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        “直線與方程”單元復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計

        2023-06-09 02:15:32朱明明
        關(guān)鍵詞:單元復(fù)習(xí)數(shù)形結(jié)合

        朱明明

        摘? 要:單元復(fù)習(xí)中,通過揭示單元內(nèi)容之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián),完善整體認(rèn)知結(jié)構(gòu),有利于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng). 在“直線與方程”單元復(fù)習(xí)課中,通過重構(gòu)知識體系,感悟“數(shù)”和“形”的和諧統(tǒng)一,引導(dǎo)學(xué)生形成單元復(fù)習(xí)觀念,積累單元復(fù)習(xí)經(jīng)驗.

        關(guān)鍵詞:單元復(fù)習(xí);整體認(rèn)知;數(shù)形結(jié)合;直線與方程

        一、教學(xué)內(nèi)容解析

        本節(jié)課的內(nèi)容選自蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊(以下統(tǒng)稱“教材”)第一章“直線與方程”.

        從教材內(nèi)容的角度:作為解析幾何大單元的開篇內(nèi)容,本章主要研究了平面直角坐標(biāo)系中直線的有關(guān)知識,用代數(shù)方法研究與直線有關(guān)的問題. 坐標(biāo)法是研究解析幾何的核心方法,“直線與方程”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗可以遷移到其他幾何對象的研究中,為后續(xù)“圓與方程”等章節(jié)的學(xué)習(xí)作鋪墊. 坐標(biāo)法通過建立平面直角坐標(biāo)系實現(xiàn)了點與坐標(biāo)、直線與方程的對應(yīng),架起了幾何與代數(shù)之間的橋梁.

        從單元復(fù)習(xí)的角度:單元教學(xué)的基本路徑是“總—分—總”. 第一個“總”相當(dāng)于“登山地圖”,是對單元內(nèi)容初步的整體感知;“分”相當(dāng)于“登山過程”,是在總體感知的基礎(chǔ)上聚焦局部內(nèi)容,進(jìn)行深度學(xué)習(xí);章節(jié)復(fù)習(xí)課便是單元教學(xué)路徑中的第二個“總”,相當(dāng)于“居高回望”,作為單元復(fù)習(xí)課,要揭示單元內(nèi)容之間的本質(zhì)關(guān)聯(lián),建構(gòu)學(xué)習(xí)單元的整體認(rèn)知,彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值.

        根據(jù)以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)重點:重構(gòu)本章知識體系;綜合運用本章知識;理解與應(yīng)用坐標(biāo)法.

        二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

        本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

        (1)通過對直線與方程相關(guān)知識的整合和應(yīng)用,發(fā)現(xiàn)知識內(nèi)部的聯(lián)系.

        (2)經(jīng)歷知識再建構(gòu)的過程,體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想,形成單元復(fù)習(xí)觀,積累單元復(fù)習(xí)經(jīng)驗.

        本節(jié)課的教學(xué)是為了幫助學(xué)生系統(tǒng)了解研究解析幾何的思維過程,掌握用坐標(biāo)法解決幾何問題的基本流程,提高學(xué)生運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.在單元教學(xué)高觀點引領(lǐng)、思想性駕馭、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)的基本要求指引下,依托“直線與方程”單元復(fù)習(xí)這一載體,用數(shù)學(xué)文化、理性思維和實踐應(yīng)用育人,努力實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的目標(biāo).

        三、學(xué)生學(xué)情分析

        1. 學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)

        本節(jié)課的授課對象是江蘇省四星級高中高二年級的學(xué)生,他們已經(jīng)初步掌握了本章的基礎(chǔ)知識,有了研究直線的直接經(jīng)驗,初步具備結(jié)合圖形直觀獲得解題思路的能力,有一定的探究推理能力和邏輯思維能力.

        2. 達(dá)成目標(biāo)所需的認(rèn)知基礎(chǔ)

        單元復(fù)習(xí)需要全面構(gòu)建整章的知識框架,對整章內(nèi)容的掌握具有系統(tǒng)性和連貫性. 這些是學(xué)生缺乏的,也是學(xué)生所需要的.

        3. 教學(xué)難點

        根據(jù)以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)難點:感悟“數(shù)”和“形”的對立與統(tǒng)一;探索解析幾何研究的一般路徑;建立單元復(fù)習(xí)的一般模式.

        四、教學(xué)策略分析

        本節(jié)課是復(fù)習(xí)課,為了促進(jìn)學(xué)生形成完整的知識體系,發(fā)現(xiàn)知識內(nèi)部的聯(lián)系,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),在教學(xué)過程中將教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”一體化,確定具體教學(xué)策略如下.

