李靜　張潤蓮　于艷仿　王營營

摘 要：初中數(shù)學(xué)混合式教學(xué)中的深度學(xué)習(xí)開展環(huán)節(jié)包括基于問題驅(qū)動和導(dǎo)學(xué)地圖的課前線上淺層學(xué)習(xí)，以及基于深度學(xué)習(xí)特征要求的課中線下課堂教學(xué)探究活動。文章以“平行四邊形的判定”為例，對初中數(shù)學(xué)混合式教學(xué)中的深度學(xué)習(xí)開展途徑進行了探究。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；混合式教學(xué)；深度學(xué)習(xí)

基金項目：河北省高等學(xué)?？茖W(xué)研究項目“深度學(xué)習(xí)問題驅(qū)動下的中小學(xué)混合式教學(xué)設(shè)計與實施研究（SY202113）”；廊坊市基礎(chǔ)教育重點專項“深度學(xué)習(xí)問題驅(qū)動下的初中數(shù)學(xué)混合式教學(xué)設(shè)計與實施研究（JCJY202012）”。

作者簡介：李 靜（1966—），男，廊坊師范學(xué)院理學(xué)院。

張潤蓮（1983—），女，中國人民警察大學(xué)基礎(chǔ)部。

于艷仿（1975—），女，河北省廊坊市廣陽區(qū)第四小學(xué)。

王營營（1982—），女，河北省廊坊市第十七中學(xué)。

一、前言

根據(jù)布魯姆的認(rèn)知目標(biāo)分類理論，對學(xué)習(xí)內(nèi)容的分析、評價和創(chuàng)造等屬于高階思維，是深度教學(xué)的目標(biāo)［1］。而達到高階思維發(fā)展水平的深度學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能夠探索數(shù)學(xué)關(guān)系，尋求數(shù)學(xué)意義，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維開展數(shù)學(xué)研究，即具備數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的元認(rèn)知知識、元認(rèn)知體驗和元認(rèn)知策略。正如美國學(xué)者恩特威斯?fàn)査f，深度學(xué)習(xí)具有聯(lián)系觀點、尋找模型和原則、使用證據(jù)和檢查論證的邏輯正確性等特征［2］。教師應(yīng)借助混合式教學(xué)這一先進教學(xué)手段，考慮數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)特征以及學(xué)習(xí)方式的適配性，結(jié)合深度學(xué)習(xí)特征的要求以及相關(guān)經(jīng)驗，在混合式教學(xué)中融入深度學(xué)習(xí)模式。下面，筆者以八年級數(shù)學(xué)“平行四邊形的判定”一課為例展開討論。

二、課前線上重視整體觀念性學(xué)習(xí)

課前教師要設(shè)置預(yù)習(xí)問題和導(dǎo)學(xué)地圖。預(yù)習(xí)問題能驅(qū)動學(xué)生從整體上把握本節(jié)課內(nèi)容，包括本原性問題、關(guān)聯(lián)性問題和真實性問題等類型。本原性問題主要強調(diào)對所學(xué)知識內(nèi)容的本真或本原的思考，涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容的哲學(xué)認(rèn)識或宏觀價值［3］；關(guān)聯(lián)性問題主要是以舊帶新的合情推理問題，設(shè)置此類問題的目的是使學(xué)生不僅復(fù)習(xí)與本課內(nèi)容相關(guān)的舊知識，還要遷移應(yīng)用以往的知識經(jīng)驗；真實性問題主要是與本課內(nèi)容相關(guān)的現(xiàn)實問題，可以是知識抽象的背景問題，也可以是對本課內(nèi)容的簡單應(yīng)用。導(dǎo)學(xué)地圖是對本課內(nèi)容研究性學(xué)習(xí)的認(rèn)知根源或認(rèn)知圖式的描述，包含知識發(fā)生發(fā)展的過程以及學(xué)生學(xué)習(xí)的心理感受，其能反映我們要達到的教學(xué)或?qū)W習(xí)目標(biāo)，學(xué)生會遇到的學(xué)習(xí)困難或困惑，教師上課要采用的評價方式，教師關(guān)注的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生合作的方式，學(xué)生反思或總結(jié)的方式，等等。這些問題與導(dǎo)學(xué)設(shè)計體現(xiàn)了以生為本的理念，能引導(dǎo)學(xué)生進入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)整體性學(xué)習(xí)。

例如，教師可在課前布置線上學(xué)習(xí)任務(wù)：觀看“平行四邊形的判定”視頻或微課，預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容。教師設(shè)置的預(yù)習(xí)問題和導(dǎo)學(xué)地圖如下。

（一）預(yù)習(xí)問題

1.四邊形兩組對邊分別平行后成為平行四邊形，那么四邊形的邊與角滿足什么關(guān)系也能成為平行四邊形呢？（本原性問題）

2.平行線性質(zhì)定理與平行線判定定理有何關(guān)系？根據(jù)平行四邊形性質(zhì)定理能否判定平行四邊形呢？為什么？四邊形哪些要素的位置或數(shù)量滿足什么關(guān)系可以推出兩組對邊平行呢？（關(guān)聯(lián)性問題）

