牛延凱 曹紅

［摘? 要］ 實(shí)際問(wèn)題中的分?jǐn)?shù)兼具量綱性和無(wú)量綱性的特點(diǎn)，有量綱性分?jǐn)?shù)是一種“量”的意義模型，表征一個(gè)具體的量；無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)是一種“率”的意義模型，表征兩個(gè)量之間的關(guān)系。通過(guò)辨析兩類(lèi)分?jǐn)?shù)的具體內(nèi)涵，可以在分類(lèi)討論中提高分?jǐn)?shù)問(wèn)題的理解效率。

［關(guān)鍵詞］ 分?jǐn)?shù)意義；量綱性；分類(lèi)討論

分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)是數(shù)系的第一次擴(kuò)充，作為抽象的數(shù)，分?jǐn)?shù)本質(zhì)上是無(wú)量綱的［１］，但是具體到實(shí)際應(yīng)用中，脫離了自然數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，分?jǐn)?shù)兼具量綱性和無(wú)量綱性的特點(diǎn)［２］。生活中接觸到的分?jǐn)?shù)實(shí)例可以分為兩類(lèi)：（1）有量綱性的分?jǐn)?shù)，量綱用于表征物理量的客觀屬性，而在小學(xué)數(shù)學(xué)中，常用量綱下的各種名數(shù)表征數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)，如繩子長(zhǎng)米、吃了塊餅（分大餅中的“小塊”看作是一種臨時(shí)用的名數(shù)［３］）；（2）無(wú)量綱性的分?jǐn)?shù)，如讀了一本書(shū)的，男生人數(shù)占女生的。一方面，學(xué)生容易混淆兩類(lèi)分?jǐn)?shù)之間相關(guān)而又不同的意義；另一方面，兩類(lèi)分?jǐn)?shù)之間的意義辨析過(guò)程也是學(xué)生深度理解分?jǐn)?shù)概念的一個(gè)契機(jī)。

根據(jù)是否有名數(shù)這一特點(diǎn)，有量綱性分?jǐn)?shù)和無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)的外在形式容易區(qū)分，是一種天然的分類(lèi)方式，通過(guò)探究?jī)深?lèi)分?jǐn)?shù)的不同內(nèi)涵和處理技巧，學(xué)生在思考分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)可以有不同的分析傾向并找到對(duì)應(yīng)的理解角度，進(jìn)而在分類(lèi)討論中簡(jiǎn)化分?jǐn)?shù)意義的理解難度，提高分?jǐn)?shù)問(wèn)題的理解效率。

一、有量綱性分?jǐn)?shù)和無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)是兩種不同的意義模型

（一）有量綱性分?jǐn)?shù)是一種“量”的意義模型

實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的有量綱性分?jǐn)?shù)是一種“量”的意義模型，表示具體量的大小。在數(shù)系擴(kuò)充到非負(fù)有理數(shù)后，分?jǐn)?shù)比自然數(shù)更能準(zhǔn)確地刻畫(huà)事物的“量”的特性，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“量化思想方法”意義［４］。這一類(lèi)分?jǐn)?shù)在生活中有對(duì)應(yīng)表征的實(shí)際數(shù)量，如米的繩子表示繩子的具體長(zhǎng)度，個(gè)餅表示餅的實(shí)際大小。

有量綱性的分?jǐn)?shù)更多關(guān)注了基于產(chǎn)生過(guò)程的分?jǐn)?shù)，在平均分的過(guò)程中，人們需要找到一個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)刻畫(huà)大于0小于1的量，即整體中的這一部分具體有多大。教學(xué)中借助分和數(shù)的過(guò)程認(rèn)識(shí)這一類(lèi)分?jǐn)?shù)，如華應(yīng)龍老師所說(shuō)，分?jǐn)?shù)的意義是先分后數(shù)［５］，分之后即確定了分母和分?jǐn)?shù)單位，數(shù)是為了數(shù)出有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位，即確定分子。在人教版三年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”中，學(xué)生接觸的主要是這種分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生式定義方式，如1個(gè)餅平均分成3份，數(shù)出其中的2份即個(gè)餅；1米的彩帶平均分成10份，數(shù)出其中的3份是米?？梢?jiàn)，有量綱性分?jǐn)?shù)和產(chǎn)生式的理解過(guò)程可以對(duì)接學(xué)生的生活背景以及前期除法的平均分經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步抽象時(shí)，也可以運(yùn)用面積圖的方式在幾何直觀中幫助學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)意義，學(xué)生理解起來(lái)相對(duì)容易。