        (1)站在大單元的高度組織復(fù)習(xí)內(nèi)容. 通過精心設(shè)計的問題串,引導(dǎo)學(xué)生回顧直線與方程的研究過程和研究方法,從“數(shù)”和“形”兩個角度進(jìn)行分析,抓住坐標(biāo)法這一核心方法,幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

        (2)基于學(xué)習(xí)力的視角組織教學(xué)活動. 根據(jù)現(xiàn)階段學(xué)生的實際學(xué)習(xí)能力和學(xué)生的思維特點及認(rèn)知基礎(chǔ),運用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和講練結(jié)合的方法提出問題,讓學(xué)生分析、思考和交流,在鞏固知識的同時培養(yǎng)學(xué)生自主建構(gòu)新知識的能力.

        (3)通過變式訓(xùn)練,讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的雙向轉(zhuǎn)化過程,深化數(shù)學(xué)思維.

        五、教學(xué)過程設(shè)計

        環(huán)節(jié)1:單元教學(xué),方法引領(lǐng).

        以華羅庚先生的名言引領(lǐng)單元復(fù)習(xí)課的教學(xué),在揭示單元復(fù)習(xí)課的價值、提升學(xué)生對單元復(fù)習(xí)認(rèn)識的基礎(chǔ)上,進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo).

        引導(dǎo)語:華羅庚曾經(jīng)說過,讀書的真功夫在于既能把薄的書讀成厚的,又能把厚的書讀成薄的. 熟書生溫,似乎是在溫熟書,但把新東西講進(jìn)去了,就能找另一條線索把舊東西重新貫穿起來.

        【設(shè)計意圖】通過華羅庚先生的話引出本節(jié)課的教學(xué)任務(wù):通過“用一條線索把散落于各節(jié)的舊知識像珍珠一樣串起來”實現(xiàn)知識體系結(jié)構(gòu)化、思想方法一貫化,最終能有一種“會當(dāng)凌絕頂,一覽眾山小”的感覺.

        環(huán)節(jié)2:學(xué)材重構(gòu),雙線貫穿.

        通過對本節(jié)課學(xué)習(xí)資料和教材內(nèi)容的重新整合,以知識重構(gòu)為明線,以數(shù)形結(jié)合思想滲透為暗線,雙線貫穿,感悟“數(shù)”和“形”的對立與統(tǒng)一,探索解析幾何研究的一般路徑,建立單元復(fù)習(xí)的一般范式,促進(jìn)學(xué)生單元理念的形成、思想方法的領(lǐng)悟和核心素養(yǎng)的提升.

        問題1:通過本章內(nèi)容的學(xué)習(xí),你對標(biāo)題“直線與方程”有怎樣的認(rèn)識?

        師生活動:學(xué)生提出“平面內(nèi)的直線可以用二元一次方程來表示,反之,二元一次方程表示的圖形是直線,它們之間有著完美的對應(yīng)關(guān)系”. 教師提煉直線是“形”,而方程是“數(shù)”,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.

        問題2:直線的方程有哪幾種形式?

        問題3:有人說“直線的方程的其他形式都是點斜式方程的‘推論”,你怎么理解?

        學(xué)生活動:學(xué)生總結(jié)將直線的點斜式方程特殊化得到直線的斜截式方程,將直線的兩點式方程特殊化得到直線的截距式方程,確定直線上的兩個點等價于確定了直線的方向,所以直線的兩點式方程也可以由直線的點斜式方程得到. 這幾種形式的直線方程最終都可以化成直線的一般式方程.

        教師總結(jié):“點和方向”或者“兩個點”是確定直線的幾何元素,而方程則是直線的代數(shù)表示. 任意一條直線都可以用二元一次方程表示. 反之,任意一個二元一次方程都對應(yīng)著平面上的一條直線. 這體現(xiàn)了幾何對象和代數(shù)表示之間的對應(yīng)關(guān)系,也就是我們平時所說的“數(shù)形結(jié)合”.我們可以得到直線與方程的知識框圖,如圖1所示.

        【設(shè)計意圖】通過問題串,引導(dǎo)學(xué)生回顧直線的方程的表示形式,感受不同形式直線的方程之間的內(nèi)在聯(lián)系,并從“形”和“數(shù)”兩個角度重新認(rèn)識直線與方程,建立統(tǒng)一的觀點.

        例1? 寫出圖2中各條直線的方程.

        師生活動:學(xué)生口答直線的方程并總結(jié)“求直線方程時,要根據(jù)題目所給條件合理地選擇方程的形式”. 教師追問這些直線的共同特征,引出變式1.

