毛文波

［摘? 要］ 小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)學(xué)理分析旨在融通知識(shí)、認(rèn)知、能力和素養(yǎng)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的整體關(guān)聯(lián)。文章以“千以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”為例，探討開(kāi)展目標(biāo)整體關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)學(xué)理分析的策略：連續(xù)熟悉情境的知識(shí)結(jié)構(gòu)分析，達(dá)到遷移預(yù)備目標(biāo); 關(guān)聯(lián)活動(dòng)操作的表征結(jié)構(gòu)分析，經(jīng)歷概念形成過(guò)程目標(biāo); 循環(huán)生活應(yīng)用的思維結(jié)構(gòu)分析，落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)；學(xué)理分析；學(xué)習(xí)目標(biāo)；目標(biāo)整體關(guān)聯(lián)

小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的學(xué)理分析是指“通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)深度分析，融通共生，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)認(rèn)知的完整過(guò)程，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的完整樣態(tài)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)技能、過(guò)程方法、情感態(tài)度、思想價(jià)值等多層面數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展”［１］，它是解決碎片化教學(xué)、僵化傳遞教材知識(shí)的有效路徑。通過(guò)學(xué)理分析，教師可以深刻整體把握學(xué)習(xí)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)知識(shí)、認(rèn)知、能力和素養(yǎng)結(jié)構(gòu)的融通與落實(shí)。筆者結(jié)合“千以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”為例，談?wù)劷Y(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)學(xué)理分析的策略。

一、連續(xù)熟悉情境的知識(shí)結(jié)構(gòu)分析，達(dá)到遷移預(yù)備目標(biāo)

（一）“千以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”的知識(shí)結(jié)構(gòu)分析

“表示自然數(shù)的關(guān)鍵是十個(gè)符號(hào)和數(shù)位?！保郏玻輰?duì)小學(xué)二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，“數(shù)位”是十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的核心，與此相關(guān)的核心元素是計(jì)數(shù)單位、位值和十進(jìn)制數(shù)位法則。位值與計(jì)數(shù)單位相聯(lián)系，這是學(xué)生常常不易理解的地方。

小學(xué)階段關(guān)于自然數(shù)的認(rèn)識(shí)分為四個(gè)階段：20以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、100以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)知、萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、多位數(shù)的認(rèn)識(shí)，時(shí)間跨度為四年，其中“萬(wàn)和千”是數(shù)的認(rèn)識(shí)中最重要、最關(guān)鍵的概念。從“千以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”的知識(shí)結(jié)構(gòu)（如圖1）可以發(fā)現(xiàn)數(shù)數(shù)是關(guān)鍵方法，是“數(shù)起源于數(shù)”思想的體現(xiàn)，也是集合思想的體現(xiàn)。

（二）真實(shí)問(wèn)題情境，知識(shí)、方法、思想遷移目標(biāo)的落實(shí)

數(shù)是數(shù)量舍棄了各種屬性的本質(zhì)抽象，對(duì)于處在具體形象思維階段的二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)抽象的數(shù)更需要具體的、熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)支撐。熟悉的方法、思想的順利正遷移，能提高學(xué)生對(duì)數(shù)的理解。數(shù)人數(shù)是學(xué)生熟悉的真實(shí)問(wèn)題，能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

1. 由“亂”到“序”，體會(huì)群數(shù)的優(yōu)越性

因借班上課，學(xué)生對(duì)教師有好奇感。

“想知道毛老師的班級(jí)有多少人嗎？”教師出示擺有珠子的小黑板，“有多少顆珠子就有多少人，你打算怎么擺就能一眼看出人數(shù)？”

這樣的提問(wèn)可以使“亂”向“序”進(jìn)發(fā)。學(xué)生的作品中（如圖2），有一半的學(xué)生采用一十一十地?cái)?shù)。

2. 由多到少，體會(huì)位值的意義

讓學(xué)生整體感受32人后走向數(shù)的抽象教學(xué)。

“還能怎樣表示32呢？珠子能不能再少一些，也能表示出32人？”

