師控制。（3）結(jié)合實(shí)際操作。結(jié)合MATLAB、Python等熱門軟件操作來講解，既讓學(xué)生掌握不容易記住的知識點(diǎn)，還讓學(xué)生了解到這些軟件在數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用，講解結(jié)束后學(xué)生課后可采取實(shí)驗(yàn)的方式繼續(xù)學(xué)習(xí)。例如，“設(shè)A是一個(gè)[m×n]矩陣，對A左乘一個(gè)m階初等矩陣，相當(dāng)于對A進(jìn)行相應(yīng)的行初等變換；對A右乘一個(gè)[n]階初等矩陣，相當(dāng)于對A進(jìn)行相應(yīng)的初等列變換”[1]，該定理即是說，對矩陣作一系列的初等變換，可以通過左乘及右乘若干初等矩陣來實(shí)現(xiàn)。教材中有適當(dāng)?shù)淖C明過程，但我們只能告知學(xué)生，它就是這樣來的，在課件展示、口頭講解后，學(xué)生遇到實(shí)際題目時(shí)不一定能做到心領(lǐng)神會(huì)。通過MATLAB或者Python軟件的計(jì)算，課上邊操作邊講解，使學(xué)生在理解定理的同時(shí)可猜測計(jì)算結(jié)果，這無疑能更好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性。當(dāng)然，也許這些軟件對于剛?cè)氪髮W(xué)校門的學(xué)生來說是陌生而新鮮的，我們會(huì)將相關(guān)軟件介紹推送到前文所提到的微信公眾號中，當(dāng)學(xué)生不會(huì)計(jì)算時(shí)直接打開該微信公眾號即可查閱。

（五）課后測驗(yàn)學(xué)習(xí)效果和教學(xué)效果

這一部分的檢測通常采用課后作業(yè)、章節(jié)測驗(yàn)和調(diào)查問卷等方式來進(jìn)行。課后作業(yè)為每次課都要布置一次作業(yè)，通過微信公眾號或者釘釘群布置和提交；章節(jié)測驗(yàn)中總的測驗(yàn)次數(shù)須達(dá)到5次（共5章內(nèi)容）；問卷調(diào)查在課程結(jié)束后進(jìn)行，問卷題型有單選、多選和開放性題型。教師通過課后學(xué)生的反饋情況，了解教學(xué)存在的問題，可及時(shí)與學(xué)生進(jìn)行探討和完善。

（六）課堂內(nèi)容的梳理與總結(jié)

教師應(yīng)針對上一環(huán)節(jié)的討論進(jìn)行，每次收回的作業(yè)要在下次課前批改完成，將作業(yè)中存在的問題在線上或線下及時(shí)反饋給學(xué)生，并預(yù)告下次課內(nèi)容。由于課時(shí)問題，章節(jié)測驗(yàn)選擇學(xué)生空余的時(shí)間在線上開展，一次測驗(yàn)結(jié)束后先將參考答案通過微信公眾號發(fā)布，讓學(xué)生主動(dòng)核對并將測驗(yàn)成績上報(bào)給教師，出現(xiàn)錯(cuò)誤最多的地方要在下一章上課時(shí)重復(fù)講解。調(diào)查問卷向全班學(xué)生發(fā)放，問卷回收后進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)，分析結(jié)果并在班級釘釘群或微信公眾號公示。每章結(jié)束后，課上利用幾分鐘時(shí)間讓學(xué)生輪流發(fā)言，分享學(xué)習(xí)心得。通過總結(jié)歸納，評估教學(xué)效果，幫助學(xué)生反思，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

四、結(jié)語

文中所涉及的微信公眾號已在建設(shè)之中，后期的更新和維護(hù)也是一項(xiàng)必不可少的工作?；谖⑿殴娞柶脚_(tái)，通過BOPPPS教學(xué)模式，在每一次閉環(huán)教學(xué)中全面細(xì)化線性代數(shù)的課程教學(xué)設(shè)計(jì)，自然引入定理和計(jì)算、提前進(jìn)行摸底預(yù)測，多種方式讓學(xué)生參與教學(xué)和學(xué)習(xí)、檢測學(xué)習(xí)效果并進(jìn)行總結(jié)，承前啟后、有效銜接各章節(jié)內(nèi)容，與學(xué)生科學(xué)互動(dòng)，教學(xué)相長。如今網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)較多，學(xué)生疲于對各種教學(xué)視頻的選擇，我們應(yīng)充分利用新的信息化技術(shù)，整合最優(yōu)資源，將學(xué)生的碎片化空余時(shí)間“撿”起來。

教學(xué)實(shí)施過程中，還應(yīng)關(guān)注以下幾點(diǎn)：（1）為體現(xiàn)BOPPPS模式下的教學(xué)設(shè)計(jì)的成效，教師在各環(huán)節(jié)還應(yīng)加強(qiáng)痕跡管理，加強(qiáng)課程的過程性評價(jià)和考核，記錄下學(xué)生各環(huán)節(jié)的表現(xiàn)，根據(jù)學(xué)生表現(xiàn)合理進(jìn)行打分獎(jiǎng)勵(lì)，計(jì)入期末綜合成績。（2）本課程的課時(shí)少，增加課時(shí)又會(huì)導(dǎo)致專業(yè)培養(yǎng)方案的大范圍修改，很多環(huán)節(jié)的工作需要教師和學(xué)生在線上配合完成，這不僅要求教師要無私奉獻(xiàn)，還要求學(xué)生自覺主動(dòng)地加入，探究學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。（3）利用電子產(chǎn)品和課堂的結(jié)合來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，應(yīng)掌握好二者結(jié)合之度，若使用手機(jī)或電腦時(shí)間過長，部分學(xué)生可能玩的時(shí)間超過學(xué)習(xí)的時(shí)間，導(dǎo)致最終學(xué)習(xí)效果大打折扣。（4）團(tuán)隊(duì)精神是一種文化氛圍，是一種積極向上、朝氣蓬勃的精神面貌，應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)意識的建設(shè)。（5）如何將課程思政融入各環(huán)節(jié)也是值得深思的問題。

我們要不斷推陳出新，緊跟時(shí)代步伐，創(chuàng)造新的信息化課堂教學(xué)模式。同時(shí)希望通過有效的教學(xué)設(shè)計(jì)，能獲得良好的教學(xué)效果。

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