【編者按】 2022年4月21日，教育部召開新聞發(fā)布會(huì)，正式發(fā)布2022年版義務(wù)教育課程方案和各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)。新的課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)，將對(duì)義務(wù)教育課程改革、學(xué)科教學(xué)以及評(píng)價(jià)產(chǎn)生重要影響。本期《關(guān)注》欄目聚焦《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，特邀課標(biāo)修訂組組長、核心成員等有關(guān)專家闡釋并解讀其中的基本理念和重要變化，以幫助大家更好地理解，為后續(xù)統(tǒng)籌規(guī)劃、扎實(shí)推進(jìn)其落地實(shí)施打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》保留《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的合理內(nèi)核，延續(xù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的核心素養(yǎng)。修訂的要點(diǎn)包括：落實(shí)立德樹人根本任務(wù);實(shí)現(xiàn)“學(xué)科融合”的教育要求;更合理地劃分學(xué)段;把“四基”“四能”與核心素養(yǎng)有機(jī)結(jié)合;調(diào)整課程結(jié)構(gòu)與內(nèi)容，增加代數(shù)推理，加強(qiáng)幾何直觀;在綜合與實(shí)踐領(lǐng)域融入跨學(xué)科知識(shí)和傳統(tǒng)文化;體現(xiàn)數(shù)學(xué)的一致性，尤其是數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算的一致性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn);修訂要點(diǎn);核心素養(yǎng)

本文根據(jù)史寧中教授于2022年4月28日下午在中國數(shù)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教育分會(huì)首屆（2022年）學(xué)術(shù)年會(huì)（線上會(huì)議）上做的大會(huì)報(bào)告整理而成。略有改動(dòng)，已經(jīng)作者審核。2022年4月21日，教育部頒布了2022年版的義務(wù)教育課程方案和各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)。這里，我主要介紹這次數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的基本原則、一些想法和主要變化。當(dāng)然，從2017年版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)開始，我國的基礎(chǔ)教育就強(qiáng)調(diào)了核心素養(yǎng)，所以，還想談一下最近對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理解。我主要談的是我和我們課標(biāo)修訂組（包括普通高中組和義務(wù)教育組）是如何想問題的。

一、 課標(biāo)修訂的背景與要點(diǎn)

21世紀(jì)，中國的基礎(chǔ)教育發(fā)生了很大的變化。這個(gè)變化主要表現(xiàn)在：教學(xué)大綱改成了課程標(biāo)準(zhǔn)。因此，21世紀(jì)開始的基礎(chǔ)教育改革，本質(zhì)上就是課程標(biāo)準(zhǔn)的制訂和落實(shí)。2001年，教育部頒布了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱“2001年版課標(biāo)”）;緊接著，幾家出版社出版了相應(yīng)的教材。2005年，教育部決定修訂這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)時(shí)，我沒有接觸過基礎(chǔ)教育，但是，時(shí)任教育部部長周濟(jì)和主管基礎(chǔ)教育的副部長陳小婭責(zé)令我來主持修訂工作，他們說：你是師范大學(xué)校長，又是學(xué)數(shù)學(xué)的，就由你來負(fù)責(zé)。于是，我就開始主持修訂編制《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標(biāo)”），后來又主持修訂編制《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》后來又有《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》出臺(tái)。（以下簡稱“2017年版課標(biāo)”）、《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”），已經(jīng)近20年時(shí)間了。

（一） 2011年版課標(biāo)的重大變化

簡單說，有三個(gè)方面的重大變化：

第一個(gè)變化是課程目標(biāo)，也就是教學(xué)目標(biāo)。過去傳統(tǒng)的教學(xué)目標(biāo)是“雙基”，即基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。“雙基”在本質(zhì)上是學(xué)蘇聯(lián)的，從1952年開始，到1963年形成文件。后來，發(fā)現(xiàn)只強(qiáng)調(diào)“雙基”不夠，就拓展到“四基”——加上了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。過去，強(qiáng)調(diào)分析問題和解決問題。到了2011年左右，我國已經(jīng)提出要培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，因此，只有分析問題和解決問題的能力是不夠的，又拓展到“四能”，就是增加了發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。

第二個(gè)變化是課程內(nèi)容。2001年版課標(biāo)里，沒有“幾何”的概念了，是用“空間與圖形”來表達(dá)的。后來，我們結(jié)合專家們的意見，把它改成了“圖形與幾何”，并且增加了若干個(gè)基本事實(shí)。這樣的話，幾何證明在教學(xué)中就更容易落實(shí)。我當(dāng)時(shí)沒有想到，可能在數(shù)學(xué)教育界一直存在這個(gè)問題，就是2011年版課標(biāo)頒布之后，有幾位中學(xué)數(shù)學(xué)教研員問我：是不是數(shù)學(xué)的證明只有幾何證明，沒有代數(shù)證明？我一下就愣住了：怎么會(huì)出現(xiàn)這個(gè)問題？——顯然，代數(shù)的證明很多。后來，我想明白了：課程標(biāo)準(zhǔn)里，幾何給了基本事實(shí)，代數(shù)沒給基本事實(shí)。于是，在2022年版課標(biāo)中，增加了兩個(gè)基本事實(shí)：一個(gè)是等量的等量相等，也就是a=b，b=c，則a=c，這是無法證明的事情;還有一個(gè)就是等式的基本性質(zhì)，即等號(hào)兩邊同時(shí)加或減同一個(gè)數(shù)，等式依然成立。

