朱軍平

【摘要】在我國(guó)初中階段，數(shù)學(xué)學(xué)科作為一門復(fù)雜學(xué)科，具備嚴(yán)密邏輯性，同時(shí)，也是學(xué)好其他學(xué)科的重要基礎(chǔ).初中數(shù)學(xué)在教學(xué)過(guò)程中，要立足于課本教學(xué)實(shí)際情況，制定符合學(xué)生特點(diǎn)的教學(xué)方法，能夠通過(guò)激發(fā)學(xué)生興趣，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)成績(jī).當(dāng)前在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)，同時(shí)，也是考試重點(diǎn)，因此，作為數(shù)學(xué)教師需高度重視分類討論思想，在課堂教學(xué)中的重要應(yīng)用，同時(shí)在課后需布置分類討論思想相關(guān)習(xí)題，能夠使學(xué)生熟練掌握分類討論思想的作用和應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】分類討論;解題教學(xué);教學(xué)方法

1 分類討論思想應(yīng)用原則

分類討論思想在運(yùn)用時(shí)需要遵循互斥性和多層次性原則.比如初二某班級(jí)共有7名學(xué)生參與田徑比賽球類比賽，其中4名學(xué)生參與球類比賽，5名學(xué)生參與田徑比賽，表明在所羅列的7名學(xué)生中有同時(shí)參與兩項(xiàng)比賽的學(xué)生，并且為兩名，不能將7名簡(jiǎn)單進(jìn)行田徑比賽和球類比賽分類，否則會(huì)出現(xiàn)邏輯錯(cuò)誤，在數(shù)學(xué)課題講解過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到復(fù)雜問(wèn)題，通?？刹捎枚址?，結(jié)合對(duì)象層次進(jìn)行逐層分類.

2 分類討論思想具體應(yīng)用

2.1 數(shù)值比較

要想使用正確分類討論法解題，要求明確分類對(duì)象，具體包括對(duì)象、范圍、性質(zhì)等相關(guān)因素，同時(shí)確定對(duì)象之后，按照對(duì)象性質(zhì)、屬性完成分類，分類對(duì)象標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不能出現(xiàn)重復(fù)和遺漏問(wèn)題，需合理劃分，分清主次，不能出現(xiàn)越級(jí)討論的現(xiàn)象，這也是運(yùn)用分類討論思想解題的關(guān)鍵.

例1 在有理數(shù)a與8a大小比較時(shí)，首先，需分析兩數(shù)均是和有理數(shù)a相關(guān)的數(shù)字，a作為字母表示有理數(shù)，根據(jù)有理數(shù)分類，其具備不確定性，同時(shí)，在這一道題中還涉及有理數(shù)分類的概念.根據(jù)題目要求，當(dāng)a>零時(shí)，a與8a均為正數(shù)，由正數(shù)比較法則，絕對(duì)值大，那么該數(shù)值就大，因此a<8a;當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)a=8a=0;當(dāng)a<0時(shí)，此時(shí)a與8a均為負(fù)數(shù)，根據(jù)負(fù)數(shù)比較法，則絕對(duì)值大，該數(shù)值越小，因此a>8a.

例2如果m-n=n-m并且m=4，n=3求（m+n）（m+n）的數(shù)值，對(duì)于該數(shù)學(xué)題需采用分類討論法進(jìn)行求解.應(yīng)當(dāng)明確絕對(duì)值概念，涉及絕對(duì)值的問(wèn)題，需進(jìn)行分類討論，只有通過(guò)分類討論才能夠得到完整且正確的結(jié)論，如果不進(jìn)行分類討論，會(huì)導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.對(duì)于該問(wèn)題進(jìn)行分析解答，由于m=4，n=3，因此m=±4，n=±3，又因?yàn)閙-n=n-m，因此n-m≥0，n≥m，當(dāng)n=3時(shí)，m取值為-4，最終結(jié)果為1;如果n=-3時(shí)，m取值為-4，最終結(jié)果為49，所以（m+n）（m+n）數(shù)值為1或49.

2.2 方程求解

確定分類討論對(duì)象之后，需要進(jìn)行分類標(biāo)準(zhǔn)確定，通常標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，需合理進(jìn)行分類，要求無(wú)互斥、無(wú)遺漏、無(wú)重復(fù)，做好相關(guān)準(zhǔn)備工作之后，即開(kāi)始進(jìn)行分類討論.

例3 結(jié)合參數(shù)的取值范圍分類，討論求解含有參數(shù)的相關(guān)問(wèn)題.比如關(guān)于x的分式方程進(jìn)行求解，

x-ax-1-3x=1

已知該方程無(wú)解，求a的數(shù)值.類似這種問(wèn)題需進(jìn)行分類討論.在求解該方程時(shí)，兩邊同時(shí)乘x（x-1），那么能夠得到

x（x-a）-3（x-1）=x×（x-1）

經(jīng)過(guò)整理，

（a+2）x=3，當(dāng)a+2=0時(shí)，

此時(shí)a=-2，

該方程無(wú)解，那么原有方程也無(wú)解，如果當(dāng)x=1那么原方程無(wú)解，

此時(shí)（a+2）×1=3，a=1.