3.本節(jié)課研究了平行四邊形哪些判定定理？怎么讀寫的？（淺層性問題）

4.生活中有哪些平行四邊形的例子？你能用紙片制作一個平行四邊形嗎？（真實性問題）

（二）導(dǎo)學(xué)地圖

你接觸的平行四邊形判定定理與平行四邊形性質(zhì)是有聯(lián)系的，但性質(zhì)與判定定理的意義是不一樣的，需要你去琢磨。基于平行線的性質(zhì)與判定方法，你能想到平行四邊形的性質(zhì)與判定方法。平行四邊形性質(zhì)可用三角形全等來推導(dǎo)，平行四邊形判定定理證明可轉(zhuǎn)化為三角形全等來解決，且后面的平行四邊形判定定理證明也可以轉(zhuǎn)化為前面的判定定理來解決，這就是數(shù)學(xué)的邏輯演繹體系。你會跟著老師學(xué)會類比猜想、推理驗證、分類討論等思想方法。討論中你要學(xué)會理解他人的問題解決思路，質(zhì)疑、分析他人的觀點，反思自己的方法，進而有所進步。

三、課中線下強化階段探究性學(xué)習(xí)

學(xué)生在課前形成了對本節(jié)課內(nèi)容的整體認(rèn)識后，會帶著問題或疑惑進入課中學(xué)習(xí)。為了開展深度學(xué)習(xí)，教師必須強化教學(xué)的探究性與研究性。數(shù)學(xué)教學(xué)是一個思維進階的過程，在每一個階段或環(huán)節(jié)，教師都要引導(dǎo)學(xué)生“知其所以然”，要有意識地將陳述性知識、程序性知識和策略性知識的學(xué)習(xí)結(jié)合起來［4］。為此，階段性探究活動應(yīng)基于深度學(xué)習(xí)的特征要求展開，使學(xué)生在布魯姆的認(rèn)知目標(biāo)分類理論的導(dǎo)引下，強化過程性反思和整體抽象，提升深度學(xué)習(xí)的效果。

（一）情境引入環(huán)節(jié)

本環(huán)節(jié)深度學(xué)習(xí)的特征要求：以舊帶新尋找問題解決模型，審視問題合理性以及得到模型的證據(jù)，明確主題整體意義，形成學(xué)習(xí)動機。

【教學(xué)片段】

問題1：有一塊平行四邊形的玻璃片，只剩下如圖1所示部分，小明想把原來的平行四邊形畫出來，他能用什么辦法？

學(xué)生交流討論后說可以根據(jù)平行四邊形的定義來畫。

教師：若一邊模糊，畫不出它的平行線怎么辦？也就是說，除了定義判定，還有其他方法嗎？

學(xué)生再次思考。

教師：想要解決這個問題，我們需要知道四邊形滿足哪些條件才能成為平行四邊形。我們這節(jié)課便來研究平行四邊形的判定。

教師：平行四邊形的定義是什么？性質(zhì)有哪些？（畫一個平行四邊形，并畫出對角線，如圖2）

教師與學(xué)生共同回憶并板書。

定義：AB∥DC，AD∥BC。

性質(zhì)1：AB=DC，AD=BC。

性質(zhì)2：∠DAB=∠DCB，∠ADC=∠ABC。

性質(zhì)3：OA=OC，OB=OD。

（二）知識形成環(huán)節(jié)

本環(huán)節(jié)深度學(xué)習(xí)的特征要求：在問題探究過程中抽象出知識模型（概念、命題和公式等），并考查其抽象的類型（弱抽象、強抽象、并行抽象），探究抽象模型的證據(jù)科學(xué)性、相互關(guān)聯(lián)性，表達對知識抽象形成的看法，最終理解知識。

【教學(xué)片段】

教師：我們知道，平行線判定定理與平行線性質(zhì)定理的結(jié)構(gòu)是顛倒的，此外，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定、角平分線的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定等也是如此。那么，你能類比猜想出平行四邊形的判定定理嗎？

學(xué)生開展猜想活動，寫出如下表達：四邊形ABCD滿足AB∥DC且AD∥BC，可以成為平行四邊形。

（三）邏輯推導(dǎo)環(huán)節(jié)

本環(huán)節(jié)的深度學(xué)習(xí)特征要求：對模型結(jié)論驗證思路進行探索，獲得正確的解題思路；探討知識模型理解或推證過程的邏輯是否正確，分析使用的推證依據(jù)是否合適；理解知識關(guān)聯(lián)性表征。

【教學(xué)片段】

學(xué)生1：我猜想由AB=DC和AD=BC可以推出四邊形ABCD是平行四邊形。

教師讓學(xué)生在黑板上給出證明：由△ABC與△CDA全等得出∠BAC=∠ACD和∠DAC=∠ACB，進而推出AB∥DC且AD∥BC（定義）。

接著教師讓學(xué)生思考如何用其他兩個三角形全等來推導(dǎo)四邊形ABCD是平行四邊形。

總結(jié)：猜想的要素能夠轉(zhuǎn)化成AB∥DC且 AD∥BC（定義），即可作為一個判定依據(jù)。驗證時，我們可以運用全等三角形的知識。

學(xué)生2：我猜想由∠DAB=∠DCB和∠ADC= ∠ABC也可以推出四邊形ABCD是平行四邊形。

教師讓學(xué)生在黑板上給出證明，啟發(fā)學(xué)生用不同的方法將以上條件轉(zhuǎn)化為AB∥DC且AD∥BC（定義）。當(dāng)然，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法將以上條件轉(zhuǎn)化為“兩組對邊相等（判定1）”來證明四邊形ABCD是平行四邊形。