第三個(gè)變化就是核心詞。2011年版課標(biāo)把傳統(tǒng)的三大能力（即運(yùn)算能力、推理能力和空間想象能力）拓展為10個(gè)核心詞，其中聚焦數(shù)學(xué)學(xué)科的是8個(gè)核心詞（數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、數(shù)據(jù)分析觀念）。當(dāng)然，這8個(gè)核心詞有些在2001年版課標(biāo)里已經(jīng)提出了，只是不夠明確?？梢钥吹?，除了保持三大能力之外，加上了數(shù)感、符號(hào)意識(shí)等與抽象有關(guān)的核心詞。這是一個(gè)很重要的變化，因?yàn)閭鹘y(tǒng)的數(shù)學(xué)教育不強(qiáng)調(diào)抽象，但是對(duì)于數(shù)學(xué)來說，抽象是極為重要的。

這里，特別談一談“雙基”變“四基”。其實(shí)就是從單純的結(jié)果性目標(biāo)，變成結(jié)果性目標(biāo)加過程性目標(biāo)。2006年，有了這個(gè)想法之后，我拿不準(zhǔn)，就請(qǐng)了北京大學(xué)的姜伯駒先生、復(fù)旦大學(xué)的李大潛先生、南開大學(xué)的侯自新先生、吉林大學(xué)的伍卓群先生等到東北師范大學(xué)來商談。我說：課程目標(biāo)從“雙基”到“四基”，想征求一下你們數(shù)學(xué)家的意見。他們都挺支持的，特別是，對(duì)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)非常贊同。數(shù)學(xué)家知道，數(shù)學(xué)的結(jié)論是看出來的，不是證出來的。也就是說，數(shù)學(xué)結(jié)論的獲?。▎栴}的解決）需要憑借良好的直覺。而直覺的培養(yǎng)需要經(jīng)驗(yàn)的積累。但是，姜先生當(dāng)時(shí)問我：你說的數(shù)學(xué)基本思想是指什么？我當(dāng)時(shí)沒有認(rèn)真地想，我說：我一時(shí)也答不上來，我寫書來回答你的問題吧。后來直到2015年，我陸續(xù)完成了《數(shù)學(xué)思想概論》系列圖書（分為5輯，主題依次為“數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象”“圖形與圖形關(guān)系的抽象”“數(shù)學(xué)中的演繹推理”“數(shù)學(xué)中的歸納推理”“自然界中的數(shù)學(xué)模型”）的寫作與出版，并接著完成了其“精編版”《數(shù)學(xué)基本思想18講》一書的寫作與出版。當(dāng)時(shí)開會(huì)的時(shí)候，我們還請(qǐng)了教育部主管基礎(chǔ)教育的副部長陳小婭和基礎(chǔ)教育司司長姜沛民一起參加研討，在會(huì)上基本就確定了“四基”是可以的。B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991

那么，基本思想究竟是什么？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一般都愿意給一個(gè)思維的原則，我想，數(shù)學(xué)基本思想就是數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展必須依賴的思想，還有學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具有的思維特征。具體是什么呢？想來想去，覺得應(yīng)當(dāng)是抽象、推理和模型。通過抽象，現(xiàn)實(shí)世界的事情到了數(shù)學(xué)內(nèi)部。抽象的主要對(duì)象是現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系，抽象形成了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，用定義或符號(hào)表達(dá)。此外，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展是通過推理得到的，數(shù)學(xué)結(jié)論（數(shù)學(xué)研究對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律）也是通過推理得到的。推理主要分兩類：一類是歸納、類比，是得到結(jié)論;還有一類是演繹（值得一提的是，從算理到算法的計(jì)算，本質(zhì)上也是演繹），是論證結(jié)論。我還寫了一篇很長的文章史寧中.試論數(shù)學(xué)推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016（4）：116。，論證無論歸納、類比還是演繹推理，都是有邏輯的。我把具有傳遞性的那種推理形式叫作有邏輯的推理。這樣的話，就論證了——?dú)w納和類比都是有傳遞性的，演繹也是有傳遞性的。因此，數(shù)學(xué)之所以有嚴(yán)謹(jǐn)性，就是因?yàn)槠錈o論是得到結(jié)論的過程還是論證結(jié)論的過程，都是有邏輯的。此外，通過模型用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)世界的故事，構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，讓數(shù)學(xué)返回現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的概念、方法和結(jié)論認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。很多學(xué)科用數(shù)學(xué)語言來表示其研究領(lǐng)域的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，模型很多是用其他學(xué)科的術(shù)語來命名的。因此，模型作為基本思想是非常重要的。

（二） 2022年版課標(biāo)的修訂要點(diǎn)

首先是所有學(xué)科共同的要點(diǎn)。一是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)。黨的十八大提出，把立德樹人作為教育的根本任務(wù)。對(duì)此，教育部2014年頒布的文件《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》提出，通過核心素養(yǎng)來落實(shí)立德樹人根本任務(wù)。2017年版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)將核心素養(yǎng)作為課程目標(biāo)，貫穿始終。因此，對(duì)2022年版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)提出了同樣的要求，并強(qiáng)調(diào)做好義務(wù)教育與高中的銜接。二是實(shí)現(xiàn)“學(xué)科融合”的教育要求。這是一個(gè)世界潮流，不僅中國現(xiàn)在這樣要求，很多發(fā)達(dá)國家都這樣要求，主張?jiān)诹x務(wù)教育階段，學(xué)科不要分得很細(xì)。數(shù)學(xué)需要與自然科學(xué)、社會(huì)學(xué)的一些學(xué)科有機(jī)融合。除了跨學(xué)科內(nèi)容，還要把歷史文化內(nèi)容融入數(shù)學(xué)課程。

