林志輝　陳柯柯

［摘 要］路徑的整體設(shè)計(jì)在深度教研中扮演著重要的角色，它將理論學(xué)習(xí)與真實(shí)學(xué)情分析相結(jié)合，突顯教師的創(chuàng)新性思考。文章以“圓的認(rèn)識”為例，闡述深度教研下路徑的整體設(shè)計(jì)。通過時間軸“目標(biāo)設(shè)定—課例比較—路徑思考”，將學(xué)段領(lǐng)域引向單元課時，再進(jìn)一步引向課例的目標(biāo)精準(zhǔn)設(shè)定，并借助課例優(yōu)化思考。另外，還要基于內(nèi)容的整體解讀和學(xué)情的整體分析，選用適切的材料和順序。同時，以一節(jié)課走向一類課的大視野，設(shè)計(jì)出充滿思考力和創(chuàng)新性的路徑。

［關(guān)鍵詞］深度教研；路徑設(shè)計(jì)；圓的認(rèn)識

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）35-0012-04

學(xué)習(xí)路徑是指為了實(shí)現(xiàn)特定目標(biāo)而設(shè)計(jì)的任務(wù)序列，涵蓋學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要經(jīng)歷的各個環(huán)節(jié)。在本文中，“路徑的整體設(shè)計(jì)”是指在特級教師林志輝提出的“單元視角下的比較研究”中進(jìn)行深度教研第三維度的研究。該研究基于“內(nèi)容的整體解讀”和“學(xué)情的整體分析”，關(guān)注靜態(tài)的知識和動態(tài)的學(xué)情，借鑒大量的課例文獻(xiàn)，深入思考、優(yōu)化調(diào)試，旨在設(shè)計(jì)出最適合的學(xué)習(xí)路徑。實(shí)現(xiàn)“路徑的整體設(shè)計(jì)”需要對目標(biāo)設(shè)定、課例比較和路徑思考進(jìn)行比較分析。

一、目標(biāo)設(shè)定

教學(xué)目標(biāo)可以說是指揮棒，直接指向教學(xué)所應(yīng)達(dá)成的成效。目標(biāo)設(shè)定是教師對教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)和能力素養(yǎng)進(jìn)行高度概括的過程，能充分展現(xiàn)教師的專業(yè)性。為了更加精確地確定教學(xué)目標(biāo)，筆者采取了與常規(guī)方法不同的方式。如圖1所示，要求參與研討的教師先逐步細(xì)化學(xué)段領(lǐng)域目標(biāo)和單元整體目標(biāo)，然后解讀單元內(nèi)各個相關(guān)課時的目標(biāo)，最后確定教學(xué)課例的目標(biāo)?？v向和橫向比較知識技能、過程方法和情感態(tài)度，能讓教學(xué)目標(biāo)從宏觀走向微觀，從大單元走向一節(jié)課，不斷細(xì)化和精準(zhǔn)。

1.不同版本課程標(biāo)準(zhǔn)的對比

以“圓的認(rèn)識”為例，縱向比較不同時期的課程標(biāo)準(zhǔn)可發(fā)現(xiàn)，1986年的全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱依然要求學(xué)生掌握圓的特征。然而，從2001年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》開始，課程標(biāo)準(zhǔn)的要求轉(zhuǎn)變?yōu)檎J(rèn)識圓，并一直延續(xù)至今，且“認(rèn)識”被定義為描述對象的特征和由來，闡述該對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。

可以看出，隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的更迭，學(xué)生不僅需要了解圓的特征，還需要了解為什么圓會具有這樣的特征。隨著時間的推進(jìn)，課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求學(xué)生通過觀察和操作來認(rèn)識圓，注重讓學(xué)生通過親身體驗(yàn)來學(xué)習(xí)這部分知識。學(xué)習(xí)方式強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的主動學(xué)習(xí)和動手操作。此外，課程標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生在技能方面的要求也更加具體：要求學(xué)生使用圓規(guī)來畫圓，并注重培養(yǎng)學(xué)生對美的欣賞能力。