（二）無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)是一種“率”的意義模型

實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)是一種“率”的意義模型，表示量之間的關(guān)系，在數(shù)系擴(kuò)充到非負(fù)有理數(shù)后，分?jǐn)?shù)比自然數(shù)更能準(zhǔn)確地刻畫(huà)數(shù)量之間的“率”的關(guān)系。這一類(lèi)分?jǐn)?shù)在生活中沒(méi)有對(duì)應(yīng)表征的實(shí)際數(shù)量，而是用于表示數(shù)量之間的分率關(guān)系，如讀了1本書(shū)的，不代表實(shí)際頁(yè)數(shù)多少，而是表征部分和整體間的分率關(guān)系；男生人數(shù)占女生的，表示男生人數(shù)和女生人數(shù)的分率（比率）關(guān)系。

無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)關(guān)注更多的是作為比較結(jié)果的分?jǐn)?shù)，具體包括兩種類(lèi)型：部分量和整體量的比較結(jié)果——部分在整體中占了多少份額，并進(jìn)一步拓展到兩個(gè)不同量之間的比較結(jié)果——一個(gè)量占了另一個(gè)量的多少份額。在人教版五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”一節(jié)中，學(xué)生開(kāi)始大量接觸這種作為比較結(jié)果的分?jǐn)?shù)，如將盤(pán)子中的8塊面包看作一個(gè)整體，2塊面包占了其中的，這里的是部分量和整體量比較后的結(jié)果，需要借助包含除計(jì)算，8÷2=4份，2塊面包占據(jù)了4份中的1份。對(duì)此張奠宙教授認(rèn)為，分?jǐn)?shù)問(wèn)題中求一個(gè)量占據(jù)的份額是算術(shù)模型，是純粹的數(shù)量問(wèn)題，因此學(xué)生理解起來(lái)相對(duì)困難，但是它在數(shù)學(xué)上更為深刻［６］。

二、從分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系角度理解有量綱性分?jǐn)?shù)與無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)有兩種主要推力：（1）現(xiàn)實(shí)生活計(jì)數(shù)的需求，即在度量和平均分時(shí)需要借助分?jǐn)?shù)表示小于1的量；（2）數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需求，即除法運(yùn)算的封閉性需要借助分?jǐn)?shù)表示運(yùn)算結(jié)果，由此分?jǐn)?shù)與除法之間的遷移聯(lián)系也是理解分?jǐn)?shù)意義的重要基礎(chǔ)。學(xué)生接觸了兩類(lèi)除法——等分除與包含除，以此為基礎(chǔ)可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)作為“量”的分?jǐn)?shù)與作為“率”的分?jǐn)?shù)，辨析有量綱性分?jǐn)?shù)與無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)的不同內(nèi)涵。

（一）等分除角度理解有量綱性分?jǐn)?shù)

有量綱性分?jǐn)?shù)主要對(duì)應(yīng)了等分除的商。等分除是將一個(gè)物體平均分成若干份，求其中一份是多少，在不能整除時(shí)需要借助分?jǐn)?shù)表示每一份的數(shù)量，如人教版教材“分?jǐn)?shù)與除法”一節(jié)中，3個(gè)月餅平均分給4人，每人分多少，即是一種等分除模型，每人分到的不是整數(shù)個(gè)，需要借助分?jǐn)?shù)表示，即個(gè)月餅。

（二）包含除的角度理解無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)

無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)主要對(duì)應(yīng)了包含除的商。包含除是知道每一份的數(shù)量，求整體中包含了這樣的幾份，不能整除時(shí)需借助分?jǐn)?shù)表征，同時(shí)其逆向關(guān)系即這一部分占據(jù)了整體多少份額時(shí)，也需要借助分?jǐn)?shù)表征。如12個(gè)蘋(píng)果，每盤(pán)放3個(gè)，可以擺4盤(pán)，即12里面包含了這樣的4份，反過(guò)來(lái)，每盤(pán)的3個(gè)蘋(píng)果看作整體（12個(gè)蘋(píng)果）的。

（三）無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)所表示的分率關(guān)系是倍數(shù)關(guān)系的拓展

無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)在表示兩個(gè)量之間比較關(guān)系時(shí)，可看作是倍數(shù)關(guān)系的拓展。除法單元中，在包含除的基礎(chǔ)上可以擴(kuò)展形成倍的概念，包含除側(cè)重“有幾個(gè)幾”的理解過(guò)程，可以引申為較大的數(shù)是較小數(shù)的幾倍。引入倍的概念后可以更方便地分析兩個(gè)量之間的比較關(guān)系，而其結(jié)果不能整除時(shí)需借助分?jǐn)?shù)表示，和倍一樣，這時(shí)的分?jǐn)?shù)也沒(méi)有量綱。