其次是數(shù)學(xué)學(xué)科特殊的要點(diǎn)。這次課標(biāo)修訂主要完成了五件事：

一是學(xué)段的劃分。學(xué)段的劃分是一件很難的事情。其實(shí)，編制2011年版課標(biāo)時(shí)，就想到小學(xué)分三個(gè)學(xué)段。原來，小學(xué)是兩個(gè)學(xué)段：一到三年級(jí)一個(gè)學(xué)段，四到六年級(jí)一個(gè)學(xué)段。其實(shí)，比較合理的是一、二年級(jí)一個(gè)學(xué)段，三、四年級(jí)一個(gè)學(xué)段，五、六年級(jí)一個(gè)學(xué)段。義務(wù)教育有一個(gè)基本的原則，就是該教什么教什么。小學(xué)一、二年級(jí)的孩子不太適應(yīng)學(xué)數(shù)學(xué)，因?yàn)樵挾颊f不明白，不是數(shù)學(xué)懂不懂，而是話懂不懂。因此，一到三年級(jí)是一個(gè)學(xué)段，不是很合理。這是第一個(gè)。第二個(gè)，仔細(xì)調(diào)查一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)，四、五年級(jí)的孩子在思維過程中有一個(gè)很大的分水嶺，五年級(jí)的孩子似乎就對(duì)一些抽象的內(nèi)容多多少少能夠理解一些了。因此，小學(xué)分三個(gè)學(xué)段比兩個(gè)學(xué)段合理，這是根據(jù)心理發(fā)展來定的。所以，一、二年級(jí)要重視幼小銜接教學(xué)，原則上沒有作業(yè)、沒有考試;五、六年級(jí)可以適當(dāng)增加數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。

二是把“四基”“四能”與核心素養(yǎng)有機(jī)結(jié)合。這就涉及如何理解和表達(dá)核心素養(yǎng)，下文再詳談。

三是代數(shù)要增加代數(shù)推理，幾何要加強(qiáng)幾何直觀，數(shù)學(xué)要提升核心素養(yǎng)，在這樣的前提下，如何調(diào)整課程的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容。這是一個(gè)大問題，也在下文詳談。

四是在綜合與實(shí)踐領(lǐng)域，如何融入跨學(xué)科知識(shí)和傳統(tǒng)文化。這個(gè)也會(huì)在下文稍作說明。

五是如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的一致性。可能大家不太知道這個(gè)“一致性”是什么，我稍微闡述一下。

現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)問題是數(shù)的認(rèn)識(shí)缺乏一致性。什么意思？就是通過現(xiàn)實(shí)背景來認(rèn)識(shí)數(shù)，缺乏一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程。整數(shù)怎么認(rèn)識(shí)？強(qiáng)調(diào)數(shù)量。小數(shù)怎么認(rèn)識(shí)？通過“圓、角、分”“米、分米、厘米”。分?jǐn)?shù)則強(qiáng)調(diào)等分。這里沒有一個(gè)共同的東西能把這三種數(shù)串聯(lián)起來。在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的時(shí)候，沒有強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)的單位。問題就會(huì)出在比較大小上：12比13大，道理是什么？是分子相等，所以分母大，分?jǐn)?shù)小。事實(shí)上，對(duì)于分?jǐn)?shù)來說，不應(yīng)該存在這樣的道理。合適的道理應(yīng)該是，在同樣的單位下才能比較大小。因此，12和13比較大小，必須轉(zhuǎn)化到同樣的單位下，那就是變成36和26，36比26大（這是道理），這樣就可以得到12比13大（這是算法）。理和法不是一樣的，這件事情很重要。

特別是，數(shù)的運(yùn)算缺乏一致性。我舉例說明，分?jǐn)?shù)和小數(shù)的除法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，但是教學(xué)時(shí)，通過現(xiàn)實(shí)意義來說明，二者各講各的理。分?jǐn)?shù)除法用包含除的原理解釋。比如，1包含3個(gè)13，所以1÷13=3。那么4÷13怎么辦？變成4×1÷13，后面加上括號(hào)，1÷13=3，所以4÷13=4×3。事實(shí)上，這是很深的道理。因?yàn)槲覀兛梢院芸斓嘏e個(gè)例子：4除以1也等于4，那么就變成了4÷1÷13，后面加上括號(hào)，就變成了4÷3。到底哪個(gè)對(duì)？為什么這么算是對(duì)的呢？這就講不清了。小數(shù)除法用商不變的原理解釋。比如，0.4÷0.02，0.4擴(kuò)大100倍，0.02擴(kuò)大100倍，商不變。為什么商不變就是對(duì)的？舉例說明。但舉的例子都是整數(shù)的例子，整數(shù)的例子為什么適用于小數(shù)？這是個(gè)問題。

因此，各講各的理，使得學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)分好多樣：整數(shù)的數(shù)學(xué)、分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)、小數(shù)的數(shù)學(xué)。運(yùn)算又分好多樣：整數(shù)的運(yùn)算、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算、小數(shù)的運(yùn)算。這樣的話，不僅會(huì)把學(xué)生的思維搞亂，更重要的是為了講這些理，耽誤了很長時(shí)間。也就是說，把簡單的問題講復(fù)雜了。這導(dǎo)致學(xué)生費(fèi)了很大勁學(xué)，而學(xué)的東西不一定是有用的。后來，我就寫了一篇只有一頁的文章——《關(guān)于除數(shù)是分?jǐn)?shù)或者小數(shù)除法的一個(gè)注》史寧中.關(guān)于除數(shù)是分?jǐn)?shù)或者小數(shù)除法的一個(gè)注[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019（5）：1?！獊碚勥@個(gè)事情。我的一個(gè)學(xué)生看見這篇文章后說：老師，弗賴登塔爾早就看出這個(gè)問題了。他給我找了文獻(xiàn)。弗賴登塔爾這么說：“一味地依賴具體情境會(huì)使得除法問題變得更加復(fù)雜。由于教師與教科書編寫者對(duì)于如何從直觀的分?jǐn)?shù)進(jìn)展到算法的分?jǐn)?shù)，最終又如何引出分?jǐn)?shù)的規(guī)則，缺乏適當(dāng)?shù)挠^念，從而使情況更為惡化。”參見：弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995。因此，弗賴登塔爾提出了一個(gè)重要的觀念，即數(shù)學(xué)化，具體方法是從內(nèi)容出發(fā)到舍棄內(nèi)容。但是，他只提出了問題，沒有說如何解決這個(gè)問題。我的這篇文章如果有意義的話，就是解決了這個(gè)問題。B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991