學(xué)生3：我猜想由OA=OC和OB=OD也可以推出四邊形ABCD是平行四邊形。

教師繼續(xù)讓學(xué)生在黑板上給出證明，啟發(fā)學(xué)生用不同的方法將以上條件轉(zhuǎn)化為AB∥DC且AD∥BC（定義）。當(dāng)然，教師也可以啟發(fā)學(xué)生用不同的方法將相關(guān)條件轉(zhuǎn)化為“兩組對邊相等（判定1）”或“兩組對角相等（判定2）”，以此來證明四邊形ABCD是平行四邊形。

（四）變式應(yīng)用環(huán)節(jié)

本環(huán)節(jié)深度學(xué)習(xí)的特征要求：通過問題變式理解知識模型的本質(zhì)，學(xué)會通過聯(lián)系已學(xué)知識尋找解決問題的簡便模型；領(lǐng)會知識應(yīng)用過程中的思想方法，能夠檢驗知識模型應(yīng)用證據(jù)的正確性。

【教學(xué)片段】

教師：剛才，我們猜想平行四邊形判定定理是平行四邊形的性質(zhì)定理的逆定理，那么，我們能不能根據(jù)其他要素組合推出平行四邊形的判定定理呢？

學(xué)生4：我猜想由AB∥DC和AB=DC也可以推出四邊形ABCD是平行四邊形。

教師讓學(xué)生在黑板上給出證明，啟發(fā)學(xué)生用不同的方法將以上條件轉(zhuǎn)化為“平行四邊形定義”或“兩組對邊相等（判定1）”或“兩組對角相等（判定2）”或“對角線相互平分（判定3）”，從而證明四邊形ABCD是平行四邊形。

這個定理相對于前三個，屬于一種變式。

教師：現(xiàn)在我們利用判定定理做一些練習(xí)。

（1）如圖3，在下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）。

A.AB∥CD，AD∥BC

B.AB=CD，AD=BC

C.AB∥CD，AB=CD

D.AB∥CD，AD=BC

（2）如圖4，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB和DC的中點。求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

在練習(xí)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生展開一題多解的討論。

（五）合作鞏固環(huán)節(jié)

本環(huán)節(jié)深度學(xué)習(xí)的特征要求：在自主學(xué)習(xí)中理解知識之間的聯(lián)系，在相互合作中獲得新的認(rèn)識，加深對知識的理解；形成模型應(yīng)用的思想方法，能夠檢驗結(jié)果的正確性，評判問題解決方法的優(yōu)劣。

【教學(xué)片段】

教師：請同學(xué)們以學(xué)習(xí)小組為單位找找還有哪些要素組合能推出平行四邊形的判定定理。

學(xué)生小組找出的判定四邊形ABCD是否是平行四邊形的要素組合如下。

（1）一組對邊平行的要素組合：AB∥DC， ∠DAB=∠DCB與AB∥DC、OA=OC。

（2）一組對邊相等的要素組合：AB=DC、 ∠ADC=∠ABC與AB=DC、OB=OD。

（3）一組對角相等的要素組合：∠DAB= ∠DCB、OB=OD與∠DAB=∠DCB、OA=OC。

教師將以上猜想分給不同的小組證明，讓學(xué)生給出證明過程或反例。

第1組和第3組的兩種要素組合都可以推證四邊形ABCD是平行四邊形。第2組要素組合中，前一種組合無法推證四邊形ABCD是平行四邊形，可舉反例如下：等腰三角形被非中線分成兩個三角形后拼接成的圖形不是平行四邊形；后一種組合可以推證四邊形ABCD是平行四邊形。

（六）反思小結(jié)環(huán)節(jié)

本環(huán)節(jié)深度學(xué)習(xí)的特征要求：感悟知識抽象、推導(dǎo)和應(yīng)用的思想方法；構(gòu)建本節(jié)知識的思維導(dǎo)圖，豐富知識結(jié)構(gòu)，形成高階思維；對相關(guān)問題進行猜想，并用不同的方法證明這些猜想。

【教學(xué)片段】

呼應(yīng)課前線上問題，反思總結(jié)如下。

（1）平行四邊形的判定定理與平行四邊形的性質(zhì)定理互為逆定理。

（2）判定定理證明與性質(zhì)定理證明一樣，可通過三角形全等來解決。

（3）猜想或驗證：考查的要素的位置或數(shù)量關(guān)系是否能轉(zhuǎn)化為平行線的位置關(guān)系是思考的方向。猜想不一定是真命題，需要驗證或舉例反駁。

（4）在幾何知識學(xué)習(xí)中，我們既要大膽猜測，又要小心求證。

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