        【設(shè)計意圖】通過例題及變式,利用所復(fù)習(xí)的知識解決問題,加深學(xué)生對方程的理解與運用. 由“形”定“數(shù)”,以“數(shù)”研“形”,難度層次分明,思維逐步提升,培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的意識.

        【設(shè)計意圖】通過對兩條直線的位置關(guān)系的復(fù)習(xí),建構(gòu)本知識模塊的框圖,利用結(jié)構(gòu)化的視圖引導(dǎo)學(xué)生整體感知兩條直線的位置關(guān)系的分類及判定,也為后續(xù)的直線與圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)作鋪墊.結(jié)構(gòu)化視圖的再構(gòu)建幫助學(xué)生形成辯證統(tǒng)一的觀點.

        探究:類比兩條直線的位置關(guān)系的復(fù)習(xí),嘗試結(jié)合知識和思想方法設(shè)計“平面上的距離”知識框圖.

        師生互動:學(xué)生通過小組討論總結(jié)出“平面上的距離主要有兩點間的距離、點到直線的距離和兩條平行直線之間的距離”,并寫出了相應(yīng)的距離公式. 在教師的逐步引導(dǎo)下,學(xué)生結(jié)合公式的推導(dǎo)過程體會到了蘊含其中的數(shù)形結(jié)合思想. 而新授課時之所以能從兩點間的距離出發(fā)一步步將平面上的距離這個體系進(jìn)行完善,是因為兩條平行線間的距離可以化歸為點到直線的距離,而點到直線的距離又可以化歸為兩點間的距離. 因此,平面上的距離這個體系中還蘊含了轉(zhuǎn)化與化歸思想,如圖5所示.

        【設(shè)計意圖】通過前面的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)對知識框圖有了初步認(rèn)識. 讓學(xué)生自己動手設(shè)計知識框圖,可以加深對概念的理解,形成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法. 一方面,讓學(xué)生回顧已有知識,幫助學(xué)生建立整體觀念,形成單元復(fù)習(xí)觀念;另一方面,對學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo),引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形的性質(zhì)和公式的證明過程,發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系.

        環(huán)節(jié)3:實踐應(yīng)用,形數(shù)融通.

        本環(huán)節(jié)精選例題,一題多變,在幾何問題與代數(shù)問題靈活轉(zhuǎn)化的過程中,形數(shù)融通,悟透通法,促使學(xué)生進(jìn)一步感悟解析幾何研究的一般路徑.

        【設(shè)計意圖】該題以學(xué)生熟悉的圖形為載體,研究兩條直線的垂直關(guān)系. 思維入口寬,解題方法多. 設(shè)計該題的目的是讓學(xué)生再次認(rèn)識到坐標(biāo)法是研究解析幾何問題的核心方法. 坐標(biāo)法是基于點與坐標(biāo)、直線與方程的對應(yīng),通過代數(shù)運算研究幾何圖形的性質(zhì).

        【設(shè)計意圖】該題和例2基于同一個背景,是對例2的繼承與發(fā)展. 但與例2相比,該題的圖形中的幾何要素有所增加,解題難度有所提升,可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力,同時引導(dǎo)學(xué)生用運動的觀點觀察問題.

        【設(shè)計意圖】該題以矩形為載體,借助反射問題,考查了圖形的對稱變換,有利于培養(yǎng)學(xué)生的看圖、識圖、用圖和解圖能力,發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),提高學(xué)生分析問題的能力.

        【設(shè)計意圖】該題以函數(shù)的最值問題為背景,培養(yǎng)學(xué)生將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題求解的能力,促使學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的雙向應(yīng)用,也體現(xiàn)了解析幾何在函數(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用.

        【設(shè)計意圖】從知識、方法、思想等多維度進(jìn)行反思提煉. 既總結(jié)收獲、積累經(jīng)驗,又站在單元的視角明晰后續(xù)解析幾何研究的方向,鼓勵學(xué)生自主探究、提升素養(yǎng),為后續(xù)圓、橢圓等知識的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

        師生互動:歐拉線是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其著作《三角形的幾何學(xué)》中提出來的,教師與學(xué)生一起了解,并讓學(xué)生課后查閱相關(guān)資料,了解相關(guān)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化,解決課后作業(yè)2.

        參考文獻(xiàn):

        [1]中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

        [2]史寧中,王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》解讀[M]. 北京:高等教育出版社,2020.

        [3]章飛,顧繼玲. 單元教學(xué)的核心思想與基本路徑[J]. 數(shù)學(xué)通報,2019,58(10):23-28.

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