總的來說，這次課標(biāo)修訂保持兩個(gè)原則：保留2011年版課標(biāo)的合理內(nèi)核，延續(xù)2017年版課標(biāo)的核心素養(yǎng)。

二、 核心素養(yǎng)的理解與表達(dá)

因?yàn)槁鋵?shí)立德樹人根本任務(wù)沒有變，2022年版課標(biāo)就要發(fā)展2017年版課標(biāo)提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。這樣的話，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)便涉及小學(xué)、初中、高中。我想，很可能未來要涉及大學(xué)、研究生，還要涉及教師和研究者。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)必須具備三個(gè)基本特征（我說的不一定對(duì)，供大家參考）。一是內(nèi)涵的一致性。不能小學(xué)有小學(xué)的，初中有初中的，高中有高中的，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)該有一以貫之的內(nèi)涵，它是每一個(gè)學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人都應(yīng)該具有的，但又是沒有終極狀態(tài)（永遠(yuǎn)達(dá)不到）的目標(biāo)。二是表現(xiàn)的階段性。不同的學(xué)習(xí)階段應(yīng)該有不同的表現(xiàn)，這與身心發(fā)展有關(guān)，與知識(shí)儲(chǔ)備有關(guān)，與經(jīng)驗(yàn)積累有關(guān)。因此，最關(guān)鍵的是，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表述應(yīng)該有整體性，既有數(shù)學(xué)的特征，又有教育的特征。更具體地說，既表述學(xué)科思維，又表述認(rèn)知心理。

這樣的話，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就定義為數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)（或者說，通過數(shù)學(xué)教育學(xué)生獲得的核心素養(yǎng)）——2022年版課標(biāo)里沒有寫“數(shù)學(xué)（學(xué)科）核心素養(yǎng)”，只用了這樣的定義來表達(dá)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一種與人的行為（思維、做事）有關(guān)的數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)。它是在過程中養(yǎng)成的，是逐漸養(yǎng)成的，是經(jīng)驗(yàn)的積累，是過程性目標(biāo)的拓展，是“四基”的繼承和發(fā)展。因此，學(xué)生本人參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中非常重要。一個(gè)人會(huì)不會(huì)想問題是自己想積累的經(jīng)驗(yàn)造成的，會(huì)不會(huì)做事情也是實(shí)踐的結(jié)果。這些不是教師教出來的，而是自己悟出來的。

這樣，我們就把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表述為：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。這樣的表述有數(shù)學(xué)本身的特征，也有數(shù)學(xué)教育所要描述的認(rèn)知方面的、心理方面的特征。這是很重要的，因?yàn)楝F(xiàn)在的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)跟我曾經(jīng)說的數(shù)學(xué)基本思想相比，更一般，包含的東西更多了。

我們具體來看一下。什么是數(shù)學(xué)的眼光？數(shù)學(xué)是如何觀察現(xiàn)實(shí)世界的？數(shù)學(xué)為人們提供了一種認(rèn)識(shí)與探究現(xiàn)實(shí)世界的觀察方式。掌握了數(shù)學(xué)的這種觀察方式，學(xué)生就能夠直觀地理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)及其現(xiàn)實(shí)背景，能夠在生活實(shí)踐和其他學(xué)科中發(fā)現(xiàn)用數(shù)學(xué)的方法能夠研究的那些對(duì)象，并且能夠表示出這些研究對(duì)象和它們的關(guān)系。具有這種視野的話，就能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)、提出有意義的數(shù)學(xué)問題，引起數(shù)學(xué)探究;在情感、態(tài)度、價(jià)值觀方面，能夠發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識(shí)。在這個(gè)意義上，數(shù)學(xué)的眼光比數(shù)學(xué)抽象更加上位。

什么是數(shù)學(xué)的思維？數(shù)學(xué)是如何思考現(xiàn)實(shí)世界的？數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解和解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式。這一點(diǎn)比推理就更加上位了。通過相應(yīng)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)的基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展過程，知道數(shù)學(xué)基本概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系，能夠合乎情理地解釋或論證數(shù)學(xué)的基本結(jié)論，能夠用數(shù)學(xué)的方法探究現(xiàn)實(shí)世界的規(guī)律，能夠經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程，能夠發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，養(yǎng)成講道理、有條理的思維習(xí)慣，培養(yǎng)理性精神。

什么是數(shù)學(xué)的語言？數(shù)學(xué)是如何表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的？數(shù)學(xué)為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)方式。這一點(diǎn)比模型更加上位。掌握了數(shù)學(xué)的語言，學(xué)生就能夠初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的交流方式，能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中事物的性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律，感悟數(shù)據(jù)的意義和價(jià)值。只有在這樣的過程中，學(xué)生才能感悟數(shù)學(xué)語言（包括它的概念、它的表達(dá)）的簡潔與優(yōu)美，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和交流的習(xí)慣，增加跨學(xué)科的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。

