陶毓姍　章勤瓊

【摘? ?要】除法豎式是小學(xué)階段筆算教學(xué)的難點(diǎn)。除法豎式教學(xué)需要把握好情境意義理解與活動(dòng)操作過(guò)程的聯(lián)系，加強(qiáng)算法與算理的聯(lián)系。兩、三位數(shù)除以一位數(shù)在除法豎式學(xué)習(xí)中處于承前啟后的位置。教師將理解算理、掌握算法的核心目標(biāo)具體化之后，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和學(xué)習(xí)路徑作了分析，在此基礎(chǔ)上對(duì)單元進(jìn)行了整體教學(xué)設(shè)計(jì)，增加了活動(dòng)操作，以充分理解算理，并將豎式教學(xué)與橫式進(jìn)行緊密關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)算法與算理的聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)路徑；單元整體教學(xué)；兩、三位數(shù)除以一位數(shù)；算法與算理的聯(lián)系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，運(yùn)算能力的內(nèi)涵之一是“能夠明晰運(yùn)算的對(duì)象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系” ［1］。算法指的是計(jì)算的方法，算理指的是計(jì)算的道理，兩者相輔相成、相互聯(lián)系。理解了算理，能更容易掌握算法；掌握了算法，也有利于算理的理解。只有將算理和算法融合起來(lái)，學(xué)生的計(jì)算能力才能真正得以提高。

“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”單元是小學(xué)階段整數(shù)除法的第二個(gè)知識(shí)模塊?？v觀北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，整數(shù)除法主要分為三個(gè)階段教學(xué)：表內(nèi)除法的運(yùn)算和應(yīng)用、除法口算和除法筆算及應(yīng)用、三位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)的除法筆算及應(yīng)用。第一階段主要學(xué)習(xí)表內(nèi)除法和有余數(shù)的除法，學(xué)生通過(guò)乘法口訣計(jì)算結(jié)果，同時(shí)需要理解除法豎式的合理性。第二階段的重點(diǎn)是學(xué)習(xí)兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的除法，學(xué)生需要進(jìn)一步掌握筆算方法，理解除法豎式需要按照數(shù)位逐步進(jìn)行，并為第三階段三位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)的學(xué)習(xí)提供至關(guān)重要的支撐。所以第二階段對(duì)除法算理的理解與算法的掌握尤其重要。作為教師，怎樣能更好地讓學(xué)生理解算理？基于學(xué)習(xí)路徑的研究框架［2］，筆者對(duì)這一單元進(jìn)行了整體教學(xué)的思考。

一、理解單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）單元內(nèi)容概述

北師大版教材三年級(jí)下冊(cè)“除法”單元主要目標(biāo)包括：經(jīng)歷平均分物的過(guò)程，探索并掌握兩、三位數(shù)除以一位數(shù)除法的計(jì)算方法，進(jìn)一步理解除法豎式計(jì)算的道理；結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，正確計(jì)算兩、三位數(shù)除以一位數(shù)；經(jīng)歷觀察、操作、推理等活動(dòng)過(guò)程，提高解決相關(guān)除法問(wèn)題的能力；能結(jié)合具體情境進(jìn)行估算，進(jìn)一步發(fā)展估算的意識(shí)和能力。

人教版教材三年級(jí)下冊(cè)“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元主要目標(biāo)包括：經(jīng)歷口算除法的探索過(guò)程，會(huì)口算除數(shù)是一位數(shù)，商是整十、整百、整千的數(shù)以及一位數(shù)除幾百幾十（或幾千幾百）的除法；經(jīng)歷一位數(shù)除多位數(shù)筆算的探索過(guò)程，掌握一般的筆算方法，能正確地計(jì)算一位數(shù)除多位數(shù)，并能用乘法驗(yàn)算；經(jīng)歷在具體的情境中用估算解決問(wèn)題的過(guò)程，掌握一位數(shù)除多位數(shù)的除法估算的一般方法，增強(qiáng)估算意識(shí)，形成估算的習(xí)慣；經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的、有條理的思考，能夠靈活選擇合適的計(jì)算方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

對(duì)比兩個(gè)版本的學(xué)習(xí)目標(biāo)，可以看到都涵蓋了以下內(nèi)容：理解兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的算理、掌握豎式計(jì)算的方法、發(fā)展估算的意識(shí)和能力、解決除法相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

（二）確定核心目標(biāo)

本單元的除法豎式是學(xué)生第一次接觸分層記錄的除法，理解難度較大。一方面，學(xué)生要理解除的順序，明白分層記錄的道理，理解從高位開(kāi)始除的必要性，知道當(dāng)高位除完有剩余時(shí)，需把余數(shù)轉(zhuǎn)化成幾個(gè)十或幾個(gè)一，再和下一位的數(shù)合起來(lái)繼續(xù)除；另一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生注重豎式記錄的關(guān)聯(lián)性，將豎式記錄與具體情境、橫式計(jì)算聯(lián)系起來(lái)，構(gòu)建豎式計(jì)算方法和算理之間的關(guān)聯(lián)。

