譚曉云

[摘? 要] 數(shù)學也是一種文化，以“函數(shù)的奇偶性”教學為例，論述數(shù)學文化在高中數(shù)學教學中的滲透，以激發(fā)學生的學習興趣，促進學生自主探究，進而培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)和理性精神.

[關鍵詞] 數(shù)學文化;函數(shù);奇偶性;高中數(shù)學

數(shù)學也是一種文化，伴隨著人類歷史的產(chǎn)生與發(fā)展. 教學中，教師不能僅僅注重數(shù)學的科學性和工具性，而忽視了數(shù)學的人文性. 文章以“函數(shù)的奇偶性”教學為例，論述了數(shù)學文化在高中數(shù)學教學中的滲透，不揣淺陋，以求教于學界同仁.

情境導入，提出問題

特級教師于漪說過，“在課堂中要培養(yǎng)、激發(fā)學生的興趣，首先應抓住導入新課的環(huán)節(jié)，一開始就把學生牢牢地吸引住.”[1]導入環(huán)節(jié)在整個教學過程中的重要性不言而喻. 在導入環(huán)節(jié)滲透數(shù)學文化，教師可以從兩個方面入手：一是通過數(shù)學與社會生活的聯(lián)系滲透數(shù)學文化. 生活是數(shù)學的源泉，數(shù)學是生活的提煉，從學生熟悉的現(xiàn)實生活導入新課，既能夠提高學生的觀察能力，還能夠幫助學生更好地了解生活中的“數(shù)學之美”. 二是通過數(shù)學家的故事導入新課. 數(shù)學學習是人類的一種文化活動，數(shù)學學習中的困難和挫折難以避免，教師可介紹數(shù)學家攻克難題的過程，激勵學生戰(zhàn)勝困難的勇氣，照亮學生前行的腳步！

師：生活中并不缺少美，只是缺少一雙發(fā)現(xiàn)美的眼睛. 現(xiàn)在，請同學們觀察以下幾幅圖片（如圖1所示），說一說它們美在哪里.

生1：這些圖形都是對稱的.

師：對稱是大自然的一種美，數(shù)學中也有對稱美. 在初中學段，我們學過哪幾種對稱呢？

生2：軸對稱和中心對稱.

師：你能列舉出一些圖像對稱的函數(shù)嗎？

生3：f（x）=x-1，f（x）=x，f（x）=x2.

師：現(xiàn)在，我們通過幾何畫板再畫一些函數(shù)的圖像，比如f（x）=x-2，f（x）=x3，f（x）=x4. 請同學們觀察這些函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像的特點對這些函數(shù)進行分類，說一說你分類的依據(jù)是什么.

生4：我是這樣進行分類的：函數(shù)f（x）=x2，f（x）=x-2，f（x）=x4是一類，它們的圖像都關于y軸對稱;函數(shù)f（x）=x-1，f（x）=x，f（x）=x3是一類，它們的圖像都關于原點中心對稱.

師：如果要給這兩類函數(shù)起名字，你有什么好辦法？

生5：我們可以稱第一類函數(shù)為偶函數(shù)，因為它們的指數(shù)都是偶數(shù);我們可以稱第二類函數(shù)為奇函數(shù)，因為它們的指數(shù)都是奇數(shù).

師：同學們真聰明. 你們跟大名鼎鼎的數(shù)學家歐拉想到一起去了！歐拉是18世紀瑞士著名的數(shù)學家，他首次提出了奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念. 當時，他也是根據(jù)指數(shù)的奇偶性來對函數(shù)進行分類的. 這節(jié)課，我們就來一起研究函數(shù)的奇偶性，探究奇函數(shù)和偶函數(shù)的奧秘吧！

教學中，教師創(chuàng)設情境，引導學生感悟和體味生活中的對稱之美，并在此基礎上自然而然地過渡到數(shù)學中的對稱之美，進而引出奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念. 在這個過程中穿插著數(shù)學小故事，使學生認識到函數(shù)奇偶性的歷史淵源，感受數(shù)學家研究問題的思維方式，提升了學生學習數(shù)學的興趣和信心.