人教版教材“分?jǐn)?shù)與除法”一節(jié)設(shè)計(jì)了這樣一道例題：小新家養(yǎng)鵝7只，養(yǎng)鴨10只，養(yǎng)雞20只，雞的只數(shù)是鴨的幾倍？鵝的只數(shù)是鴨的幾分之幾？以上兩個(gè)問(wèn)題有什么關(guān)系？

可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)問(wèn)題都涉及了包含除計(jì)算模型，一個(gè)能整除——雞的只數(shù)是鴨的2倍；一個(gè)不能整除——鵝的只數(shù)是鴨的。由此可見(jiàn)，無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)表示數(shù)量關(guān)系時(shí)，“分?jǐn)?shù)倍與整數(shù)倍意義一樣”［７］，在不能整除時(shí)，分?jǐn)?shù)比整數(shù)更為精確地表征了兩個(gè)量之間的倍比關(guān)系。

三、有量綱性分?jǐn)?shù)和無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系模型

教材在“分?jǐn)?shù)的意義”“分?jǐn)?shù)與除法”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”等章節(jié)所編排的情境問(wèn)題中，有量綱性分?jǐn)?shù)與無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)常常融合在一起，學(xué)習(xí)者更容易感悟兩類(lèi)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)一致性。而在“分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題”“分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題”等內(nèi)容中，有量綱性分?jǐn)?shù)和無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)則需要分類(lèi)討論，兩者有不同的數(shù)量關(guān)系模型和問(wèn)題解決策略（以分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題為例分析）。

（一）有量綱性分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系模型

有量綱性分?jǐn)?shù)表示具體數(shù)量大小，相關(guān)應(yīng)用題可以遷移之前整數(shù)和小數(shù)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，適用諸如總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量、路程=速度×?xí)r間等數(shù)量關(guān)系模型。在原先經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，有量綱性分?jǐn)?shù)應(yīng)用題處理起來(lái)并不復(fù)雜。

例1? 一座大橋長(zhǎng)800米，一輛汽車(chē)通過(guò)此橋用了分鐘，這輛汽車(chē)1分鐘行駛多少千米？（青島版教材習(xí)題，路程÷時(shí)間=速度，列式800÷）

例2? 修一條長(zhǎng)12千米的公路，如果每天修千米，多少天修完？（北師大版教材習(xí)題，工作總量÷工作效率=工作時(shí)間，列式12÷）

（二）無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系模型

分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題之所以是小學(xué)的難點(diǎn)，主要是指無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)在表征數(shù)量關(guān)系時(shí)，包括兩種情況：部分量和整體量之間的分率關(guān)系以及兩個(gè)不同量之間的比率關(guān)系。

無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，學(xué)生無(wú)法直接應(yīng)用前期經(jīng)驗(yàn)中積累的路程問(wèn)題、購(gòu)物問(wèn)題等數(shù)量關(guān)系模型，因此對(duì)于這類(lèi)應(yīng)用題，需要教師引導(dǎo)學(xué)生重新構(gòu)建數(shù)量關(guān)系模型，并結(jié)合問(wèn)題情境從多個(gè)角度應(yīng)用模型。

1.部分量和整體量之間的分率關(guān)系模型

無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)表示部分和整體的分率時(shí)，其原始數(shù)量關(guān)系模型為：部分÷整體=對(duì)應(yīng)的分率。以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步演繹出兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式：整體×對(duì)應(yīng)的分率=部分，部分÷對(duì)應(yīng)的分率=整體，即知道整體量求部分量時(shí)用分?jǐn)?shù)乘法，知道部分量求整體量時(shí)用分?jǐn)?shù)除法，這也是理解分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題和分?jǐn)?shù)除法問(wèn)題的兩個(gè)重要指導(dǎo)思路。

例3? 小明體內(nèi)有28千克水分，約占體重的，小明體重是多少？（人教版教材例題）

小明體重是整體量，體內(nèi)水分是部分量，表示部分和整體的分率，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法關(guān)系模型——部分÷對(duì)應(yīng)的分率=整體，即28÷=35千克。