因此，筆者將本單元的核心目標(biāo)確定為理解兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的算理并掌握豎式計(jì)算的方法。

（三）核心目標(biāo)具體化

綜合以上分析，核心目標(biāo)主要為兩點(diǎn)。第一，理解兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的算理。在之前二年級(jí)學(xué)生第一次接觸除法豎式的基礎(chǔ)上，本單元的算理理解具體表現(xiàn)為兩個(gè)水平層次：結(jié)合分小棒的操作情境，使學(xué)生理解可以按照不同的計(jì)數(shù)單位來(lái)分，如既可以先一根一根地分，也可以先一捆一捆地分；在分的過(guò)程中若捆有剩余，需要將捆拆開(kāi)變成根，即理解高位轉(zhuǎn)化為低位的過(guò)程。第二，掌握兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的豎式記錄方法。具體表現(xiàn)為學(xué)生通過(guò)構(gòu)建豎式記錄與橫式的關(guān)聯(lián)，體會(huì)豎式記錄形式的合理性；在實(shí)際操作情境中理解豎式記錄中每一步的意思，建立算法模型。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，筆者從理解兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的除法算理和豎式計(jì)算兩個(gè)方面對(duì)自己任教的一個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。

（一）算理理解水平分析

為了解學(xué)生對(duì)算理的理解水平，筆者設(shè)計(jì)了兩位數(shù)除以一位數(shù)算理理解的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)框架并開(kāi)展了前測(cè)。

測(cè)試題：56根小棒平均分給4個(gè)人，每人分到多少根小棒？用你喜歡的方法，分一分，算一算。

測(cè)試時(shí)，讓學(xué)生自己用小棒操作，并將操作的結(jié)果用畫(huà)圖等多種方式表征出來(lái)。接著，以算理理解的四個(gè)水平層次為基礎(chǔ)［3］，設(shè)計(jì)了如表1的評(píng)價(jià)框架，并對(duì)測(cè)試結(jié)果作了統(tǒng)計(jì)。

從前測(cè)結(jié)果可以看出，大部分同學(xué)能夠用自己的方法得到正確結(jié)果，但說(shuō)不清楚自己是怎么想的；有10個(gè)學(xué)生能通過(guò)畫(huà)小棒的方式圈出分的過(guò)程，得出結(jié)果，但絕大部分同學(xué)無(wú)法說(shuō)出先算什么，再算什么；只有少部分同學(xué)用橫式清楚地寫(xiě)出了計(jì)算順序，即把剩余的捆與原來(lái)的根合在一起繼續(xù)分。

（二）豎式記錄情況分析

在前測(cè)中，還需要學(xué)生用自己的方式來(lái)列豎式。以48÷4為例，學(xué)生豎式記錄情況的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2。

從上表中可以看出，有40人無(wú)法正確寫(xiě)出除法豎式，其中有16人是根據(jù)口算得出的結(jié)果，豎式記錄無(wú)法解釋“分一分”的過(guò)程；無(wú)法進(jìn)行豎式記錄或其他有17人，其中有7人甚至忘記了除法豎式的格式，直接按照加、減、乘法的豎式格式；有8人是完全空白的。只有3人能正確寫(xiě)出完整的豎式記錄，但當(dāng)詢(xún)問(wèn)他們能否將豎式記錄與橫式、“分一分”關(guān)聯(lián)起來(lái)時(shí)，他們不能很清楚地表達(dá)，豎式記錄僅僅是因?yàn)橛洃浤７聦?xiě)出來(lái)的。

三、分析學(xué)習(xí)路徑

基于以上分析，從單元整體教學(xué)視角出發(fā)，本單元教學(xué)可以分為三個(gè)階段。

第一階段，理解兩位數(shù)除以一位數(shù)除法的算理本質(zhì)。借助小棒，以直觀模型再現(xiàn)平均分的過(guò)程，讓學(xué)生在操作中理解兩位數(shù)除以一位數(shù)中分2次的經(jīng)歷，體會(huì)從高位開(kāi)始分的必要性。有了直觀模型與操作活動(dòng)的支持，能使學(xué)生深刻理解除法算理，形成“分一分”通法。

第二階段，引導(dǎo)學(xué)生以關(guān)聯(lián)的視角進(jìn)行豎式記錄。結(jié)合操作活動(dòng)的步驟，以及橫式記錄的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握除法豎式的計(jì)算步驟以及每一步的實(shí)際含義，將算理和算法融合在一起。學(xué)生對(duì)于三位數(shù)除以一位數(shù)的算理、算法的學(xué)習(xí)就水到渠成了。

第三階段，引導(dǎo)學(xué)生借助已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)三位數(shù)除以一位數(shù)的具體算法進(jìn)行變式和遷移。

