盧怦卉 高明

【摘要】數(shù)學(xué)中考試題廣泛而深刻，其解答方式千變?nèi)f化，教師應(yīng)有意識讓學(xué)生從多種角度思考問題，拓展解題思路，優(yōu)化解題技巧.線段長度問題一直以來都是中考熱點，本文以“數(shù)”、“形”為基礎(chǔ)，結(jié)合代數(shù)、幾何知識，多角度探究解決這類問題的策略，以簡化解題步驟，提高解題效率.

【關(guān)鍵詞】解題思路;幾何知識;解題步驟

試題再現(xiàn) （2021 成都市中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y= 33x+2 33與⊙O相交于A，B兩點，且點A在x軸上，則弦AB的長度為 .

1 巧借“三角”，解三角

如圖2設(shè)直線AB交y軸于點C，過點O作OD⊥AB于D.

y= 33x+2 33與⊙O相交于A，B兩點，則A（0，-2），C（0，2 33）.

則OC=2 33，OA=2，Rt△AOC的正切為 33，則∠CAO=30°;

結(jié)合Rt△AOD，求得AD= 3，由垂徑定理可得AB=2 3.

另解 過點B作x軸的垂線，交x軸于點E（圖3），由y= 33x+2 33 ①=1＼*GB3，

圓的方程為 x2+y2=4（OA=r=2） ②=2＼*GB3聯(lián)立①=1＼*GB3②=2＼*GB3可求出B（1， 3），則E（1，0），AE=3，

由上述可知∠BAE=30°，AB=2 3.

2 巧借“勾股”，求弦長

如圖3由探究1得∠BAE=30°，則ODAD= 33.

在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，

OD= 33AD，得AD= 3，

AB=2 3.

3 巧借相似，解比例尺

如圖4設(shè)直線AB交y軸于點C，過點O作OD⊥AB于D，過點B作x軸的垂線，交x軸于點E，易知OA=2，OC=2 33.

在Rt△AOC中，OA2+OC2=AC2，

得AC=4 33.

易證△AOD∽△AOC，則AOAC=ADAO，AD= 3，所以AB=2 3.

同理，我們可以證明△AOD～△ABE，這里不做詳細(xì)贅述.

除了利用相似三角形線段相似比求解線段長度，本題還可以利用相似三角形的面積比求解，易證：△AOD∽△ABE，所以S△AODS△ABE=OD2BE2=13 ，故S△AOD= 32，最后根據(jù)三角形面積公式得到AB=2 3

4 巧借面積，求高線

如圖5過點O作OD⊥AB于D，連接BO，在△AOB中，

AO=2，h= 3，所以S△AOB= 3.

結(jié)合法1的結(jié)果和特殊的銳角函數(shù)值，

在Rt△AOD中，OD=1，根據(jù)三角形面積公式得AB=2 3.

補(bǔ)充 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

R2=（x1-x2）2+（y1-y2）2.

【基金項目：基于核心素養(yǎng)下的《初等代數(shù)研究》課程開發(fā)，西華師范大學(xué)2018教改項目，項目編號403350】

參考文獻(xiàn)：

[1]李志若.與軸對稱相關(guān)的線段之和最短問題[J].考試周刊.2017（49）.

[2]倪勇.探究折線段差的最大值問題[J].理科考試研究.2015（02）.

[3]張宇石.用三角形三邊關(guān)系求線段之差的最大值[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）.2013（09）.

[4]張寧.提煉幾何模型破解線段最值——基于模型思想求解中考數(shù)學(xué)試題中線段或線段之和（差）的最值問題[J].理科考試研究.2020（22）.

[5]劉文生.封閉運動法——三角形中的一類線段比問題初探[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2001（12）.

[6]董學(xué)良.“兩線段和或差”問題的幾種處理方法[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué). 2008（03）.