［摘? 要］ 結(jié)合“函數(shù)零點(diǎn)存在性定理”教學(xué)難點(diǎn)的突破，說明如何通過問題驅(qū)動，在合適的時(shí)機(jī)提出有梯度、有層次的問題，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)難點(diǎn)的突破，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 問題驅(qū)動；函數(shù)零點(diǎn)存在性定理；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

提出問題

數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)法則（公式、定理、公理等）是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ).每個(gè)數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)的產(chǎn)生和發(fā)展，對培養(yǎng)學(xué)生的思維、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要作用.數(shù)學(xué)教學(xué)是“過程”教學(xué)，因此挖掘概念、定理、性質(zhì)的形成過程是數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)難點(diǎn).數(shù)學(xué)課堂的靈魂是思維，思維是通過問題來展現(xiàn)的，問題是思維活動的原動力和牽引力，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下，問題驅(qū)動就是一種有效的突破教學(xué)難點(diǎn)的教學(xué)模式.

“問題驅(qū)動式教學(xué)是指以‘問題’為載體，以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)，學(xué)生自主探究與合作探究相結(jié)合，充分調(diào)動各方面的積極因素參與課堂教學(xué)，完成教學(xué)任務(wù)的教學(xué)方式.它有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，全面落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).”［1］

筆者結(jié)合一次比賽課“函數(shù)零點(diǎn)”的教學(xué)片段，就課堂教學(xué)中如何創(chuàng)設(shè)問題，通過“問題鏈”驅(qū)動學(xué)生的思維“卷入”課堂，深入理解教學(xué)難點(diǎn)，與大家交流.

課堂教學(xué)實(shí)錄

1. 提出問題——引入定理，展示定理的形成背景，找準(zhǔn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的切入點(diǎn)

介紹完函數(shù)零點(diǎn)的定義以及求解簡單函數(shù)的零點(diǎn)后，教師提出問題：函數(shù)f（x）=x5+x－6有零點(diǎn)嗎？若有，請求出零點(diǎn). （學(xué)生立馬拿出計(jì)算器，但由于要解的是高次方程x5+x－6=0，學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算器無法求解五次及以上的方程.）

設(shè)計(jì)意圖：一個(gè)看似非常簡單的函數(shù)零點(diǎn)問題卻不能用計(jì)算器求解，激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲.

師：能不能用其他的方法先判斷它有沒有零點(diǎn)呢？函數(shù)的零點(diǎn)除了與對應(yīng)方程的根等價(jià)，還與對應(yīng)函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等價(jià)，當(dāng)我們無法進(jìn)行方程求根時(shí)，我們能不能作出對應(yīng)函數(shù)的圖像呢？（停頓幾秒）

設(shè)計(jì)意圖：鞏固前面的新知：函數(shù)的零點(diǎn)可以從數(shù)形兩個(gè)角度進(jìn)行探究.數(shù)不行，就從形入手，考查學(xué)生利用函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)大致圖像的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，培育學(xué)生邏輯思維核心素養(yǎng).

師：對于一個(gè)陌生的函數(shù)，我們可以用什么方法作出其大致圖像呢？

眾生：描點(diǎn)法.

師：非常好，那就開始吧. （教師在學(xué)生之間巡視）

生1：我發(fā)現(xiàn)有零點(diǎn)！

師：怎么發(fā)現(xiàn)的？

生1（帶著自信的表情）：取三個(gè)點(diǎn)（0，-6），（1，-4），（2，28），用光滑的曲線連起來，圖像與x軸相交，說明該函數(shù)有零點(diǎn). （由于大多數(shù)學(xué)生取的也都是這三個(gè)特殊點(diǎn)，因而贊成該結(jié)論.）

師：那你怎么知道這三個(gè)點(diǎn)之間的曲線走勢一定是這樣的呢？

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理性精神，也是對過去所學(xué)知識、經(jīng)驗(yàn)的考查，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).

生2：因?yàn)閒（x）是單調(diào)遞增的，所以曲線一定是光滑向上的. （底下傳來一陣掌聲）

師：非常棒！生2結(jié)合我們上一章學(xué)習(xí)的函數(shù)的性質(zhì)畫圖，體現(xiàn)了用數(shù)學(xué)思維解決問題的能力.那大家知道該零點(diǎn)存在于哪個(gè)區(qū)間嗎？

眾生：（1，2）.

2. 提出難點(diǎn)——形成定理，探究定理背后的本質(zhì)，挖掘數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生長點(diǎn)

師：很好，我們能否探究出到底是什么原因?qū)е略摵瘮?shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)必存在零點(diǎn)呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過不停追問，抽絲剝繭，揭示教學(xué)難點(diǎn)背后的本質(zhì)屬性.

生2：因?yàn)樗闹涤蚴荝，所以一定存在x使得f（x）=0.

