劉俊蓉 楊秋 明慶

摘要：現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，這六大核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立，又相互交融，共同構(gòu)成了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān)的綜合體現(xiàn)。需要教師在教學(xué)過(guò)程中積極探索合適的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。在當(dāng)前時(shí)代背景下，學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)受到了高度的重視，如何在常態(tài)教學(xué)中植入六大核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，是教師教學(xué)中的重點(diǎn)、也是教學(xué)的難點(diǎn)。核心素養(yǎng)的形成過(guò)程就是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的建立和數(shù)學(xué)綜合能力的培養(yǎng)過(guò)程。所以常態(tài)教學(xué)課中教學(xué)路徑的探究就成了我們的一個(gè)重要課題，問(wèn)題式教學(xué)路徑是老師們?cè)谌粘＝虒W(xué)中采用的一種常用的教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)、核心素養(yǎng)、培養(yǎng)、教學(xué)路徑、問(wèn)題式

一、教學(xué)案例

（一）授課對(duì)象與方法

本節(jié)課的授課對(duì)象是四川省廣安友誼中學(xué)高一學(xué)生。該校是一所省級(jí)示范校，一本升學(xué)率可達(dá)到50%，學(xué)生基礎(chǔ)在廣安市相對(duì)較好。授課內(nèi)容是普通高中教科書(shū)《數(shù)學(xué)》必修 第一冊(cè)（A版）第三章3.1.1《函數(shù)概念》第一課時(shí)。主要采用問(wèn)題串式教學(xué)法。

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)

1.新知導(dǎo)入

初中的定義中，函數(shù)是刻畫(huà)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型和工具.

例：正方形的周長(zhǎng) l與邊長(zhǎng) x的對(duì)應(yīng)關(guān)系

思考：（1）l是x的函數(shù)嗎？

x∈R? y=1，y是 x的函數(shù)嗎？

2.新知探究

問(wèn)題1? 某“復(fù)興號(hào)”高速列車(chē)加速到350 km/h后保持勻速運(yùn)行半小時(shí).

思考：（1）列車(chē)行進(jìn)的路程S與運(yùn)行時(shí)間t 的關(guān)系是什么？

（2）有人說(shuō)：“這趟列車(chē)加速到350 km/h后，運(yùn)行1 h就前進(jìn)了350 km.”你認(rèn)為這個(gè)說(shuō)法正確嗎？

問(wèn)題2? ?某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過(guò)6天.如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資.

思考： 工資w（單位：元） 與工作天數(shù)d 的關(guān)系是什么？

問(wèn)題3? 如圖1是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（Air Quality Index，簡(jiǎn)稱(chēng)AQI）變化圖.

圖1 北京市2016年11月23日AQI變化圖

探究 ：請(qǐng)你仿照問(wèn)題1和問(wèn)題2，用兩個(gè)集合和一種關(guān)系描述問(wèn)題3.

問(wèn)題4 由上述三個(gè)問(wèn)題抽象出來(lái)的數(shù)量關(guān)系有哪些共同特征？

① 都包含兩個(gè)非空數(shù)集，用A、B來(lái)表示;

② 都有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系;

③ 對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)數(shù) x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù) y 和它對(duì)應(yīng).

對(duì)應(yīng)關(guān)系除了我們熟悉的函數(shù)表達(dá)式，還可以是圖像、表格等。

為了表示方便，我們引進(jìn)符號(hào) f 統(tǒng)一表示對(duì)應(yīng)關(guān)系。

函數(shù)概念：? 一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù) x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，在集合B 中都有唯一確定的數(shù) y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng) f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A.

其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的 y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫作函數(shù)的值域.

概念剖析：（1）構(gòu)成函數(shù)的三要素

（2）值域與集合B的關(guān)系

問(wèn)題5 國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)r（r=）反映一個(gè)地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高.表1是我國(guó)某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來(lái)越高.

表1 我國(guó)某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況

探究 ：按表1給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r 是年份y 的函數(shù)嗎？為什么？

3.典例分析

搶答題：（1）判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù).

①A={平面M內(nèi)的三角形}，B={平面M內(nèi)的圓}，f：畫(huà)三角形的外接圓;

②A(yíng)=R，B={x|x>0}，f：x→y=|x|;

③A={x|-1≤x≤1}，B={1}，f：x→y=1.

④下列圖形中不能構(gòu)成函數(shù)y=f（x），x∈A.的圖像的是（ ）

搶答題： （2）下列哪些函數(shù)與 y = x 表示同一函數(shù)？

①; ②; ③; ④

思考： y=2x2-x+1? 與? y=2t2-t+1 是否為同一函數(shù)？

二、案例分析

問(wèn)題式教學(xué)：是以提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題為線(xiàn)索，并把這一線(xiàn)索始終貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程。也就是教師先設(shè)計(jì)好問(wèn)題，學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)入課堂，通過(guò)理解問(wèn)題，討論問(wèn)題，針對(duì)性地解決問(wèn)題。這種教學(xué)法操作方便，適合高中生，實(shí)踐效果良好。在問(wèn)題式教學(xué)中問(wèn)題的質(zhì)量是關(guān)鍵，問(wèn)題之間要有邏輯關(guān)系，要切中要害，引起學(xué)生的興趣。

本節(jié)課在短短的40分鐘課堂內(nèi)，要讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)定義發(fā)展史上百年的探究歷程，學(xué)生不可能獨(dú)立完成。這需要教師用材料鋪好一條路，要了解學(xué)情，并對(duì)學(xué)生的疑問(wèn)做好預(yù)測(cè)，難度大的地方搭好梯子。本節(jié)課以學(xué)生為主體，教師引導(dǎo)教學(xué)原則來(lái)設(shè)計(jì)，著重解決了學(xué)生的幾個(gè)疑問(wèn)：

（一）引發(fā)認(rèn)知沖突

初中定義中，函數(shù)是刻畫(huà)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型和工具.