結(jié)合學(xué)生的前期知識(shí)基礎(chǔ)，可以類(lèi)比低年級(jí)的包含除模型理解部分量和整體量的分率模型，兩種模型之間是一種互逆關(guān)系，包含除模型需要分析整體中包含了幾個(gè)部分，其逆向分析為部分占了整體的幾分之幾，即部分和整體之間的分率關(guān)系，此時(shí)產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)都是真分?jǐn)?shù)。

2.比較量和標(biāo)準(zhǔn)量之間的分率關(guān)系模型

無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)在比較不同量之間的分率（比率）關(guān)系時(shí)，其原始數(shù)量關(guān)系模型為：比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量=對(duì)應(yīng)的分率。以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步演繹出兩個(gè)數(shù)量關(guān)系式：標(biāo)準(zhǔn)量×對(duì)應(yīng)的分率=比較量，比較量÷對(duì)應(yīng)的分率=標(biāo)準(zhǔn)量。

例4? 我國(guó)幅員遼闊，東西相距5200千米，東西距離是南北的，南北距離多少千米？（人教版教材例題）

南北距離看作標(biāo)準(zhǔn)量，東西距離是比較量，比較量÷對(duì)應(yīng)的分率=標(biāo)準(zhǔn)量，得5200÷=5500千米。

結(jié)合學(xué)生的前期知識(shí)基礎(chǔ)，可以類(lèi)比低年級(jí)“倍”的關(guān)系模型理解比較量和標(biāo)準(zhǔn)量之間的比率模型，如前所述，無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)表示的比較關(guān)系是倍數(shù)關(guān)系的拓展，能整除時(shí)需要分析比較量是標(biāo)準(zhǔn)量的幾倍，不能整除時(shí)則需要分析比較量是標(biāo)準(zhǔn)量的幾分之幾，這時(shí)產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)往往是真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)并存。

3.從單位“1”的角度統(tǒng)一理解兩種數(shù)量關(guān)系模型

可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)的兩種數(shù)量關(guān)系模型屬于統(tǒng)一范疇的思維方式，而單位“1”的引入可以更好地把握以上兩個(gè)關(guān)系模型之間的本質(zhì)聯(lián)系，即無(wú)論是整體量還是標(biāo)準(zhǔn)量本質(zhì)上都可以看作單位“1”，單位“1”已知，求其他量（部分量或比較量）的過(guò)程借助分?jǐn)?shù)乘法；而單位“1”未知，求單位“1”（整體量或標(biāo)準(zhǔn)量）的過(guò)程則借助分?jǐn)?shù)除法。

4.從方程和比的角度輔助理解無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)中的數(shù)量關(guān)系模型

無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系模型理解難度較大，而方程和比的介入可以幫助學(xué)生從不同角度把握其中的關(guān)系結(jié)構(gòu)。

（1）方程借助了代數(shù)思維簡(jiǎn)化算術(shù)分析過(guò)程，在求整體量或標(biāo)準(zhǔn)量的過(guò)程中涉及大量逆向分析，因此多數(shù)教材沒(méi)有引入分?jǐn)?shù)除法關(guān)系式，而是根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法關(guān)系模型列方程解決除法問(wèn)題，如例3中，可設(shè)整體量小明的體重為x，列出分?jǐn)?shù)乘法方程，得x=28，簡(jiǎn)化思考過(guò)程的同時(shí)發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維。

（2）無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)中“率”的意義模型更接近于分?jǐn)?shù)的“比的定義”，因此無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)中的數(shù)量關(guān)系可以從比的角度進(jìn)一步表征，如例3的分?jǐn)?shù)除法問(wèn)題，小明體內(nèi)的28千克水分約占體重的，即體內(nèi)水分 ∶ 體重=4∶5，28千克對(duì)應(yīng)了4份的質(zhì)量，列式28÷4×5，可求出小明的體重。因此比的問(wèn)題解決策略也可以幫助學(xué)生分析和理解無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。

史寧中教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是在認(rèn)識(shí)數(shù)量的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)量之間的關(guān)系”，在分?jǐn)?shù)教學(xué)中，有量綱性分?jǐn)?shù)的意義側(cè)重于前者，而無(wú)量綱性分?jǐn)?shù)的意義側(cè)重于后者，兩類(lèi)分?jǐn)?shù)相關(guān)而又不同，本質(zhì)一致又表征了不同的意義傾向，因此對(duì)兩類(lèi)分?jǐn)?shù)意義模型的辨析有助于學(xué)生深度理解分?jǐn)?shù)概念，并進(jìn)一步運(yùn)用分類(lèi)討論的方式靈活處理分?jǐn)?shù)問(wèn)題。

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