可以用3捆（10根1捆）小棒和2根來(lái)表示，可以用3個(gè)大珠子和2個(gè)小珠子來(lái)表示（1個(gè)大珠子表示10），可以用不同顏色的珠子表示。

“明明是5個(gè)珠子，怎么是32呢？”

“把它放到計(jì)數(shù)器上?！?/p>

“3個(gè)珠子在十位，2個(gè)珠子在個(gè)位?！?/p>

由物到圖實(shí)現(xiàn)物的抽象，珠子在不同的位置就表示不同的數(shù)，能讓學(xué)生體會(huì)計(jì)數(shù)單位與位值的數(shù)位意義，并使學(xué)生的思維由此進(jìn)階（圖3）。

3． 由96到百，清晰十進(jìn)數(shù)位法則

百是認(rèn)識(shí)千的關(guān)鍵計(jì)數(shù)單位。

“一個(gè)班是32人，像這樣的2個(gè)班有多少人？3個(gè)班呢？”

“96人，怎樣撥就能數(shù)到100人？”

教師展示撥珠過(guò)程和讓學(xué)生回憶十進(jìn)數(shù)位法則，使學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象的過(guò)程。

二、關(guān)聯(lián)活動(dòng)操作的表征結(jié)構(gòu)分析，經(jīng)歷概念形成過(guò)程目標(biāo)

（一）“千以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”教材表征結(jié)構(gòu)分析

比較人教版、蘇教版和北師大版3本教材“千以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”的表征方式發(fā)現(xiàn)，各版教材都運(yùn)用了多種表征方式，體現(xiàn)了外在表征與內(nèi)在表征相結(jié)合。在“幾百幾十幾”認(rèn)識(shí)的過(guò)程中，人教版教材處理得最為豐富、最為細(xì)膩，表征方式特別多元。關(guān)于“幾百幾十幾”的讀法寫(xiě)法，北師大版和蘇教版都沒(méi)有放在第一課時(shí)。筆者在課前學(xué)情調(diào)研發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)三位數(shù)的讀法、寫(xiě)法無(wú)障礙，所以人教版的安排是適當(dāng)?shù)?，符合結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)整體建構(gòu)的特征。

（二）關(guān)聯(lián)活動(dòng)，自主建構(gòu)概念能力目標(biāo)的落實(shí)

基于多元表征理論，“幾百幾十幾”至“一千”的認(rèn)識(shí)構(gòu)建了以下的認(rèn)知生長(zhǎng)過(guò)程（圖4），學(xué)生在豐富的表征活動(dòng)中自主建構(gòu)數(shù)的概念。

1．描繪性表征和描述性表征關(guān)聯(lián)促進(jìn)認(rèn)知從具體走向抽象

“描繪性表征”是與視覺(jué)關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)的具體情境、實(shí)物、圖形和動(dòng)作的表征，“描述性表征”是語(yǔ)言、文字、符號(hào)、模型的表征［３］。兒童學(xué)習(xí)的過(guò)程常始于描繪性表征，比如，認(rèn)識(shí)千的學(xué)程設(shè)計(jì)是這樣的：數(shù)百數(shù)千，認(rèn)千，找千位，表征千。學(xué)生認(rèn)知過(guò)程經(jīng)歷了實(shí)物的動(dòng)手操作、數(shù)數(shù)等描繪性表征，又經(jīng)過(guò)數(shù)“十個(gè)百”是千、找計(jì)數(shù)單位千和千位、借助計(jì)數(shù)器計(jì)數(shù)模型等描述性表征，并經(jīng)歷了“具象—表象—抽象—圖式”的發(fā)展過(guò)程。