自主探究，建構概念

蘇霍姆林斯基說：“教學不僅僅是一種‘告訴’，更重要的是要讓學生在情境中主動地實踐、體驗和探究.”[2]數(shù)學探究是學生學習數(shù)學的重要方式，具體表現(xiàn)為學生動手動腦、探索實踐和相互交流等. 在學生探究的過程中，教師可結合教學內(nèi)容，合理滲透教學內(nèi)容中的顯性文化和隱性文化. 其中，顯性文化指的是數(shù)學史料、數(shù)學之美、數(shù)學應用等，隱性文化指的是知識內(nèi)容中蘊含的數(shù)學思想方法、數(shù)學理性思維以及數(shù)學思維品質(zhì)等.

活動1：認識偶函數(shù)

師：我們剛才是根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性對函數(shù)進行分類的. 問題的關鍵是，我們在很多情況下并不能直接獲得函數(shù)圖像的特征，這個時候，我們應該怎么辦呢？

（學生討論）

生6：我們學習函數(shù)的單調(diào)性時，是先從特殊的函數(shù)入手的，先直觀感受函數(shù)圖像的變化，再從“數(shù)”的角度給出了函數(shù)單調(diào)性的定義. 我認為，我們也可以按照同樣的思路研究函數(shù)的奇偶性. （感悟數(shù)學的數(shù)形結合思想，體會數(shù)學從特殊到一般的研究方法）

師：我們先根據(jù)下面的表格（表1），畫出函數(shù)f（x）=x2的圖像. （讓學生感受偶函數(shù)的對稱之美）

師：f（x）=x2的圖像關于y軸對稱，我們應該怎樣用數(shù)量關系進行描述呢？（幾何畫板演示：當函數(shù)圖像上任意一點運動時，其關于y軸的對稱點也隨之運動）

生7：f（1）=f（-1），f（2）=f（-2），f（2.5）=f（-2.5），….

生8：即使自變量互為相反數(shù)，函數(shù)值也相等.

師：我們?nèi)绾斡脭?shù)學符號表示這種數(shù)量關系呢？

生9：f（x）=f（-x）. （數(shù)學符號簡潔之美）

師：現(xiàn)在，我們將這種數(shù)量關系推廣到圖像關于y軸對稱的一般函數(shù)f（x）.

生10：對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）=f（-x）.

師：如果對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）=f（-x），那么這個函數(shù)的圖像是否關于y軸對稱呢？

（學生討論）

生11：答案是肯定的，函數(shù)圖像上的任意一點關于y軸對稱的點也在這個函數(shù)圖像上.

師：怎樣論證自己的觀點呢？

生11：如圖3所示. 設函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意一點是圖像上的一點P（x，f（x）），P（-x，f（x））是點P（x，f（x））關于y軸對稱的點，函數(shù)f（x）的圖像上橫坐標為-x的點是Q（-x，f（-x）），因為f（x）=f（-x），所以P和Q實際上是重合的. 這樣就可以得出這樣的結論：如果對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）=f（-x），那么這個函數(shù)的圖像關于y軸對稱. （體現(xiàn)數(shù)學思維的嚴謹性）

師：如果對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）=f（-x），那么函數(shù)f（x）就叫偶函數(shù). 偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱，反之也成立.

師：函數(shù)f（x）=x2（x∈[-1，2]）是偶函數(shù)嗎？

生12：不是. 這個函數(shù)圖像并不關于y軸對稱.

