張存寶

摘 要：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的手段，也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)?；诖耍瑸槁鋵?shí)《課標(biāo)》的要求、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，文章以高中數(shù)學(xué)教學(xué)為研究對象，采用案例分析等策略，對學(xué)生建模意識的培養(yǎng)策略進(jìn)行研究，并從創(chuàng)設(shè)情境、引導(dǎo)建模、學(xué)以致用、總結(jié)反思等角度探究教學(xué)策略，深刻認(rèn)識到培養(yǎng)建模意識對于落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)、促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的意義。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；建模意識；教學(xué)設(shè)計；培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)的高度抽象性使得它具有廣泛的應(yīng)用性，數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個最重要的方式是數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是溝通數(shù)學(xué)世界與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，培養(yǎng)學(xué)生建模意識是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂版）》（以下簡稱“《課標(biāo)》”）將“數(shù)學(xué)建?！绷袨榱髷?shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動為高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的主線之一，貫穿于必修與選修課程中。但是從目前部分高中生的核心素養(yǎng)發(fā)展情況來看，其建模意識淡薄、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力不足?；诖?，為推動《課標(biāo)》的有效落實(shí)，高中數(shù)學(xué)教育工作者有必要立足教學(xué)實(shí)踐，對如何培養(yǎng)學(xué)生建模意識進(jìn)行研究，并探索合理可行的教學(xué)策略。

一、創(chuàng)設(shè)生活情境，在感知中形成建模意識

自從2017版普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》發(fā)布以來，高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排更加貼近生產(chǎn)、生活情境和當(dāng)前社會的熱點(diǎn)問題。因此，在培養(yǎng)學(xué)生建模意識的過程中教師應(yīng)該以數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模與學(xué)生所學(xué)數(shù)學(xué)知識為“切入點(diǎn)”，創(chuàng)設(shè)與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的情境，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，強(qiáng)化對數(shù)學(xué)與生活關(guān)系的感知，促進(jìn)建模意識的形成。

高中數(shù)學(xué)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和解決問題能力的重要階段。為了更好地幫助學(xué)生理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，教師可以創(chuàng)設(shè)生活情境，讓學(xué)生在感知中形成建模意識。在生活情境中，學(xué)生可以更加直觀地感受數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，更好地理解數(shù)學(xué)概念和原理。例如，在講解函數(shù)的概念時，教師可以引入生活中的例子，如汽車的行駛速度隨時間的變化而變化，或者溫度隨時間的變化而變化。通過這些例子，學(xué)生可以更好地理解函數(shù)的定義和性質(zhì)。同時，生活情境還可以幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。在解決實(shí)際問題時，學(xué)生需要將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，更好地解決問題。通過生活情境的創(chuàng)設(shè)，學(xué)生可以更加熟悉數(shù)學(xué)模型的建立過程，更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。此外，生活情境還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)學(xué)生意識到數(shù)學(xué)知識可以應(yīng)用于實(shí)際生活中時，他們會更加積極地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，更好地掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識[1]。

例如，在學(xué)習(xí)“棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積”相關(guān)知識后，為了進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識，教師結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的“打包問題”設(shè)計了建?；顒樱龑?dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索立體幾何的奧秘，促使他們用數(shù)學(xué)的眼光看待身邊的世界，嘗試用數(shù)學(xué)解決身邊的問題。在課堂上，教師利用多媒體課件展示了超市中各種打包商品，并進(jìn)行語言引導(dǎo)：我們逛超市時，經(jīng)?？吹截浖苌蠑[放著各類打包在一起銷售的商品，不同商品的包裝形式常常不同，如果我們從環(huán)保和經(jīng)濟(jì)的角度來考慮，你認(rèn)為哪種包裝形式最省包裝材料呢？為了方便學(xué)生的討論和探究，在五花八門的商品包裝中，教師選取一種最常見的包裝——紙帕巾，并強(qiáng)調(diào)這一商品共10包，每一包都是大小相等的長方體，打包后仍是長方體，請你思考：怎樣將10個小長方體進(jìn)行組合，表面積會最?。吭谶@一階段，學(xué)生剛接觸立體幾何并認(rèn)識了基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征、掌握了求簡單幾何體的表面積、體積的方法，具備了必要的知識儲備，但仍缺乏將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗(yàn)。所以教師利用生活中常見的問題來創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生的思考，為學(xué)生思維轉(zhuǎn)化搭建“支架”。

在上述教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師通過創(chuàng)設(shè)情境將抽象的數(shù)學(xué)建模與現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題相結(jié)合，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價值，激發(fā)了他們對數(shù)學(xué)模型的探究興趣；同時面對情境中的實(shí)際問題，學(xué)生的發(fā)散思維、抽象思維也得到了一定的鍛煉，而這也為他們自主建模并運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題奠定了基礎(chǔ)。

二、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行建模，增強(qiáng)學(xué)生的建模意識

建模意識的培養(yǎng)不能只是憑借說教，而是應(yīng)該讓學(xué)生親身經(jīng)歷。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，讓他們體驗(yàn)?zāi)Ｐ蜆?gòu)建的每一個重要環(huán)節(jié)。這不僅可以幫助他們更好地理解數(shù)學(xué)模型，還能夠培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。