2．真實(shí)情境中的認(rèn)知遷移與數(shù)學(xué)方法思想關(guān)聯(lián)促進(jìn)思維從低階走向高階

遷移理論對(duì)情境的研究：“當(dāng)一個(gè)科目在單一而非復(fù)合情境中傳授時(shí)，情境間的遷移就相當(dāng)困難。”［４］認(rèn)識(shí)“幾百幾十幾”的情境是數(shù)出操場(chǎng)上上課的人數(shù)，看似簡(jiǎn)單、熟悉，卻以“亂+序”相結(jié)合的復(fù)雜的點(diǎn)子圖情境出現(xiàn)（圖5）。在短時(shí)間內(nèi)學(xué)生不便數(shù)、又多次猜不出的情況下，可以通過(guò)“問(wèn)題的表征”提高遷移能力［５］。

“你想讓操場(chǎng)上的同學(xué)怎么站就好數(shù)了？”

“每隊(duì)排整齊，每隊(duì)站10人，站成100人一排”。

復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單了，實(shí)現(xiàn)正向遷移。

學(xué)生認(rèn)識(shí)“幾百幾十幾”和認(rèn)識(shí)“幾十幾”在認(rèn)數(shù)的方法、思想本質(zhì)上是一致的。從學(xué)生認(rèn)知上來(lái)說(shuō)，有了兩位數(shù)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，就能很容易地遷移到三位、四位及以上數(shù)的學(xué)習(xí)。學(xué)生能否順利地遷移“百以?xún)?nèi)數(shù)”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，直接決定知識(shí)結(jié)構(gòu)的生長(zhǎng)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展。

當(dāng)將復(fù)雜的點(diǎn)子圖轉(zhuǎn)化為排得整齊的點(diǎn)子圖后，學(xué)生處在學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)，這樣就能對(duì)接已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，即整齊地排、一列10個(gè)、一十一十地?cái)?shù)和剛剛學(xué)會(huì)的一百一百地?cái)?shù)。

認(rèn)識(shí)沖突是點(diǎn)數(shù)多了，按群數(shù)時(shí)會(huì)發(fā)生變化，應(yīng)該怎樣數(shù)？不同的學(xué)生則體現(xiàn)了不同的思維水平（如圖6）。根據(jù)比格斯SOLO分類(lèi)理論，學(xué)習(xí)單中①號(hào)學(xué)生是“一十一十”地?cái)?shù)，思維水平是單點(diǎn)結(jié)構(gòu)；②號(hào)學(xué)生是“一百一百”地?cái)?shù)（雖然一開(kāi)始是5個(gè)十、5個(gè)十地?cái)?shù)），再加43；③號(hào)學(xué)生是先“一十一十”地?cái)?shù)，然后把“10個(gè)十”圈起來(lái)，這反映了由舊水平向新水平明顯遷移的思維進(jìn)階痕跡，所以②號(hào)和③號(hào)學(xué)生思維水平是多點(diǎn)結(jié)構(gòu)；④號(hào)學(xué)生的思維水平更簡(jiǎn)捷，只圈了3個(gè)圈，橫數(shù)24個(gè)，豎數(shù)10個(gè)，簡(jiǎn)化了圈，用乘法來(lái)計(jì)算，再加3，思維水平已達(dá)到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。

真實(shí)情境的問(wèn)題解決，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)空間更大，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的遷移，使不同水平的學(xué)生都得到充分的發(fā)展和思維進(jìn)階。

三、循環(huán)生活應(yīng)用的思維結(jié)構(gòu)分析，落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)

（一）“千以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”思維結(jié)構(gòu)分析

“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展過(guò)程既是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過(guò)程，也是數(shù)學(xué)思維的遞進(jìn)發(fā)展生長(zhǎng)過(guò)程?！保郏叮荨扒б?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”學(xué)生思維結(jié)構(gòu)主要有以下特點(diǎn)：直觀動(dòng)作思維（操作棋子、圈畫(huà)點(diǎn)）→程序描述性思維（數(shù)數(shù)）→概念符號(hào)思維（小棒、百數(shù)片、計(jì)數(shù)器一般替代物）→模型形式思維（數(shù)字表示數(shù)），由形象思維向抽象思維發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展。

（二）評(píng)價(jià)互動(dòng)，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)的落實(shí)

