洪金姬

摘 要： 本節(jié)課采用提出問題、探索討論、師生互動、生生點評、教師總結(jié)相結(jié)合的方式，在學生自主探索討論過程中，教師循循善誘，學生拾級而上，圍繞問題進行觀察、思考、分析、討論，從而概括、遷移、綜合數(shù)學方法，推導(dǎo)出點到直線距離公式.

關(guān)鍵詞： 點到直線距離公式 轉(zhuǎn)化與化歸 分類討論 坐標法

新課程下的數(shù)學課堂教學中，教師應(yīng)該以學生發(fā)展為主軸，所創(chuàng)設(shè)的情境是學生熟悉的，設(shè)計的問題是學生能解決的，采用的教學方式是學生易接受的，符合維果斯基所倡導(dǎo)的“最近發(fā)展區(qū)”理論.通過特殊的、典型的問題，以及學生共同體的自主探索活動，將已解決問題中所蘊含的數(shù)學思想方法遷移到更一般的待解決問題中，把數(shù)學的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學生易于接受的教育形態(tài).

“點到直線的距離”這一節(jié)內(nèi)容是在學生學習直線方程及兩點間的距離公式的基礎(chǔ)上，為以后研究平行直線之間的距離，直線與圓的位置關(guān)系，乃至以后解析幾何中的三角形面積問題埋下伏筆.新課程標準要求教學過程不僅要重視基礎(chǔ)知識、技能教學，更要關(guān)注知識形成過程與方法的教學，也就是不僅知其然，更要知其所以然，因此這節(jié)課的內(nèi)容不僅是公式的運用，還要在公式的推導(dǎo)中，讓學生體會數(shù)學思想，鍛煉思維品質(zhì)，提升數(shù)學素養(yǎng)，感受數(shù)學方法的奧妙.

1.教學課題

人民教育出版社的普通高中課程標準實驗教科書（必修）《數(shù)學2》，第三章第三節(jié)的第三小節(jié)“點到直線的距離”，共1個課時.

2.教學對象

寧波市鄞州區(qū)鄞州高級中學高二學生.

3.設(shè)計要點

本設(shè)計以問題“求點到直線的距離”為中心，運用啟發(fā)式教學模式，采用提出問題—解決問題—啟發(fā)遷移—解決問題—總結(jié)思想方法的設(shè)計模式，要求學生不斷分析、探究問題，制定解決問題的策略.此外，教師給予適當數(shù)學支持，實現(xiàn)教學目標.

4.教學目標

4.1知識與技能目標

4.1.1掌握點到直線距離公式的若干推導(dǎo)方法，體會其中的數(shù)學思想方法；

4.1.2能運用點到直線距離公式求點到直線距離及與之相關(guān)的問題.

4.2過程與方法目標

4.2.1在對問題觀察、思考、分析、討論的過程中，讓學生體會數(shù)學知識的產(chǎn)生、遷移、概括、發(fā)展和應(yīng)用，進一步培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力；

4.2.2滲透推導(dǎo)中的數(shù)學思想方法；

4.2.3通過對問題的思考、探究交流，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學交流能力，以及形成數(shù)學知識的概括能力.

4.3情感態(tài)度與價值觀目標

4.3.1體驗獲取數(shù)學知識的成功感受，激發(fā)學生自主學習和研究幾何的積極性及對數(shù)學的情感；

4.3.2通過生生、師生之間的交流與配合，在問題的探究、討論中，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度及良好的思維習慣；

4.3.3培養(yǎng)學生團隊合作意識，個性品質(zhì)，以及勇于探究的科學精神.

5.教學重點、難點

5.1教學重點：點到直線的距離公式推導(dǎo)及公式的應(yīng)用；

5.2教學難點：點到直線的距離公式的推導(dǎo).

6.教學方法

研究式與啟發(fā)式并用

7.教學過程

7.1小試牛刀——情感體驗

一、點到特殊直線的距離問題

教師用電腦顯示屏展示以下兩個問題：

以上師生共同歸納完成，具體過程恕不贅述.

以學生熟悉的數(shù)學問題為情景，學生自主研究、探索，從而獲得點到特殊直線距離公式的發(fā)生過程，可采用圖像法，定性地歸納，讓學生體驗獲得數(shù)學知識的信心與樂趣.

7.2借題引路——授生以漁

教師用電腦顯示屏展示以下四個問題，同時要求學生以6人或6人以上為一組，集體探究、討論.

二、點到一般直線的距離問題

（2）求點P到直線l的距離.