2.現(xiàn)行版本課程標(biāo)準(zhǔn)對比

繼續(xù)以“圓的認(rèn)識”為例，通過對比《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在第一學(xué)段、第三學(xué)段和第四學(xué)段不同學(xué)段領(lǐng)域的目標(biāo)安排，聚焦第三學(xué)段六年級中圓所在單元的整體目標(biāo)，梳理對比相關(guān)課時的目標(biāo)，確定“圓的認(rèn)識”的課例目標(biāo)。

（1）學(xué)段領(lǐng)域目標(biāo)

通過比較不同學(xué)段領(lǐng)域的教學(xué)目標(biāo)，可以看出第一學(xué)段著重于辨認(rèn)圓，關(guān)注靜態(tài)、直觀的整體表象。第三學(xué)段則要求學(xué)生通過觀察和操作來認(rèn)識圓，掌握使用圓規(guī)畫圓的技能，并且了解圓周率、掌握圓周長和圓面積的計(jì)算公式，能夠解決簡單的與圓相關(guān)的實(shí)際問題。此外，學(xué)生還需要學(xué)會從平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的角度來欣賞生活中的圖案，并能在方格紙上設(shè)計(jì)簡單的圖案。在第三學(xué)段中，學(xué)生開始逐漸理解圓的特征的動態(tài)本質(zhì)，為第四學(xué)段學(xué)習(xí)更抽象的圓概念打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（2）單元整體目標(biāo)

基于學(xué)段領(lǐng)域目標(biāo)，教師可以選取所在單元的“圓的周長”“圓的面積”和“扇形的認(rèn)識”作為核心案例。通過橫向比較教師教學(xué)用書對各節(jié)課的目標(biāo)定位，確定“圓的周長”“圓的面積”以及“扇形的認(rèn)識”這些課程是為了豐富學(xué)生對圓的特征的認(rèn)識。由此確定本節(jié)課的目標(biāo)：知識層面上為學(xué)習(xí)圓的特征打基礎(chǔ)，技能層面上為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)曲線圖形奠定基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

（3）課時、課例目標(biāo)

結(jié)合學(xué)段領(lǐng)域目標(biāo)、單元整體目標(biāo)以及與相關(guān)典型案例的比較分析，從知識技能、過程方法和情感態(tài)度三個方面確定課時、課例目標(biāo)為：①理解并掌握圓的特征，學(xué)會畫圓；②通過探索圓的特征的過程，積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念；③感受數(shù)學(xué)知識之間的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、課例比較

課例比較是基于充分的文獻(xiàn)閱讀，對典型案例的路徑設(shè)計(jì)進(jìn)行對比分析（如圖2所示）。此過程主要從課例的導(dǎo)入、展開和練習(xí)三個方面出發(fā)，對課例的共性和個性進(jìn)行抽象和聚焦，以求同尋異。通過發(fā)現(xiàn)課例的共性設(shè)計(jì)來確定課例的知識重難點(diǎn)，還要進(jìn)行雙向驗(yàn)證以確保目標(biāo)設(shè)定的準(zhǔn)確性。而對不同課例的立意點(diǎn)進(jìn)行比較，能為路徑設(shè)定提供有益的參考，同時結(jié)合學(xué)情，找到最佳的學(xué)材和教學(xué)序列，從而全面理解教學(xué)內(nèi)容的廣度。

1.求同尋異

以“圓的認(rèn)識”為例，筆者根據(jù)課例設(shè)計(jì)的特點(diǎn)選取了4篇典型的課例作為比較對象，分別是佘路祥老師、肖麗丹老師和汪秀芹老師，以及馮凱老師賞析的特級教師蘇明杰的課例。