我們進(jìn)一步來分析。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)特征是什么？數(shù)學(xué)的眼光雖然是數(shù)學(xué)提供給人們觀察世界的一種方式，但是在本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的抽象。因?yàn)槌橄?，?shù)學(xué)具有了一般性。數(shù)學(xué)的思維在本質(zhì)上就是邏輯推理，就是我剛才說的具有傳遞性的推理。因此，說數(shù)學(xué)能夠培養(yǎng)思維能力是不夠準(zhǔn)確的，應(yīng)該細(xì)化：它不能培養(yǎng)所有的思維能力，比如形象思維能力和辯證思維能力就不一定能培養(yǎng)，它能培養(yǎng)的是邏輯思維能力。邏輯思維能力就是具有傳遞性的思維能力，如果符合的標(biāo)準(zhǔn)是從小到大，就是歸納、類比;如果是從大到小，就是演繹。因?yàn)檫@樣的推理是有邏輯的，因此數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)性。還有，在現(xiàn)代社會(huì)，所有的學(xué)科要走向科學(xué)，就要盡可能多地使用數(shù)學(xué)的語言，構(gòu)建數(shù)學(xué)的模型，這使得數(shù)學(xué)形成了一個(gè)新特征，就是應(yīng)用的廣泛性。很長時(shí)間以來，幾代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)可能會(huì)有所不同，但是關(guān)于數(shù)學(xué)一般性、嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性的認(rèn)知是一致的。因此，我們現(xiàn)在把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)的思想、與數(shù)學(xué)的特征有機(jī)地結(jié)合起來了。

但是，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育特征是什么？直到目前，我也沒有想得特別清楚。也就是，我剛才說的認(rèn)知和心理方面的特征，我沒有非常好地描述出來。所以，我給大家留下了一個(gè)很大的作業(yè)。

關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的階段性特征，大概這個(gè)是正確的，就是低年級(jí)（如小學(xué)）應(yīng)該更多地基于感知，因此應(yīng)該更具體、更側(cè)重于意識(shí)，意識(shí)是基于感知的領(lǐng)悟;高年級(jí)（如中學(xué)）應(yīng)該基于概念，因此應(yīng)該更一般、更側(cè)重于觀念和能力，觀念是基于概念的理解，能力是基于實(shí)踐的掌握。

這樣，我們保留了2011年版課標(biāo)中的10個(gè)核心詞和2017年版課標(biāo)中的6個(gè)表現(xiàn)，對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)這樣闡述：數(shù)學(xué)的眼光在高中階段對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)抽象，直觀想象;在初中階段對(duì)應(yīng)抽象能力，空間觀念、幾何直觀;在小學(xué)階段對(duì)應(yīng)符號(hào)意識(shí)、數(shù)感、量感（新增加的），空間觀念、幾何直觀。這里，小學(xué)階段所提的前三個(gè)表現(xiàn)也是抽象的具體體現(xiàn)。數(shù)學(xué)的思維在高中階段對(duì)應(yīng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，在初中階段對(duì)應(yīng)推理能力、運(yùn)算能力，在小學(xué)階段對(duì)應(yīng)推理意識(shí)、運(yùn)算能力。這里，小學(xué)時(shí)只要有推理的意識(shí)就行，在初中強(qiáng)調(diào)一下推理能力，到高中就要明明白白地說推理的形式，形式推理就是具有傳遞性的推理;但是，小學(xué)階段對(duì)運(yùn)算還是有能力要求的。數(shù)學(xué)的語言在高中階段對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析，在初中階段對(duì)應(yīng)模型觀念、數(shù)據(jù)觀念，在小學(xué)階段對(duì)應(yīng)模型意識(shí)、數(shù)據(jù)意識(shí)。此外，還有超越數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991

為了使核心素養(yǎng)的說法能夠成立，我們改變了課程性質(zhì)的表述，改變了“數(shù)學(xué)是什么”的表述。

“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！边@句話保留了，說的是數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象。

“數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過對(duì)數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系?！边@個(gè)跟數(shù)學(xué)的眼光是對(duì)應(yīng)的。

“基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對(duì)研究對(duì)象的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律?！边@個(gè)跟數(shù)學(xué)的眼光、思維、語言全面對(duì)應(yīng)。并且特別指出，數(shù)學(xué)不是幫助人們認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的任何事情，而是幫助人們認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)那些具有本質(zhì)性的關(guān)系和規(guī)律。

“數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語言。數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分?！睌?shù)學(xué)也是一種語言，這是很重要的。因?yàn)檎Z言承載著思想和文化，那么數(shù)學(xué)也能夠承載思想和文化。因此，數(shù)學(xué)是人類文明的重要組成部分。這樣的對(duì)數(shù)學(xué)的理解，是從伽利略和牛頓那個(gè)時(shí)代開始的。伽利略曾經(jīng)感慨：宇宙這本書是用數(shù)學(xué)的語言來寫的;如果不懂得數(shù)學(xué)的語言，那么我們只能在黑暗的迷宮中徒勞地摸索。愛德文·阿瑟·伯特.近代物理科學(xué)的形而上學(xué)基礎(chǔ)[M].徐向東，譯.北京：北京大學(xué)出版社，2003：56。愛因斯坦這樣評(píng)價(jià)：由于伽利略看到了這一點(diǎn)，尤其是由于他向科學(xué)界諄諄不倦地教導(dǎo)這一點(diǎn)，他才成為近代物理學(xué)之父，事實(shí)上也成為整個(gè)近代科學(xué)之父。愛因斯坦.愛因斯坦文集（第一卷）[M].許良英，范岱年，譯.北京：商務(wù)印書館：1976：313。現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，是因?yàn)橛脭?shù)學(xué)的語言表達(dá)了現(xiàn)實(shí)世界的規(guī)律。