數(shù)感是小學(xué)生核心素養(yǎng)表現(xiàn)之一?！皵?shù)感主要是指對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟?！保郏罚輸?shù)感是一種感知，對(duì)事物的大小、多少、長(zhǎng)短等，不同的人感知的方法、能力存在差異。低年級(jí)學(xué)生的數(shù)感培養(yǎng)起始于數(shù)數(shù)，通過(guò)對(duì)實(shí)物的數(shù)數(shù)，建立相應(yīng)的數(shù)及數(shù)量概念，在數(shù)的過(guò)程中感受數(shù)的大小與數(shù)量的多少，在運(yùn)算中體會(huì)增或減的變化及數(shù)量關(guān)系。當(dāng)數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)的經(jīng)驗(yàn)積累到一定程度，隨著數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生數(shù)感的方法、手段將更加豐富。

1. 在學(xué)生熟悉地經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)中，逐步擴(kuò)大數(shù)的范圍培養(yǎng)數(shù)感

學(xué)生在本課之前一年多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷，為本課的學(xué)習(xí)積累了一定的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)感。學(xué)生雖然已經(jīng)學(xué)會(huì)了一百一百地?cái)?shù)，但從學(xué)生最初對(duì)243無(wú)序的點(diǎn)子圖的猜數(shù)中可以看出其對(duì)數(shù)的大小觀念的建立存在不小的困難。本課數(shù)感培養(yǎng)重點(diǎn)落在“100、243、500、1000”數(shù)的感知與感悟。感悟是借助學(xué)生熟悉的數(shù)班級(jí)人數(shù)切入，算、估幾個(gè)班的人數(shù)，并逐漸把數(shù)的范圍擴(kuò)大，前一個(gè)數(shù)是后一個(gè)數(shù)的參照標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生體會(huì)精準(zhǔn)和近似的關(guān)系，通過(guò)滲透估計(jì)數(shù)大小的方法來(lái)培養(yǎng)量感。

培養(yǎng)數(shù)感，始終離不開(kāi)數(shù)和數(shù)量，數(shù)是抽象的，而數(shù)量則是具體可感的。

2. 在同數(shù)不同量之間轉(zhuǎn)換，體會(huì)數(shù)的廣泛意義

感受同數(shù)不同量的大小與多少，讓學(xué)生獲得較為豐富的感知、體會(huì)與經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)感的培養(yǎng)要注意當(dāng)認(rèn)識(shí)243的意義、建立了243數(shù)字模型后，教師還要給學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)膯?wèn)題拓展。

比如，“操場(chǎng)上有243人在上體育課，其實(shí)這個(gè)243就藏在我們身邊，我們身邊的什么是243？”“學(xué)校兒童劇場(chǎng)有243個(gè)座位?！薄?本數(shù)學(xué)書(shū)紙的張數(shù)接近243?！薄耙还?jié)課有40分鐘，幾節(jié)課的時(shí)間就接近243分鐘？”“我們學(xué)校一個(gè)兒童劇場(chǎng)有243個(gè)座位，兩個(gè)呢？它大約是幾百個(gè)座位？”

學(xué)生有了243豐富的感知后，發(fā)展到對(duì)500的感悟，并以此為參照，能感悟千的大小。“2個(gè)兒童劇場(chǎng)有486個(gè)座位，這個(gè)486還是一臺(tái)微波爐的價(jià)錢(qián)。幾臺(tái)微波爐的價(jià)錢(qián)大約1千元？”生齊回答2臺(tái)，可見(jiàn)此時(shí)學(xué)生對(duì)“1000”的數(shù)感很好。

知識(shí)結(jié)構(gòu)的分析是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)（表征結(jié)構(gòu)）的分析是學(xué)生學(xué)習(xí)的保障，思維結(jié)構(gòu)的分析是學(xué)生學(xué)習(xí)的目標(biāo)。深入地分析是為了更好地落實(shí)育人目標(biāo)，更好地發(fā)展學(xué)生的素養(yǎng)。

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