從導(dǎo)入環(huán)節(jié)來看，這4篇課例都注重喚醒學(xué)生對圓的原有認(rèn)知。他們利用生活情境或游戲等不同方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入課題。在教學(xué)環(huán)節(jié)中，佘路祥老師和蘇明杰老師利用操作和思考活動引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)圓的相關(guān)特征，并總結(jié)出圓“一中同長”的本質(zhì)屬性。學(xué)生在了解圓“一中同長”的特征后，可以選擇多種方法來畫圓，從中感悟不同畫法之間的共同屬性，體會用圓規(guī)畫圓的優(yōu)勢。汪秀芹老師和肖麗丹老師則采用先畫圓再探究圓的特征的方式。這4位老師都注重探究方法的多樣性，引導(dǎo)學(xué)生通過多次使用圓規(guī)畫圓、使用不同工具畫圓來認(rèn)識圓的特征。其中，只有肖麗丹老師讓學(xué)生研究找圓心的方法，從而讓學(xué)生進(jìn)一步體會圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離相等。無論是先畫圓后探究，還是先探究后畫圓，畫圓和探究圓的特征都是本節(jié)課的目標(biāo)。在練習(xí)環(huán)節(jié)，這4位老師都是讓學(xué)生感受生活中圓的美，強(qiáng)調(diào)圓的特征的應(yīng)用，符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。

通過比較，筆者總結(jié)出這幾個課例的三個共性。（1）導(dǎo)入環(huán)節(jié)需要喚醒學(xué)生原有的知識或經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注學(xué)生的起點(diǎn)；（2）展開環(huán)節(jié)需要聚焦圓的特征探索，特別是圓“一中同長”的本質(zhì)屬性?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生在畫圓的過程中探索和體會圓的特征，并通過觀察、操作和表達(dá)等方式培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念；（3）練習(xí)環(huán)節(jié)需要拓展圓的特征的應(yīng)用，并強(qiáng)調(diào)學(xué)生對圓的美的欣賞。

2.優(yōu)化凝練

課例比較是路徑設(shè)計(jì)的參考依據(jù)，但教學(xué)的主體是學(xué)生，他們的學(xué)情決定了教學(xué)的起點(diǎn)。只有適合學(xué)生的教學(xué)方法才能達(dá)到最好的教學(xué)效果。筆者團(tuán)隊(duì)提出的路徑的整體設(shè)計(jì)以大量文獻(xiàn)為基、以教學(xué)對象為主設(shè)置教學(xué)任務(wù)。為了更準(zhǔn)確地把握學(xué)生的水平，筆者團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了以下三個前測問題：①在格子圖中找到距離已知點(diǎn)學(xué)校300米的小明家（1格表示100米）；②畫出你心目中的圓；③描述圓的特征。

通過對所在區(qū)域的322名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，筆者團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)以下情況。

第①題，找點(diǎn)。解決這個問題時，大多數(shù)學(xué)生都能意識到小明家可能在圓上，畫出圓表示小明家可能在的位置的學(xué)生占比為70.19%，其中有19.25%的學(xué)生想到以學(xué)校為中心，在上下左右四個方向描出4個點(diǎn)。

第②題，畫圓。令人意外的是，高達(dá)98.14%的學(xué)生能夠使用圓規(guī)畫圓，只有個別學(xué)生在使用圓規(guī)時稍顯不熟練。大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)明確知道圓規(guī)的針尖可以用來確定圓心，圓規(guī)兩腳張開的大小可以確定圓的大小。

第③題，說圓。由于學(xué)生可以通過多種渠道獲取關(guān)于圓的知識，所以35.40%的學(xué)生已經(jīng)能說出圓的半徑、直徑和圓心等概念，他們也知道圓的特征中包括“一中同長”。但通過進(jìn)一步的訪談，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生只是停留在知道的層面，缺乏對圓的真正理解。

根據(jù)以上調(diào)研結(jié)果，以及對班級小樣本的集中觀察，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對圓的半徑、直徑和圓心等概念已經(jīng)有了一定的認(rèn)識。面對這樣的高起點(diǎn)，筆者嘗試采用更抽象的教學(xué)方法，即通過操作和探究來引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，抽象概括出圓的本質(zhì)特征，積累學(xué)習(xí)平面圖形的經(jīng)驗(yàn)，并發(fā)展空間觀念。

