陳海燕

【摘要】初中數(shù)學(xué)中的不少代數(shù)問題都能夠借助幾何圖形解決，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換成幾何圖形，能夠充分發(fā)揮直觀幾何圖形對(duì)抽象代數(shù)問題的支撐作用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力、提升解決問題能力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題;構(gòu)造圖形法;代數(shù)問題

數(shù)學(xué)中的不少代數(shù)問題均可借助幾何圖形解決.如果純粹利用代數(shù)方法解決數(shù)學(xué)問題，存在計(jì)算過程復(fù)雜等問題，但可以巧妙地將其轉(zhuǎn)換成幾何問題來解決.將有明顯意義的代數(shù)題目通過構(gòu)造幾何圖形，轉(zhuǎn)換成幾何題目加以研究，能夠獲得意想不到的解題方法，這種解題的方法稱之為構(gòu)造圖形法.

代數(shù)問題幾何化的關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生觀察代數(shù)題目、分析題目性質(zhì)，找出關(guān)鍵點(diǎn)，再將代數(shù)問題與幾何圖形進(jìn)行聯(lián)系，充分發(fā)揮想象能力，找出代數(shù)題目和幾何圖形的結(jié)合點(diǎn)，構(gòu)建符合題意的幾何圖形.借助于創(chuàng)造的幾何圖形，將代數(shù)題目中的多個(gè)數(shù)量關(guān)系直觀化，將抽象概念形象化，能夠減少若干不必要的或無(wú)價(jià)值的計(jì)算.通過巧妙轉(zhuǎn)化，能夠極大地提高解題效率.構(gòu)造圖形解題方法是多樣的，包括但不限于構(gòu)造直角三角形、直角梯形、等邊三角形、矩形、正方形等幾何圖形.

1 構(gòu)造幾何圖形簡(jiǎn)化復(fù)雜計(jì)算

例1 計(jì)算19961997×19971996-19961996×19971997.

解 經(jīng)過觀察：該因式類似于矩形的面積差.因而可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，構(gòu)造兩個(gè)矩形，即矩形ABCD和矩形ECHF.這樣題目就變成了求：小矩形ABHG與小矩形EDGF面積的差（兩個(gè)小矩形的寬都是1）.

即原式=S矩形ABHG-S矩形EDGF=19971996×1-19961996×1=10000.即為所求.

通過構(gòu)造幾何圖形，成功簡(jiǎn)化了復(fù)雜的計(jì)算.

2 構(gòu)造幾何圖形證明等式

例2 x，y，z均為正整數(shù)，且x2+y2=z2，x2=zx2-r2.

求證：xy=rz.

分析 因?yàn)閤2+y2=z2的條件，聯(lián)想到直角三角形的勾股定理，以x、y、z為邊構(gòu)造直角三角形進(jìn)行解題.本題就迎刃而解了.

證明

因?yàn)?x2+y2=z2，

所以 以x、y、z為邊構(gòu)造Rt△ABC（如圖2所示），

使BC=x，AC=y，AB=z.

過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，

所以△ABC∽△CBD.所以BC2=AB·BD，即x2=zx2-r2，

又因?yàn)閤2=zx2-CD2，則CD=r.

所以S△ABC=12xy=12rz，

所以xy=rz即為所證.

3 構(gòu)造幾何圖形求三角形的面積

例3 求以m2+1、m2+4、4m2+1為三邊的三角形的面積.

解 構(gòu)造矩形ABCD，如圖3，使AB=2m，AD=2，E、F分別是AD、AB的中點(diǎn).EF=m2+1，EC=4m2+1，F(xiàn)C=m2+4，△EFC的三邊分別為m2+1、m2+4、4m2+1，S△EFC=S矩形ABCD-S△AFE-S△FBC-S△EDC=4m-0.5m-m-m=1.5m.即為所求.

4 構(gòu)造幾何圖形巧求取值范圍

例4 已知x、y、z均為正實(shí)數(shù)，且x2+y2-z2=0，求zx+y的取值范圍.

解 注意到x2+y2-z2=0，可構(gòu)造直角梯形ABCD（如圖4），點(diǎn)E在BC上且

EC=AB=x，BE=CD=y，AE=ED=z，

則△AED為等腰直角三角形，且AD=2z.由于x+y>z，所以zx+y<1;又由于BC≤AD，

即x+y≤2z，得zx+y≥22.所以22≤zx+y<1.

當(dāng)x=y時(shí)，不等式中的等號(hào)成立.

5 構(gòu)造幾何圖形證明不等式

例5 已知a、b、c、x、y、z、k均為正實(shí)數(shù)，且a+x=b+y=c+z=k.

求證：ay+bz+cx

證明 根據(jù)本題給出的條件，結(jié)合a+x=b+y=c+z=k，

構(gòu)造正方形，做邊長(zhǎng)為k的正方形ABCD，再?gòu)闹姓页鋈齻€(gè)小矩形，邊長(zhǎng)分別為a、y、c、x、b、z，則各對(duì)應(yīng)矩形的面積分別是ay、bz和cx.

所以S陰影=ay+bz+cx

6 構(gòu)造幾何圖形比較數(shù)的大小

例6 比較5+10+13與62的大小關(guān)系

解 如圖6，構(gòu)設(shè)一個(gè)正方形，它的邊長(zhǎng)為6，根據(jù)勾股定理易得：AB=5，BC=13，CD=10，AD=62，由線段的公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”，易得AB+BC+CD>AD，

即5+10+13>62.

總之，數(shù)學(xué)以縝密的思維向人們展示它的美麗.培根曾說過：“數(shù)學(xué)是思維的體操”.“代數(shù)題目幾何化”就是展示數(shù)學(xué)美麗的一種方式，本質(zhì)上是將抽象的、難懂的代數(shù)題目和形象、直觀的幾何圖形緊密地結(jié)合起來，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的連接和轉(zhuǎn)化.幾何圖形的特點(diǎn)是能夠直觀形象的地展示圖形，用幾何圖形將代數(shù)題目的關(guān)鍵點(diǎn)表達(dá)出來，即把抽象的問題具體化，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，通過對(duì)幾何圖形的處理，能夠充分發(fā)揮出直觀幾何圖形對(duì)抽象代數(shù)問題的支撐作用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力，提升解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，從而開闊的學(xué)生的思路、拓寬的學(xué)生的思維、增強(qiáng)的學(xué)生的動(dòng)手能力，使學(xué)生能愛上數(shù)學(xué)，為學(xué)好數(shù)學(xué)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).