7.3合作交流——模型遷移

著名心理學家巴甫洛夫的理論認為：創(chuàng)造性思維活動稱為原型啟發(fā)，創(chuàng)造性思維通常是在某個原型的啟發(fā)下形成的.例如偉大的數(shù)學家笛卡爾在夢見蜘蛛“表演”的啟示下，創(chuàng)造了笛卡爾坐標系，由此可見，啟發(fā)原型在數(shù)學的發(fā)現(xiàn)中有多么重要.

啟發(fā)式教學就是在教師引導(dǎo)下，要以問題為載體，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新素質(zhì)為中心，以學生的動手實踐、自主探究、合作交流為主要學習方式，通過小組合作學習和組間交流競爭為主要途徑，實現(xiàn)全體學生的主動性、社會性和創(chuàng)造性地和諧發(fā)展的教學活動方式，要體現(xiàn)教師為主導(dǎo)、學生為主體，思維訓(xùn)練為主線的教育理念.在巡視教室的同時，教師要給予學生適當?shù)臄?shù)學支持，保持課堂氣氛活躍，使得生生、師生之間產(chǎn)生互動，激發(fā)學生學習興趣，活躍課堂氣氛，進一步發(fā)揮學生的主體意識和主觀能動性，使學生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，從而更好地優(yōu)化課堂教學，改善課堂教學效果.

7.4庖丁解?！_成共識

7.5生生互評——對比總結(jié)

教師：通過這節(jié)課，我們進行了點到直線距離公式的推導(dǎo)，方法多種多樣，實際上方法不止十種，由于時間關(guān)系，在這里僅僅是研究了其中的四種.那么我們再來品味一下，每種方法的本質(zhì)，以及蘊含著的數(shù)學思想如何？

眾生議論，每組又派出另外一名代表，針對推導(dǎo)的方法進行總結(jié).

學生1：方法1是最常規(guī)的，雖然直接求射影運算比較繁瑣，但是通過設(shè)而不求，整體代換，用一種湊的技巧來求解，使得運算簡化很多.該方法的本質(zhì)，是把點到直線的距離轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離，也就是直線外一點與該點在直線上射影之間的距離，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想.

學生2：方法2是運算相對比較常規(guī)，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，運用等積法求點到直線的距離公式，其實也與方法1類似，體現(xiàn)數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想.

學生3：方法3的特點是運用向量數(shù)量積的幾何意義，將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為點與直線上的點所成的向量在直線法向量方向上投影的長度，也體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.

學生4：方法4的特點是根據(jù)已經(jīng)成立的不等式，將兩點間的距離公式湊成與之結(jié)構(gòu)相應(yīng)的不等式，構(gòu)思非常巧妙，最后用函數(shù)思想求代數(shù)式的最小值，也是將幾何中的最值問題化歸為代數(shù)中的最值問題.

話音剛落，又有一位學生舉手欲語，老師示意讓其發(fā)言.

學生5：我覺得這四種方法還有內(nèi)在聯(lián)系，不僅體現(xiàn)在數(shù)學思想上的相同，還有這四個方法都是以坐標法為核心的，都需要借助于坐標求解或表示相關(guān)量.

7.6教師點評——課堂小結(jié)

教師：五位同學的點評比較到位，也把其中的數(shù)學思想方法講得比較透徹.通過點到直線的距離公式的推導(dǎo)，我們用不同技巧方法，不同思維角度進行探究，四種方法可謂各有千秋，但是其中蘊含的思想方法卻大同小異，借助于特殊問題的啟發(fā)，運用轉(zhuǎn)化與化歸思想和坐標法思想來推導(dǎo).此外，對于以上四種方法，其實方法1、2在細節(jié)上還要進行分類討論，也就是直線方程l：Ax+By+C=0中的A=0，或B=0中有一個成立的時候，公式還是成立的，具體操作請同學們在課后完成.

7.7運用公式——體會價值

例1.（1）求點P（1，-3）到直線l：2x+y-3=0的距離；

（2）求點P（1，-3）到直線l：2x+y+1=0的距離.

例2.已知A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面積.

設(shè)計這兩個例題的目的是說明點到直線距離公式不僅適用于特殊直線、特殊點、一般直線，還可以應(yīng)用到距離相關(guān)的三角形面積問題.具體過程不再贅述.

7.8課后作業(yè)（略）

參考文獻：

[1]袁振國.當代教育學.

[2]黃希庭.心理學.

[3]馮斌，尚俊.等比數(shù)列前n項和的教學設(shè)計.上海中學數(shù)學，2006，5.