師：這說明偶函數(shù)的定義域有什么特征？

生12：偶函數(shù)的定義域應該是關于原點對稱的. （體現(xiàn)數(shù)學思維的嚴謹性）

教學中，教師要立足學生的最近發(fā)展區(qū)，引導學生將函數(shù)單調(diào)性的學習和研究方法遷移到函數(shù)奇偶性的學習和研究中，使學生感受到數(shù)學中的數(shù)形結合思想和類比思想的魅力. 在探究偶函數(shù)概念的過程中，教師引導學生先從特殊的函數(shù)入手，從“形”的角度直觀認識偶函數(shù)，但是這種認識仍然屬于一種淺層次的感性認識. 在此基礎上，教師緊緊抓住問題本質(zhì)，引導學生自主探究，使學生運用文字語言、符號語言和圖形語言表示偶函數(shù)的特征. 學生由此經(jīng)歷了完整的概念建構過程，并將偶函數(shù)的認識由感性認識上升到理性認識，并在這個過程中發(fā)展學生嚴謹、思辨的數(shù)學思維品質(zhì)，進而豐富了數(shù)學教學的文化底蘊.

活動2：類比偶函數(shù)，探究奇函數(shù)

通過列表、描點和連線，作出函數(shù)f（x）=x的圖像，并且類比偶函數(shù)的學習過程，解決如下問題：

（1）類比偶函數(shù)，嘗試定義奇函數(shù).

（2）奇函數(shù)的圖像特征是什么？

（3）函數(shù)f（x）=x（x∈[-1，2]）是奇函數(shù)嗎？

（4）奇函數(shù)的定義域有什么特征？

（5）你能舉出一些奇函數(shù)的例子嗎？

類比學習是一種重要的數(shù)學學習方法. 由于學生充分參與了偶函數(shù)概念的建構過程，因此學生可以類比偶函數(shù)探究奇函數(shù)，不但促進了數(shù)學知識和方法的有效遷移，還有利于學生從整體上把握函數(shù)奇偶性的基本規(guī)律.

數(shù)學應用，深化理解

數(shù)學源于生活并服務于生活. 知識唯有運用于現(xiàn)實生活的實踐中才能彰顯出其強大的魅力. 在數(shù)學應用過程中，幫助學生有理性、有條理地進行思考，借助于數(shù)學符號、數(shù)學概念和原理，有理有據(jù)、有方法、有方向解決現(xiàn)實問題，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì)，彰顯數(shù)學的理性精神.

通過本題的練習，學生可以進一步鞏固運用圖像法和定義法判斷函數(shù)的奇偶性. 其中，運用定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟為：判斷定義域是否關于原點對稱;找出f（x）與f（-x）的關系;作出判斷：如果f（x）=f（-x），那么f（x）是偶函數(shù);如果f（-x）=-f（x），那么f（x）是奇函數(shù). 同時，學生能自覺地通過函數(shù)奇偶性將函數(shù)歸納為奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)和既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)四種類型. 總之，本題可使學生進一步鞏固對函數(shù)奇偶性概念的認知和應用，能發(fā)展學生思維的邏輯性和嚴謹性.

本題是數(shù)學史上的著名例子，歐拉在研究這兩個函數(shù)性質(zhì)時就犯過沒能正確區(qū)分f（x）和g（x）的錯誤. 教師介紹本題的歷史背景，進一步激發(fā)學生的探究興趣，促進學生對函數(shù)概念和函數(shù)奇偶性的理解.

讓數(shù)學成為一種文化，數(shù)學教學應該“還數(shù)學以文化的本來面目”，使學生感受到數(shù)學中蘊含的文化底蘊. 然而，數(shù)學文化的浸潤不能急功近利，也不能強制灌輸，而應該潛移默化、潤物無聲地實現(xiàn). 只有這樣，數(shù)學文化才能浸潤到學生的心田，才能促進學生的自然生長.

參考文獻：

[1]? 劉曉蘇. 滲透數(shù)學文化，提升學生素養(yǎng)[J]. 中學數(shù)學，2020（15）：79-80.

[2]? 田興輝. “文”以載道魅力彰顯——淺析新課程理念下數(shù)學文化的融入[J]. 高中數(shù)學教與學，2020（10）：1-3.