三、路徑思考

路徑思考是教師在選擇合適的素材、恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)呈現(xiàn)方式和教學(xué)呈現(xiàn)時的思考過程，它體現(xiàn)了教師思想創(chuàng)新的深度。教師要基于目標(biāo)聚焦下的高度進(jìn)行概括、課例比較下的廣度進(jìn)行理解，依托學(xué)生的真實(shí)學(xué)習(xí)起點(diǎn)，選擇合適的“材”，鎖定適切的“序”，順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，尊重學(xué)生的真實(shí)學(xué)情。

1.“材”的選擇

如“圓的認(rèn)識”一課中，基于“圓的認(rèn)識”前測單的數(shù)據(jù)反饋，面對學(xué)生高起點(diǎn)的學(xué)情，筆者摒棄了教材中用實(shí)物拓印圓和描物體邊線的活動，選擇課程標(biāo)準(zhǔn)中提到的格子圖，讓學(xué)生以不同課例中所提到的動態(tài)視角理解圓。筆者嘗試設(shè)計(jì)讓學(xué)生在找點(diǎn)的過程中理解“一中同長”的活動。導(dǎo)入環(huán)節(jié)選擇課前讓學(xué)生找距離學(xué)校300米處的小明家的素材，即選擇找圓上的點(diǎn)的相關(guān)素材。展開環(huán)節(jié)讓學(xué)生在格子圖上先畫一個三角形ABC，再畫一個圓，使得三角形ABC的三個頂點(diǎn)三都在圓上，最后找出這個圓的圓心；保留線段AB，找出過線段端點(diǎn)A和B的圓的圓心，并辨析在同一直線上的三點(diǎn)為何不能在同一個圓上。練習(xí)環(huán)節(jié)不是欣賞生活中圓，而是讓學(xué)生想象13個圓能組成什么圖形，進(jìn)而感受數(shù)學(xué)之美。

2.“序”的鎖定

在“圓的認(rèn)識”一課中，為了進(jìn)一步加深學(xué)生的理解，筆者嘗試從激活認(rèn)知初識特征、探究本質(zhì)豐厚特征、遷移延伸深化特征、圖形想象拓展思維四個環(huán)節(jié)展開教學(xué)（如圖3），帶領(lǐng)學(xué)生找點(diǎn)畫圓。這些環(huán)節(jié)旨在尊重學(xué)生的原有知識起點(diǎn)和技能經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

第一個環(huán)節(jié)分兩層逐步推進(jìn)。第一層是通過找小明家的位置，讓學(xué)生從離散點(diǎn)到密集點(diǎn)再到連續(xù)點(diǎn)（即圓）中初步感受到半徑處處相等。第二層是通過畫圓后對比圓的位置和大小，讓學(xué)生認(rèn)識到圓心決定了圓的位置，半徑?jīng)Q定了圓的大小。

第二個環(huán)節(jié)分三層推進(jìn)。第一層是通過以直角三角形中的某一點(diǎn)為圓心，讓學(xué)生明白斜邊和直角邊長不一致時是無法畫出圓的。第二層是引導(dǎo)學(xué)生從畫一個圓到畫多個圓，再到畫無數(shù)個圓，讓學(xué)生緊緊圍繞“為什么圓心在這里？”這個問題進(jìn)行思考，逐漸理解圓“一中同長”的本質(zhì)特征。第三層是通過畫圓，讓學(xué)生感受到只有以圓心作為唯一點(diǎn)才能使得三角形的三個頂點(diǎn)都在圓上。