師：你能解釋一下它的值域?yàn)槭裁词荝嗎？

生2：因?yàn)閥=x5，y=x是奇函數(shù)，值域都是R，相加所得函數(shù)的值域還是R.

師：生2發(fā)現(xiàn)該函數(shù)一定存在零點(diǎn)，非常不容易了，但為什么零點(diǎn)一定在區(qū)間（1，2）內(nèi)，還是沒有給出理由，大家繼續(xù)思考原因到底是什么. （給予學(xué)生充分的時(shí)間思考）

設(shè)計(jì)意圖：教師的追問與學(xué)生的思維碰撞，追根溯源，探究定理的本質(zhì)，培育學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng).

生3：因?yàn)椋?，-4），（2，28）這兩點(diǎn)“一上一下”，所以曲線一定會穿過x軸，因此零點(diǎn)一定在區(qū)間（1，2）內(nèi). （其他學(xué)生恍然大悟，頻頻點(diǎn)頭.）

3. 突破難點(diǎn)——獲得定理，經(jīng)歷定理的形成過程，緊扣數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的著力點(diǎn)

師（繼續(xù)追問）：有兩個(gè)點(diǎn)“一上一下”，連接該兩點(diǎn)的曲線一定會穿過x軸嗎？（教師畫出如圖2所示的圖像）

眾生：哦，還必須滿足這個(gè)函數(shù)的圖像是連續(xù)的.

師：對！只有函數(shù)的圖像連續(xù)不斷，當(dāng)兩點(diǎn)“一上一下”時(shí)，函數(shù)的圖像必然會穿過x軸.這里的兩點(diǎn)“一上一下”，同學(xué)們能否轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號來表示？

設(shè)計(jì)意圖：將圖形語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).

生4：坐標(biāo)系中點(diǎn)的上下即代表函數(shù)值的正負(fù)：f（1）<0，f（2）>0.

師：很好，那大家能否歸納總結(jié)出一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)的充分條件？

生5：在某區(qū)間的端點(diǎn)值異號，曲線連續(xù).

師（板書）：若y=f（x）在［a，b］內(nèi)連續(xù)不斷，當(dāng)f（a）f（b）<0時(shí)，y=f（x）在（a，b）內(nèi)存在______個(gè)零點(diǎn)（故意留白）.

師（追問）：請問在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有幾個(gè)零點(diǎn)？一定是一個(gè)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，形成定理. 培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)，體會數(shù)形結(jié)合思想.

眾生：可以是多個(gè)（單調(diào)就一個(gè)，不單調(diào)就多個(gè)）.

師：誰上黑板畫出多個(gè)零點(diǎn)的情形？

生6作圖如下（如圖3所示）：

教師補(bǔ)充板書：至少存在一個(gè)零點(diǎn).

師（用PPT展示）：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且滿足f（a）f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn). 這就是今天我們學(xué)習(xí)的函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.

4. 理解難點(diǎn)——定理的升華，達(dá)成定理的全面認(rèn)知，夯實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落腳點(diǎn)

師：已知函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，如果f（a）f（b）>0，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)就一定沒有零點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：深入理解函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的內(nèi)涵與外延，掌握該定理的本質(zhì)，在師生交流、反饋中完善對該定理的認(rèn)知，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).

生7：不一定，可能有，也可能沒有.

師：你能作圖舉例說明嗎？

生7上黑板作圖（如圖4所示）：

師：零點(diǎn)存在性定理是函數(shù)存在零點(diǎn)的什么條件呢？

眾生：充分非必要條件.

（以下教學(xué)過程略）

案例反思

本節(jié)課的最大亮點(diǎn)是問題驅(qū)動教學(xué)模式，教師以一個(gè)又一個(gè)環(huán)環(huán)相扣的問題為載體，引發(fā)學(xué)生對問題進(jìn)行思考、探究，達(dá)到“以問引思、以問促動”的教學(xué)效果，進(jìn)而突破難點(diǎn). 問題驅(qū)動教學(xué)模式的關(guān)鍵及核心是“問題”，問題設(shè)計(jì)得恰到好處，收到的效果往往也會出乎意料. 在本節(jié)課中，教師設(shè)計(jì)的問題具有以下三大亮點(diǎn)：

1. 提出的問題符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)

選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)膯栴}，創(chuàng)設(shè)一個(gè)好的問題背景，調(diào)動學(xué)生共同參與課堂教學(xué)是提高課堂探究活動有效性的關(guān)鍵所在. 在本節(jié)課中，教師始終圍繞與函數(shù)f（x）=x5+x－6的零點(diǎn)相關(guān)的問題展開教學(xué)，從該函數(shù)是否有零點(diǎn)，到零點(diǎn)存在于哪個(gè)區(qū)間，以及為什么存在于該區(qū)間，師生共同經(jīng)歷了這一系列問題的解決過程，最終實(shí)現(xiàn)了教學(xué)難點(diǎn)的突破和教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.