三、 課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)與調(diào)整

我們強(qiáng)調(diào)了抽象，在抽象的基礎(chǔ)上強(qiáng)調(diào)了抽象結(jié)構(gòu)。抽象結(jié)構(gòu)是什么？它是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)很基礎(chǔ)的東西，就是我們不僅要知道研究對(duì)象是什么，更重要的是知道研究對(duì)象的性質(zhì)是什么、關(guān)系是什么、運(yùn)算是如何展開的。這個(gè)觀點(diǎn)是極為重要的。這個(gè)觀點(diǎn)最早是亞里士多德提出的。他在《形而上學(xué)》中這樣闡述：“數(shù)學(xué)家用抽象的方法對(duì)事物進(jìn)行研究，去掉感性的東西……線、角，或者其他的量（的定義），不是作為存在，而是作為關(guān)系?！币簿褪钦f，抽象的概念存不存在本身不重要，重要是它們的關(guān)系。這一件事被希爾伯特說到了極致。他說：“歐幾里得關(guān)于點(diǎn)、線、面的定義在數(shù)學(xué)上是不重要的，它們之所以成為討論的中心，僅僅是因?yàn)楣硎稣f了它們之間的關(guān)系。換句話說，無論把它們稱為點(diǎn)、線、面，還是把它們稱為桌子、椅子、啤酒瓶，最終推理得到的結(jié)論都是一樣

的。”康斯坦絲·瑞德.希爾伯特——數(shù)學(xué)世界的亞歷山大[M].袁向東，李文林，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2001：90。因此，僅就概念教概念的教法是有問題的，教概念的同時(shí)，應(yīng)當(dāng)教它的性質(zhì)、關(guān)系或運(yùn)算。這是非常重要的。因此，螺旋式上升我是同意的，但是一次或一段教學(xué)中，光說概念是不行的，說了這個(gè)概念，就要談?wù)勊男再|(zhì)、關(guān)系或運(yùn)算。

集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，集合論的ZF公理系統(tǒng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在集合的基礎(chǔ)上談順序，就構(gòu)建了數(shù)，數(shù)的本質(zhì)是大小關(guān)系。數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，數(shù)量的本質(zhì)是多與少，那么，數(shù)的本質(zhì)一并抽象出來就是大與小。因此，從基礎(chǔ)的整數(shù)空間發(fā)展得到的實(shí)數(shù)空間（構(gòu)建函數(shù)的基本空間）的本質(zhì)也是大小關(guān)系。比如，給出分?jǐn)?shù)的定義后，要比較大小;給出角的定義后，也要比較大小。還有，在大學(xué)里，度量是非常重要的，定義距離空間，比如歐幾里得距離、希爾伯特距離;定義測(cè)度，比如，概率論主要基于兩種測(cè)度，一種是計(jì)數(shù)測(cè)度，另一種是勒貝格測(cè)度。度量的集合是很重要的。還有一個(gè)是運(yùn)算的集合，在大學(xué)里屬于近世代數(shù)的研究對(duì)象。對(duì)基礎(chǔ)教育來說，運(yùn)算也是很重要的，就是知道研究對(duì)象之后，一定要知道研究對(duì)象的運(yùn)算。特別是，我們說的數(shù)域跟運(yùn)算有直接的關(guān)系，就是要保證運(yùn)算（主要是逆運(yùn)算）的封閉性。這樣的話，減法使得自然數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)，除法使得整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)。中學(xué)階段雖然講了有理數(shù)和無理數(shù)之間的區(qū)別，并把它們統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，但是沒有解決實(shí)數(shù)的問題：第一，沒有解決實(shí)數(shù)的運(yùn)算問題;第二，沒有解決實(shí)數(shù)的連續(xù)性問題。實(shí)數(shù)問題的解決是在大學(xué)階段，是通過極限的定義解決了實(shí)數(shù)的運(yùn)算問題和連續(xù)性問題。

基于抽象結(jié)構(gòu)的思想，雖然課程內(nèi)容的領(lǐng)域沒有變，但是主題發(fā)生了很大的變化。在小學(xué)階段，把數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的6個(gè)主題合并成2個(gè)主題（“數(shù)的認(rèn)識(shí)”“數(shù)的運(yùn)算”合并成“數(shù)與運(yùn)算”，“探索規(guī)律”“式”“正比例”合并成“數(shù)量關(guān)系”——“常見的量”“負(fù)數(shù)”移到綜合與實(shí)踐領(lǐng)域，“方程”“反比例”移到初中），把圖形與幾何領(lǐng)域的4個(gè)主題合并成2個(gè)主題（“圖形的認(rèn)識(shí)”與“測(cè)量”合并成“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”，“圖形的運(yùn)動(dòng)”“圖形與位置”合并成“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”）。

所以，我們?cè)?022年版課標(biāo)里提倡“整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施”的教學(xué)規(guī)劃，包括全年級(jí)的整體設(shè)計(jì)、全學(xué)段的整體設(shè)計(jì)、全校教師的整體設(shè)計(jì)，每一個(gè)教師都應(yīng)當(dāng)知道自己教學(xué)的位置，知道前后內(nèi)容的聯(lián)系。對(duì)應(yīng)于核心素養(yǎng)的整體性、一致性和階段性，要體現(xiàn)日常教學(xué)的整體性、一致性和階段性。日常教學(xué)中的整體性，是指數(shù)學(xué)知識(shí)體系與相應(yīng)的核心素養(yǎng)的整體性把握;一致性，是指從最初概念提出到最后實(shí)際應(yīng)用的一致性教學(xué);階段性，就是要研究數(shù)學(xué)的知識(shí)是如何進(jìn)階的、核心素養(yǎng)是如何進(jìn)階的。最后，分步實(shí)施。這里只是提出一個(gè)想法，具體要研究的問題可能還很多，不詳細(xì)講。