四、單元整體教學(xué)思考

根據(jù)學(xué)情分析，大多數(shù)學(xué)生對(duì)“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”的算理理解和他們的豎式記錄都存在很大的問(wèn)題，有的學(xué)生甚至不會(huì)書(shū)寫(xiě)正確的除法筆算格式?？梢钥闯觯@類(lèi)學(xué)生在第一次接觸除法豎式時(shí)就沒(méi)有體會(huì)到豎式記錄的合理性，特別是無(wú)法將豎式記錄與操作過(guò)程進(jìn)行對(duì)應(yīng)。因此，在本單元的筆算教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注情境意義、橫式計(jì)算過(guò)程和豎式記錄的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生不僅體會(huì)豎式記錄的合理性，還要能結(jié)合情境，理解豎式記錄過(guò)程中每一步的含義。

綜上分析，應(yīng)基于學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，以單元視角的整體角度對(duì)教材進(jìn)行有機(jī)整合、合理優(yōu)化和靈活運(yùn)用，做到真正為學(xué)生服務(wù)。為此作了如下思考。

（一）加強(qiáng)活動(dòng)操作，促進(jìn)算理理解

從學(xué)生前測(cè)可以看出，大多數(shù)學(xué)生對(duì)豎式計(jì)算中平均分物的過(guò)程并不是很清晰，因此筆者準(zhǔn)備了一節(jié)基于算理理解的活動(dòng)課，讓學(xué)生在平均分的過(guò)程中，建立豎式計(jì)算的表征模型，理解活動(dòng)過(guò)程中每一步的意思。目標(biāo)為：（1）創(chuàng)設(shè)分桃子的現(xiàn)實(shí)分物情境，讓學(xué)生經(jīng)歷分小棒的過(guò)程。（2）理解活動(dòng)的每一個(gè)步驟，并能用橫式記錄下來(lái)。（3）在活動(dòng)過(guò)程中體會(huì)“先十個(gè)十個(gè)分，再一個(gè)一個(gè)分”。

（二）以算理促算法，適當(dāng)整合內(nèi)容

在理解算理的基礎(chǔ)上，打破教材原來(lái)按照知識(shí)點(diǎn)分為“十位剛好整除和有剩余”兩課時(shí)的編排方式，將本單元的教學(xué)分成“理解算理”和“豎式記錄”兩節(jié)課。在第一節(jié)操作活動(dòng)課之后，在第二節(jié)課以教材中的“分桃子”為情境，開(kāi)展指向“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的豎式教學(xué)。這能夠有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解和算法的構(gòu)建。另外還需創(chuàng)設(shè)一個(gè)三位數(shù)除以一位數(shù)的“分一分”操作活動(dòng)。教材中是以求高鐵的速度為情境學(xué)習(xí)“三位數(shù)除以一位數(shù)”，但學(xué)生對(duì)算理的理解是比較抽象的，不能很清晰地說(shuō)出每個(gè)數(shù)字在情境中的意義。因此筆者采用了分“人民幣”的情境，同樣基于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，卻使學(xué)生對(duì)算理的理解更加容易了。

（三）筆算除法中對(duì)于“0”的教學(xué)的整合思考

筆算除法在“0”的處理上緊緊圍繞“不夠商1就商0”和“0除以任何不是0的數(shù)都得0”進(jìn)行，教材中分兩節(jié)課進(jìn)行：在“猴子的煩惱”一課中以“306÷3、840÷6”為例，學(xué)生經(jīng)歷的是“0除以任何不是0的數(shù)都得0”的知識(shí)點(diǎn)；在“節(jié)約”一課中以“912÷3、522÷4”為例，學(xué)生經(jīng)歷的是“不夠商1就商0”的知識(shí)點(diǎn)。從教材的編排邏輯分析，這樣的編排是符合學(xué)生的學(xué)習(xí)思維習(xí)慣的，所以在教學(xué)這兩節(jié)課時(shí)，教材中的材料和結(jié)構(gòu)可不做大的改動(dòng)［4］?？紤]到“被除數(shù)中有0”的教學(xué)需要，同時(shí)結(jié)合課堂作業(yè)本中的練習(xí)題，可以在“306÷3、840÷6”的教學(xué)中，把“節(jié)約”一課中的試一試?yán)}“502÷2”也融入進(jìn)來(lái)，讓學(xué)生體會(huì)“被除數(shù)中間有0并不能肯定商中間有0”。

基于以上對(duì)單元整體教學(xué)的思考，為了更加符合學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，又對(duì)“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”的單元教學(xué)內(nèi)容安排作了適度的調(diào)整（如表3）。

參考文獻(xiàn)：

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［2］章勤瓊，陳錫成.基于學(xué)習(xí)路徑分析的小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)思考框架［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2021（3）：13-16.

［3］章勤瓊，陽(yáng)海林，陳肖穎.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)及其應(yīng)用［J］.課程·教材·教法，2021，41（3）：83-89.

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*本文系2020年國(guó)家社科基金一般項(xiàng)目“大數(shù)據(jù)支持下的中小學(xué)合作型課堂組織形式建構(gòu)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：20BGL127）的研究成果。