高中數(shù)學(xué)不僅是傳授數(shù)學(xué)知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型建構(gòu)是高中數(shù)學(xué)教育的重要一環(huán)，它不僅有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和原理，還能幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的策略，增強(qiáng)建模意識。在探索中增強(qiáng)建模意識，是高中數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)之一。通過引導(dǎo)學(xué)生自主探索、實(shí)踐操作，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識。在這個過程中，學(xué)生不僅能夠深入理解數(shù)學(xué)概念和原理，還能夠提高解決實(shí)際問題的能力。為了實(shí)現(xiàn)這個目標(biāo)，教師需要采用多種教學(xué)方法和手段。教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)等，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)他們的建模意識和能力。此外，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)和討論，讓他們在互相交流和探討中深化對數(shù)學(xué)建模的理解和應(yīng)用。

例如，在上述“打包問題”的建模活動中，教師優(yōu)化課堂環(huán)節(jié)，為學(xué)生安排探究性任務(wù)，促使他們逐漸在體驗(yàn)、經(jīng)歷的過程中增強(qiáng)建模意識。其中在“探討問題，建立模型”這一環(huán)節(jié)，教師安排任務(wù)并要求學(xué)生合作完成：已知紙巾袋的長70mm，寬55mm，高25mm，請你將10小包紙巾打包成一個大長方體，想一想怎樣組合可使其表面積最??？各小組經(jīng)過討論后按照不同的方法進(jìn)行組合，教師進(jìn)行提示：小包手帕紙的三個大小不同的面積為、、，其中，，。學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)的分析、整理，計算組合體的表面積，并歸納出組合后的長方體的表面積，最后上臺展示。教師根據(jù)各組學(xué)生的展示進(jìn)行點(diǎn)評，促使學(xué)生找出表面積最小的組合方式，并強(qiáng)化對長方體表面積計算公式這一數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識。接下來，在“突破思維，挖掘模型”這一環(huán)節(jié)，教師追問：如果不給出長、寬、高的具體尺寸而只給出條件≥≥，你能知道哪種打包方法表面積最小嗎？各小組按照之前的思路繼續(xù)研究，并在教師的提示和指導(dǎo)下得出結(jié)論：長方體中面積大的面被對接得越多，面積被抵消得也越多，打包后的表面積就越小。經(jīng)過兩次計算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)將每小包紙巾平放，5個一摞，這樣的打包方式表面積最小。對此教師繼續(xù)提問：以10小包紙巾的打包為例，這樣的打包方式得到的表面積最小，可為什么商場的包裝往往都不這樣打包呢？經(jīng)過討論，有的小組認(rèn)為：表面積最小的打包方法不一定是美觀和實(shí)用的，商家還要考慮物品的廣告效應(yīng)；有的小組認(rèn)為：當(dāng)前常見的打包方式是方便顧客拿??；還有的小組認(rèn)為：有時候打包的表面積最小和最省包裝材料并不一致，因?yàn)橥獍b的兩端都有粘貼部分，這些地方的面積就有重疊，而商家考慮的“節(jié)約”并非打包的面積小，而是裁剪后殘料盡可能少。

在這一教學(xué)設(shè)計中，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模過程，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的基本方法，同時也為他們的自主探究、小組合作提供了機(jī)會，讓他們在體驗(yàn)、經(jīng)歷中逐漸突破了數(shù)學(xué)建模的難點(diǎn)，增強(qiáng)了建模意識[2]。

三、鼓勵學(xué)生學(xué)以致用，在應(yīng)用中鞏固建模意識

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)中，通過開展數(shù)學(xué)建?；顒樱瑢W(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)問題解決的需要，開展小組合作，尋找資料或收集數(shù)據(jù)，探究問題的解決方法，探討不同模型的合理性。這些學(xué)習(xí)活動都有利于學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有利于他們積累數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)建模意識和能力。所以，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)中，教師要結(jié)合數(shù)學(xué)建模過程促使學(xué)生回歸現(xiàn)實(shí)生活，梳理建模過程，積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，鼓勵學(xué)生從解決身邊的小問題做起，從一個問題的小切口開始，探究更多的數(shù)學(xué)模型，主動運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合發(fā)展。

例如，在上述“打包問題”的建?；顒又?，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“打包手帕紙”這一現(xiàn)實(shí)問題經(jīng)歷了模型建構(gòu)的過程，分析了長方體表面積計算公式這一模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。為了提高學(xué)生對這一數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識，鞏固學(xué)生的建模意識，教師設(shè)計了“打包盒裝牛奶”這一任務(wù)，并展示某品牌盒裝牛奶的包裝圖，要求學(xué)生分組合作，自主收集資料、運(yùn)用模型，完成對不同包裝方案的探究，說明商家采用當(dāng)前這種包裝方式的意圖。各組學(xué)生在教師的引導(dǎo)下回歸現(xiàn)實(shí)生活，分析數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，并發(fā)現(xiàn)超市中大多數(shù)長方體商品的打包方式都和手帕紙的打包方式類似，這不僅讓學(xué)生在學(xué)以致用中鞏固了模型知識，更是對經(jīng)濟(jì)生活中的一些現(xiàn)象形成了更加深刻而理性的認(rèn)知。