例如，正方形的周長(zhǎng) l與邊長(zhǎng) x的對(duì)應(yīng)關(guān)系? ?l=4x.

思考：（1）l是x的函數(shù)嗎？

（2）x∈R? y=1，y是 x的函數(shù)嗎？

通過(guò)回憶舊知，引出困惑

用快剪輯制作短視頻《函數(shù)概念的發(fā)展史》，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)沖動(dòng)和學(xué)習(xí)熱情.

（二）概念的生成

高一學(xué)生的抽象概括能力還很薄弱，這使得用集合語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)概念很有難度。如果直接歸納定義，學(xué)生會(huì)失去剛剛?cè)计鸬奶骄坑Ｋ赃x擇從情景問(wèn)題1入手，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注時(shí)間t的變化范圍，跳出問(wèn)題情境，抽象出數(shù)量關(guān)系，得出：兩個(gè)非空數(shù)集A、B及其之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系;緊接著，拋出情景問(wèn)題2，用問(wèn)題串引領(lǐng)學(xué)生完成實(shí)例2的分析，在分析過(guò)程中重點(diǎn)讓學(xué)生體會(huì)分析情境，輔助學(xué)生抽象出數(shù)量關(guān)系并進(jìn)一步理解數(shù)量關(guān)系中的任意性、存在性、唯一性;接下來(lái)的情景問(wèn)題3，學(xué)生根據(jù)圖像描述對(duì)應(yīng)關(guān)系有困難，特別是在值域不能完全確定時(shí)，通過(guò)引入一個(gè)較大范用的集合，使函數(shù)值“落入其中”，這是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中不具備的，由老師規(guī)范表述，進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)量關(guān)系中的任意性、存在性、唯一性。

學(xué)生通過(guò)歸納三個(gè)情景問(wèn)題的共同特征，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，概括出用集合與對(duì)應(yīng)語(yǔ)言刻畫(huà)的一般性函數(shù)概念.讓學(xué)生進(jìn)行歸納、概括、抽象出函數(shù)概念，并以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)“抽象素養(yǎng)”這一難點(diǎn)。

通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，形成概念。尤其注重了概念的自然生成。從特殊到一般，揭示數(shù)學(xué)通常的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，給學(xué)生“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”的體驗(yàn)。這種引入概念的方式自然而又易于學(xué)生接受和形成概念

（三）概念的理解

引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)概念的內(nèi)涵、要素的歸納過(guò)程，關(guān)鍵詞的理解等角度進(jìn)行小結(jié)，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)槪念的理解。

利用已有概念，判斷情境問(wèn)題5是否構(gòu)成函數(shù)，并體會(huì)以表格形式呈現(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（四）概念的應(yīng)用

新課引入，概念生成，到這個(gè)時(shí)候已經(jīng)上課快30分鐘，學(xué)生注意力，精神狀態(tài)都略顯不足。此時(shí)，我以倒計(jì)時(shí)搶答題的形式增加課堂樂(lè)趣，鞏固新知。例1判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)，進(jìn)一步從任意性、存在性、唯一性這三性理解函數(shù)概念。其中③A={x|-1≤x≤1}，B={1}，f：x→y=1.回應(yīng)了引入中（2）x∈R? y=1，y是 x的函數(shù)嗎？

例2 和相應(yīng)的思考，有效的幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)三要素，課外拓展設(shè)計(jì)以開(kāi)放式角度訓(xùn)練思維。

三、案例效果

本節(jié)課是一堂高效課堂。高效課堂是高效型課堂和高效性課堂的簡(jiǎn)稱(chēng)，是教育教學(xué)效率或效果達(dá)成了相當(dāng)高的目標(biāo)。具體而言是指在有效課堂的基礎(chǔ)上，完成了教學(xué)任務(wù)，達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)，效果較好并且取得了教育教學(xué)的較高影響力和社會(huì)效益的課堂，高效課堂是有效課堂的最高境界，高校課堂基于高效教學(xué)，與教學(xué)的設(shè)計(jì)和教師的能力有很大的關(guān)系。

這節(jié)課的設(shè)計(jì)思路清晰，課堂氣氛活躍，以游戲搶答的方式寓教于樂(lè)。問(wèn)題的設(shè)置多樣化，有教是事先預(yù)設(shè)的問(wèn)題鏈，也有學(xué)生主動(dòng)提出的問(wèn)題，同時(shí)還有問(wèn)題的開(kāi)放性，提升學(xué)生的思維。根據(jù)問(wèn)題學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)明確，效果突出，很好地激發(fā)了學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)力。40分鐘，學(xué)生理解并掌握了函數(shù)的內(nèi)涵，本質(zhì)。通過(guò)課堂習(xí)題反饋情況看，這節(jié)課起到較好的教學(xué)效果，大多數(shù)學(xué)生能獨(dú)立、正確地完成.

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