在第三個環(huán)節(jié)中，通過找小亮家的方式讓學(xué)生體會直徑的特征，并明確直徑與半徑的關(guān)系。

在第四個環(huán)節(jié)中，通過想象13個圓能組成什么圖形來拓展學(xué)生的思維，并讓他們感受到圓的美。

3.一類課的思考

單元整體視角下的路徑整體設(shè)計(jì)，不僅僅是針對單個課堂的深度研討，更重要的是用聯(lián)系的眼光來看待一系列的課程。比如， “圓的認(rèn)識”屬于認(rèn)識平面圖形的一部分。在“圓的認(rèn)識”之前，教材編排了四邊形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形和三角形的認(rèn)識內(nèi)容。而“圓的認(rèn)識”又是整個“圓”單元的起始課，那么它會給后續(xù)的課程如“圓的周長”“圓的面積”等帶來哪些啟發(fā)呢？這些問題都是路徑整體設(shè)計(jì)需要研討的內(nèi)容。筆者團(tuán)隊(duì)倡導(dǎo)從一節(jié)課走向一類課，注重自然單元之間的課例設(shè)計(jì)，以及關(guān)聯(lián)大單元（即同主題系列）的課例推進(jìn)。

（1）圓的系列課例思考

本單元是小學(xué)階段最后一個認(rèn)識平面圖形的單元，圓作為曲線圖形的一部分，對學(xué)生來說是一個挑戰(zhàn)。在整個單元中，“圓的認(rèn)識”是第一課時，也是學(xué)生認(rèn)識曲線圖形的起始課。而本單元的系列課例需要引導(dǎo)學(xué)生感受動態(tài)圓的軌跡變化過程。例如，在學(xué)習(xí)圓的周長時，通過將曲線轉(zhuǎn)化為直線的方式來理解圓周長的概念，可以加深對圓周率的理解。而在學(xué)習(xí)圓的面積時，通過將圓轉(zhuǎn)化為長方形的方式來理解圓面積的概念，即將曲線圖形轉(zhuǎn)換為熟悉的直邊圖形能夠更好地理解。在這兩節(jié)課中，教師應(yīng)當(dāng)像在“圓的認(rèn)識”一課中一樣，注重學(xué)生的操作，讓他們通過實(shí)際的探索來掌握圓周長和圓面積的公式，并解決一些簡單的實(shí)際問題，同時也促進(jìn)他們空間觀念的發(fā)展。

（2）圖形的認(rèn)識系列課例思考

圖形的認(rèn)識是幾何領(lǐng)域教學(xué)的基石，涵蓋了圖形測量、圖形變換、圖形與位置等方面的內(nèi)容。它是培養(yǎng)學(xué)生空間意識、幾何直觀和推理能力的重要載體。在人教版教材中，從縱向比較的角度來看，一年級下冊開始編排平面封閉圖形的初步認(rèn)識，著重培養(yǎng)學(xué)生的直觀表象和整體辨析能力。到了第二學(xué)段，開始編排圖形特征的初步認(rèn)識，因?yàn)閷W(xué)生需要從整體走向元素，并逐漸從直觀的認(rèn)知走向分析性的思考，為第三學(xué)段學(xué)習(xí)抽象概念奠定基礎(chǔ)。在第二學(xué)段，學(xué)生對圖形的認(rèn)識屬于再認(rèn)識的范疇，教師在概念教學(xué)中可以采用概念同化的教學(xué)路徑來讓學(xué)生認(rèn)識圖形，特別是在長方形、正方形、平行四邊形、梯形和三角形的認(rèn)識過程中。通過采用概念同化的教學(xué)路徑，學(xué)生可以將新學(xué)習(xí)的概念與已有的相關(guān)概念進(jìn)行聯(lián)系和比較，從而更好地理解和掌握圖形的特征。

這樣的教學(xué)路徑有助于學(xué)生在圖形認(rèn)識中深化和遷移概念，培養(yǎng)他們的幾何思維和學(xué)科的連貫性思維。同時，路徑的整體設(shè)計(jì)是培養(yǎng)教師創(chuàng)新能力的有力載體，也能夠?yàn)閷W(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

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