教師之所以選取函數(shù)f（x）=x5+x－6的零點(diǎn)問題貫穿教學(xué)始終，是因?yàn)樵摵瘮?shù)對應(yīng)方程的根只用計(jì)算器求解是無法得到的，使得它的零點(diǎn)存在性問題的解決具有挑戰(zhàn)性，能激發(fā)學(xué)生的好奇心，給學(xué)生帶來認(rèn)知沖突. 另外，高一學(xué)生的知識儲備中已有基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)，利用描點(diǎn)法及該函數(shù)的單調(diào)性可大致作出其圖像，從而找到解決難點(diǎn)的突破口；在定理的形成過程中，利用該函數(shù)的性質(zhì)去解決問題，這些都是學(xué)生“跳一跳”就可以夠得著的，符合學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)提出問題的原理. “學(xué)生在活動中發(fā)現(xiàn)，在合作中增知，在‘教’與‘學(xué)’中互促互動，這對啟迪學(xué)生思維、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大有裨益.”［2］

2. 提出的問題具有層次性

問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題的層次性和遞進(jìn)性是促進(jìn)課堂探索活動深入展開的動力. 在本節(jié)課中，教師為了突破教學(xué)難點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)了一系列層次分明的問題，由簡單到復(fù)雜，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到了教學(xué)難點(diǎn)逐步滲透、逐層深化、螺旋上升的教學(xué)效果. 從一開始的“f（x）=x5+x－6有零點(diǎn)嗎？”到“若有，零點(diǎn)存在于哪個(gè)區(qū)間？”到“什么原因?qū)е铝泓c(diǎn)存在于該區(qū)間呢？”到“兩點(diǎn)的‘一上一下’能否轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言呢？”再到“如果函數(shù)在某區(qū)間的端點(diǎn)值異號且圖像連續(xù)，那么函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有幾個(gè)零點(diǎn)？”通過問題的層次性和遞進(jìn)性突破難點(diǎn)、獲得定理.

這一系列問題的設(shè)計(jì)坡度適宜、步步相因、環(huán)環(huán)相扣、層層相遞，一步一個(gè)臺階把問題引向深入. 解決問題的同時(shí)學(xué)生的思維也得到了錘煉，學(xué)生在問題解決中學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生新問題，通過問題的解決培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 提出的問題具有合適的時(shí)機(jī)性

問題驅(qū)動式教學(xué)的關(guān)鍵就是“提問”，而提問的時(shí)機(jī)是有效提問的保證. 在本節(jié)課中，介紹完函數(shù)零點(diǎn)的定義以及求解簡單函數(shù)的零點(diǎn)后，學(xué)生輕輕松松地解決了相應(yīng)問題，很有成就感，教師此時(shí)立馬提出了新問題：“函數(shù)f（x）=x5+x－6有零點(diǎn)嗎？”難度上升，直擊難點(diǎn)，問得及時(shí)且具有挑戰(zhàn)性，激發(fā)了學(xué)生的求知欲. 在獲得零點(diǎn)存在性定理后，教師并沒有讓學(xué)生的思維停滯下來，而是趁熱打鐵又拋出了新的問題：“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是連續(xù)的，如果f（a）f（b）>0，就一定沒有零點(diǎn)嗎？”教師在學(xué)生剛獲得定理、思維處于興奮狀態(tài)時(shí)拋出了新問題，及時(shí)捕捉到了提問的時(shí)機(jī)，啟發(fā)學(xué)生繼續(xù)思考，促進(jìn)學(xué)生對定理認(rèn)知的升華. 既體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，又真正發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).”［3］核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的問題驅(qū)動式教學(xué)，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的能動性，提升了自主學(xué)習(xí)能力，這就要求一線教師深入教學(xué)實(shí)踐，思考如何結(jié)合學(xué)情設(shè)計(jì)難度適宜、層次清晰、時(shí)機(jī)恰當(dāng)?shù)膯栴}，通過“問什么，怎么問，何時(shí)問”把學(xué)生的思維“卷入”課堂，通過潤物無聲的滲透，在課堂實(shí)踐中培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在課堂實(shí)踐中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］? 侯有岐. 基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)問題驅(qū)動式教學(xué)實(shí)踐研究［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2020（02）：2-6.

［2］? 嚴(yán)麗香. 以問題驅(qū)動探究 促核心素養(yǎng)提升——以“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”教學(xué)為例［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2020（03）：30-33.

［3］? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

作者簡介：吳其明（1990—），碩士研究生，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作，曾獲上海松江區(qū)課堂教學(xué)評比一等獎.