現(xiàn)在，綜合與實(shí)踐領(lǐng)域增加了內(nèi)容，主要是跨學(xué)科的內(nèi)容，并強(qiáng)調(diào)小學(xué)以主題學(xué)習(xí)為主，初中嘗試項(xiàng)目式學(xué)習(xí)。特別是，把“常見的量”“負(fù)數(shù)”內(nèi)容以主題活動(dòng)的形式設(shè)計(jì)在綜合與實(shí)踐領(lǐng)域。比如，“歡樂購物街”主題活動(dòng)認(rèn)識(shí)元、角、分;“時(shí)間在哪里”主題活動(dòng)認(rèn)識(shí)時(shí)、分、秒;“我的教室”主題活動(dòng)認(rèn)識(shí)上、下、左、右、前、后，認(rèn)識(shí)東、南、西、北;“如何表達(dá)具有相反意義的量”主題活動(dòng)初步認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。綜合與實(shí)踐領(lǐng)域還強(qiáng)調(diào)了傳統(tǒng)文化，如“曹沖稱象的故事”“度量衡的故事”“圓周率的故事”等主題活動(dòng)。數(shù)學(xué)教學(xué)講傳統(tǒng)文化與其他學(xué)科教學(xué)講傳統(tǒng)文化是不一樣的，要講數(shù)學(xué)。比如，數(shù)學(xué)教學(xué)講“曹沖稱象的故事”，除了認(rèn)識(shí)重量單位之外，還要講“等量的等量相等”的道理、“總量等于分量和”的道理。這是曹沖稱象的故事所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)。在教學(xué)中，教師應(yīng)該認(rèn)真地思考這件事情。當(dāng)然，其他領(lǐng)域也要重視傳統(tǒng)文化，尤其是數(shù)學(xué)文化。比如，初中教學(xué)“方程”時(shí)，可以引入《九章算術(shù)》中很多好的問題。B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991

再講一講，在內(nèi)容整合的基礎(chǔ)上，要強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理和幾何直觀。代數(shù)推理就是通過簡單的歸納、類比得到初步的結(jié)論后，通過法則的運(yùn)用，感悟從一般到特殊的推理過程。我在想，在小學(xué)能不能稍微加強(qiáng)說理？我一直關(guān)心這個(gè)事情，希望教材編寫者認(rèn)真思考。比如，我們講了兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)，那么，三位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法是不是可以讓學(xué)生自己得到，讓學(xué)生能歸納出一個(gè)算法。要進(jìn)行這樣的歸納，教材編寫就應(yīng)該注意了，過去只寫豎式不寫橫式是不行的——上次我很認(rèn)真地談了這件事情，北師大版改過來了。橫式是算理，豎式是算法。光講算法不講算理是不行的。比如，123×12這個(gè)乘法豎式的算理是這樣的：123×12=123×（2+10）=123×2+123×10=246+1230=1476。12要按數(shù)位分解，因此，要用到分配律，能感悟化未知為已知的化歸思想。算律決定算理，算理決定算法，這個(gè)思想非常重要。再如，在初中（甚至小學(xué)高年級(jí)）可以讓學(xué)生嘗試證明3的倍數(shù)的特征，感悟代數(shù)運(yùn)算中的邏輯推理。

強(qiáng)調(diào)幾何直觀，就要增加尺規(guī)作圖，以建立圖形的直觀感覺，培養(yǎng)空間想象能力。幾何抽象的本質(zhì)是什么？我想，應(yīng)該是把三維的物體用二維圖形表現(xiàn)出來。因此，幾何的本質(zhì)是二維和三維之間的關(guān)系?？梢?，在小學(xué)階段進(jìn)行尺規(guī)作圖是必要的，能讓學(xué)生感悟到抽象物體的存在。比如，同樣長的線段除了能用刻度尺量出，也能用圓規(guī)量出。再如，給一條線段作出等邊三角形，知道用圓規(guī)可以畫出兩條線段的交點(diǎn)。此外，在初中，要明晰尺規(guī)作圖的教學(xué)思路——構(gòu)思圖形、設(shè)計(jì)流程、作圖驗(yàn)證，強(qiáng)調(diào)執(zhí)果索因的探索性思維。還可以通過尺規(guī)作圖，在充分感悟的基礎(chǔ)上，猜想三角形全等的條件。