數(shù)學(xué)建模的最終目的就是為了解決生活中的問題，所以在這一教學(xué)設(shè)計中，教師利用現(xiàn)實(shí)生活中的問題促使學(xué)生對所建構(gòu)的模型進(jìn)行應(yīng)用，為他們提供了充分的自主空間，鍛煉了學(xué)生的獨(dú)立思考能力，強(qiáng)化了學(xué)生對建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識。

四、指導(dǎo)學(xué)生重視總結(jié)反思，在理解中遷移建模思維

在高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)反思和拓展遷移是非常重要的一個環(huán)節(jié)。通過總結(jié)反思和拓展遷移，學(xué)生可以更好地理解建模過程中的思路、方法和技巧，更好地掌握建模的要領(lǐng)和應(yīng)用能力，并在面對實(shí)際問題時能夠有意識地運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，以此提高解決問題的能力。

總結(jié)和反思有利于學(xué)生建模思維的形成，這也是建模思維形成的重要策略。在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，常常會面臨難題或復(fù)雜問題，學(xué)生需運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識來予以解決。然而，很多時候?qū)W生只是機(jī)械地套用公式或方法，并未真正理解問題本質(zhì)和解決方式，這時總結(jié)反思顯得尤為重要，學(xué)生需要回顧問題解決過程，思考其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和技巧，并嘗試將這些思想和技巧應(yīng)用到其他問題中。通過總結(jié)反思，學(xué)生可加深對數(shù)學(xué)知識的理解，掌握數(shù)學(xué)技能，同時，也能發(fā)現(xiàn)自己的不足，及時改進(jìn)與提升。此外，總結(jié)反思還有助于培養(yǎng)學(xué)生的建模思維能力，建模思維即指將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力，通過總結(jié)反思，學(xué)生能夠更好地理解問題本質(zhì)和解決方法，并將所學(xué)知識遷移到其他問題中，形成建模思維。在數(shù)學(xué)教育中，學(xué)生面臨難題或復(fù)雜問題時，都應(yīng)認(rèn)真思考與總結(jié)，發(fā)掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和技巧。

例如，在上述“打包問題”的建模活動中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)建模的全過程，理清“發(fā)現(xiàn)問題——收集數(shù)據(jù)——建構(gòu)模型——挖掘模型——實(shí)際運(yùn)用”這一基本流程，引導(dǎo)學(xué)生反思每一環(huán)節(jié)中自己存在的問題，并加以突破，鞏固建模思維。接下來，教師提出新問題“如果把長方體紙巾袋改為圓柱體飲料罐又該怎樣設(shè)計？”要求學(xué)生分組合作，并按照之前經(jīng)歷的建模過程自主完成模型的建構(gòu)與應(yīng)用。在遷移拓展中，把長方體改成圓柱，就變成了“飲料罐的打包問題”，規(guī)定把全等的飲料罐擺放之后打包到一個長方體內(nèi)，問題轉(zhuǎn)化為求全等的飲料罐的外接長方體的表面積大小。為方便“規(guī)則化”，教師提示學(xué)生可以把圓柱體實(shí)物的擺放改為四塊全等的圓柱體積木，并測量積木直徑和高等數(shù)據(jù)，然后思考不同的擺放方法，根據(jù)圓柱體表面積公式等相關(guān)知識進(jìn)行計算。在實(shí)踐中，學(xué)生對不同的打包方式進(jìn)行了設(shè)計與計算，并在課堂上展示了建模過程，并確定最終的打包方案。教師充分肯定了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)過程，并引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題并嘗試用數(shù)學(xué)模型加以解決：在現(xiàn)實(shí)生活中，商品打包問題是十分常見的，其涉及的商品的形狀也各不相同。你能設(shè)計一個新的打包問題嗎？ 由打包問題你還能聯(lián)想到哪些相關(guān)的問題？ 你有解決這些問題的想法或方案嗎？在問題的驅(qū)動下，學(xué)生繼續(xù)探索，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)建模過程的把握，并在遷移拓展中不斷增強(qiáng)建模意識。

在這一教學(xué)設(shè)計中教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)反思、拓展遷移，有效培養(yǎng)了學(xué)生的建模思維、邏輯思維以及創(chuàng)新思維，也讓學(xué)生在自主探究中實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面發(fā)展[3]。

結(jié)束語

總之，數(shù)學(xué)建模是一種將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并通過數(shù)學(xué)得出解決方案的過程。在《課標(biāo)》背景下培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，可以有效地加深他們對實(shí)際問題的認(rèn)識和理解，也可以培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。上文結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐對學(xué)生建模意識的培養(yǎng)策略進(jìn)行研究，并提出了幾點(diǎn)建議，為相關(guān)研究提供參考。當(dāng)然，隨著《課標(biāo)》的進(jìn)一步落實(shí)，教育工作者還應(yīng)繼續(xù)深入教研，并嘗試將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，全方位提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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