綜合上述研究，如果原有方程無(wú)解，那么a的取值為1或-2.

例4在分式方程3x-3+axx2-9=4x+3中，已知該方程中無(wú)解，求a的數(shù)值，可需要借助分類討論思想.

解 經(jīng)過(guò)去分母之后能夠獲得下列公式：

3（x+3）+ax=4（x-3）

（a-1）x=-21，

因?yàn)樵摲匠虩o(wú)解，所以-21a-1=-3或者21a-1=3，或者a-1=0，因此a=8，a=-6或a=1.

此外，在一元二次方程中同樣也可運(yùn)用分類導(dǎo)學(xué)思想，比如在m2x2+（2m+1）x+1=0方程存在實(shí)數(shù)根，需要求解m的取值范圍.對(duì)于這種情況下可將其分為兩種情況：第一，如果m2=0，此時(shí)m=0，該方程為一元一次方程，那么x+1=0存在實(shí)數(shù)根x=-1;第二，如果m2≠0，此時(shí)該方程為一元二次方程，所求方程存在實(shí)數(shù)根，所以Δ=（2m+1）2-4m2=4m+1≥0那么m≥-14.

2.3 在圓和三角形中的運(yùn)用

分類討論思想也可用于圓和三角形等一些幾何圖形中.

例5已知某函數(shù)y=- 33x+3 3在x，y軸交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn).在x軸中尋找一個(gè)點(diǎn)P，使得△PAB為等腰三角形.對(duì)于這一類題由于在△PAB中P點(diǎn)的位置不確定，因此無(wú)法確定△PAB，且不清楚哪兩條邊為等腰三角形的腰.這種情況下對(duì)于△PAB來(lái)說(shuō)存在三種情況，可將其分為：第一，PA=PB;第二，PA=AB;第三，PB=AB，此時(shí)分別求解B的坐標(biāo)為（0，3 3），A點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，0）設(shè)置P點(diǎn)為（x，0），利用兩點(diǎn)距離公式，針對(duì)上述三種情況羅列對(duì)應(yīng)方程，可求出P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），（-9，0），（9+6 3，0）（9-6 3，0）.在上述例題中舍去不滿足條件的解集.

在解答這一問(wèn)題中很容易出現(xiàn)漏解的問(wèn)題，因此在解答時(shí)需考慮圖形可能存在的位置，緊扣題目中已知條件分類，畫(huà)出符合條件圖形.

由于部分幾何問(wèn)題或者實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題題目已知條件和結(jié)論不是唯一的，這種情況下也要對(duì)此進(jìn)行分類討論.

例6 已知在△ABC中，兩邊a=6，b=8，此時(shí)求解第三個(gè)邊.

解 第一，當(dāng)△ABC為直角三角形，此時(shí)c為斜邊時(shí)c=10，如果c不是斜邊，由于8>6，那么b為斜邊，因此c= 82-62= 7.

第二，當(dāng)△ABC為銳角三角形，此時(shí)由于a

①b2

由于①和②均屬于銳角三角形，③和④保證存在三角形，而③和④可通過(guò)①和②得出，

因此b2

第三，當(dāng)△ABC為鈍角三角形，此時(shí)由于a

那么C2>a2+b2

ca2+c2，b

此時(shí)10

2.4 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化

由于點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變化也會(huì)引起分類討論，由于運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的點(diǎn)存在不同位置，需針對(duì)不同位置進(jìn)行求解，否則會(huì)出現(xiàn)漏解.

例7 平面動(dòng)點(diǎn)中分類討論思想的運(yùn)用，如圖1所示，

已知在該正方形ABCD中，其邊長(zhǎng)為10厘米，P為動(dòng)點(diǎn)，從A點(diǎn)出發(fā)，其運(yùn)動(dòng)速度為2厘米每秒，沿正方形邊逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng).如圖所示回到A點(diǎn)停止，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至t秒時(shí)，求取P，D兩點(diǎn)之間的距離.對(duì)于該題根據(jù)已知條件可知，P點(diǎn)是從A點(diǎn)出發(fā)分別到達(dá)B、C、D，再回到A點(diǎn)的時(shí)間分別為5秒、10秒、15秒、20秒，因此可將其分為以下多種情況，本研究主要從兩種情況進(jìn)行考慮.

第1，t介于0～5之間，此時(shí)P位于線段AB中.那么PD=P1D= （2t）2+102=2 t2+25厘米.

第2，如果t介于5～10之間，那么P點(diǎn)位于線段BC上，此時(shí)PD=P2D.由此可回顧之前所學(xué)橢圓相關(guān)概念界定，視橢圓半長(zhǎng)軸a可變，也就是說(shuō)a為參數(shù)，這種情況下可令2c= （8-2）2+（3+5）2=10，在該橢圓中2a>20c，因此結(jié)論是成立的.意味著可將899替換成10，此時(shí)不等式仍然成立.

參考文獻(xiàn)：

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