最后再談三件事情。

一是關(guān)于數(shù)學(xué)化的事情。2022年版課標(biāo)明確要求：“初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí);感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)。”中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：18。怎么實(shí)現(xiàn)數(shù)的概念的一致性和數(shù)的運(yùn)算的一致性？也就是，怎么實(shí)現(xiàn)前面提到的弗賴登塔爾所希望的數(shù)學(xué)化？2022年版課標(biāo)增加了一個(gè)計(jì)數(shù)單位的概念。計(jì)數(shù)單位是一種特殊的計(jì)量單位，是個(gè)數(shù)和順序的計(jì)量單位，把它作為數(shù)學(xué)化（一致性）的抓手。怎么作為抓手？數(shù)的認(rèn)識(shí)，不管是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，都是“多少個(gè)計(jì)數(shù)單位”的表達(dá)：對(duì)十進(jìn)制的整數(shù)和小數(shù)，每個(gè)計(jì)數(shù)單位上的多少個(gè)要小于等于9個(gè);對(duì)分?jǐn)?shù)，如4/3是4個(gè)1/3，1/3是計(jì)數(shù)單位，這樣的話，就解決了假分?jǐn)?shù)的問題，要不然假分?jǐn)?shù)永遠(yuǎn)說不清楚。比較大小和運(yùn)算也是這樣。比較大小應(yīng)在同樣的計(jì)數(shù)單位上進(jìn)行，加、減運(yùn)算也應(yīng)在同樣的計(jì)數(shù)單位上進(jìn)行。因此，分?jǐn)?shù)通分的道理是要得到同樣的計(jì)數(shù)單位。這樣的話，在算理上就一致了：無論整數(shù)運(yùn)算、小數(shù)運(yùn)算還是分?jǐn)?shù)運(yùn)算，都是這樣的。乘、除運(yùn)算是個(gè)數(shù)與個(gè)數(shù)運(yùn)算得到新的個(gè)數(shù)，計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位運(yùn)算得到新的計(jì)數(shù)單位。這一點(diǎn)可能需要較長時(shí)間的體會(huì)，這里不細(xì)講了。

二是“方程”移到了初中。主要是兩個(gè)原因。第一個(gè)是過去的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)講方程沒有涉及方程的本質(zhì)：字母表示數(shù)的內(nèi)容（課時(shí)）很少，因此學(xué)習(xí)簡易方程時(shí)，容易認(rèn)為只能用字母表示未知數(shù)，其實(shí)，表示未知數(shù)不是問題的本質(zhì)。從算術(shù)變成代數(shù)是從韋達(dá)開始的，是從用字母表示方程中的系數(shù)，而不是未知數(shù)開始的——表示未知數(shù)古希臘就有。因此，用字母來表達(dá)性質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律是非常重要的。過去，“字母表示數(shù)”只有半節(jié)課——人教版教材最多，也不到一節(jié)課?，F(xiàn)在則要求6節(jié)課、8節(jié)課，讓學(xué)生感知通過字母得到的結(jié)論具有一般性，感悟數(shù)學(xué)抽象的層次性。第二個(gè)是過去引入的是簡單方程，如5-x=2這樣的方程，其實(shí)這樣的方式是非常不合適的，因?yàn)闆]有讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)方程的必要性?，F(xiàn)在有一個(gè)基本原則，可能是未來教材編寫、教師講課必須遵循的，就是所有新的概念的引入和新的方法的引入，必須讓學(xué)生體會(huì)到必要性，不是我教你，你就得學(xué)，而是我教你的是很有用的，所以你要學(xué)，要讓學(xué)生有學(xué)習(xí)興趣，就要讓他們學(xué)習(xí)更有用的內(nèi)容。因此，方程必須在用四則運(yùn)算解起來非常困難的情況下（比如“雞兔同籠”問題）才能夠引入，從而讓學(xué)生體會(huì)到引入方程的必要性。還有，這樣的方程引入是不可以的，就是傳統(tǒng)說的“含有未知數(shù)的等式叫作方程”這個(gè)定義是不成立的。因?yàn)閿?shù)學(xué)定義必須是充分必要的，而2x-x=x這個(gè)表達(dá)是含有未知數(shù)的等式，但它不是方程，而是計(jì)算的結(jié)果，是傳遞性的結(jié)果。方程必須講兩個(gè)故事（或更多的故事），這兩個(gè)故事中的量相等，因此，方程中的等號(hào)表示等量關(guān)系，而不是傳遞性。這樣，才能讓學(xué)生感悟模型思想。

三是“百分?jǐn)?shù)”移到了統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域。這是適應(yīng)信息時(shí)代、大數(shù)據(jù)的要求，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)據(jù)意識(shí)、數(shù)字素養(yǎng)，因?yàn)榘俜謹(jǐn)?shù)在大數(shù)據(jù)的處理中越來越重要。這樣，傳統(tǒng)的教學(xué)中，一個(gè)飲料中果汁含量的確定性的百分?jǐn)?shù)，就要過渡到隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，比如投籃的命中率。而百分?jǐn)?shù)的引入，有助于隨機(jī)現(xiàn)象的決策。在現(xiàn)實(shí)生活中，隨機(jī)現(xiàn)象的決策比確定性的決策應(yīng)用更為廣泛。因此，在小學(xué)階段，學(xué)生多多少少要感悟一下對(duì)于隨機(jī)現(xiàn)象怎么決策。具體如，要制訂四年級(jí)學(xué)生跳繩的標(biāo)準(zhǔn)，怎么辦？讓學(xué)生跳，記下來，之后從少到多排隊(duì)（對(duì)于數(shù)就是從小到大排隊(duì)），通過準(zhǔn)則制訂標(biāo)準(zhǔn)：如果希望大多數(shù)學(xué)生短時(shí)間內(nèi)都能達(dá)到，就可以定在25%或者50%（中位數(shù)）;如果希望大多數(shù)學(xué)生經(jīng)過一段時(shí)間的努力才能達(dá)到，就可以定在75%。實(shí)際上，我國的“藍(lán)天計(jì)劃”就是這么制訂的。此外，在初中階段，引入了數(shù)據(jù)的分類。數(shù)據(jù)太大了怎么辦？一個(gè)最簡單的方法就是分類。這個(gè)思想在小學(xué)階段就有滲透，到了初中再講分類的原則和常用方法。

（史寧中，東北師范大學(xué)原校長，榮譽(yù)教授，博士生導(dǎo)師。義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長。）B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991