黃俊森

[摘? 要] 文章以2020年全國(guó)Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第20題為例，說明解決含參函數(shù)的零點(diǎn)問題的三種方法——直接法、參變分離法、轉(zhuǎn)化法，以直觀想象為抓手，化歸為常規(guī)方法，讓學(xué)生有跡可循，總結(jié)規(guī)律，循序漸進(jìn)突破學(xué)生的思維難點(diǎn)，進(jìn)而達(dá)到落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

[關(guān)鍵詞] 直觀想象;含參函數(shù);零點(diǎn);策略

含參函數(shù)的零點(diǎn)問題一直是高考?jí)狠S題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，近6年每年都考查了，特別是遇到非常規(guī)的含參方程或超越方程時(shí)，學(xué)生就束手無策，原因是學(xué)生無法將陌生函數(shù)的信息轉(zhuǎn)化成可供解題的信息. 函數(shù)的零點(diǎn)是溝通函數(shù)、方程、圖像的重要媒介，它充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的關(guān)系，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想，而且在落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面有其獨(dú)特的價(jià)值.

王尚志教授說過，“直觀想象非常重要. 證明的思路是看出來的，要教育學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形來探測(cè)與表達(dá)結(jié)果.”函數(shù)零點(diǎn)問題就是一個(gè)很好的培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的載體，通過“函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)？圳方程f（x）=0有實(shí)根？圳函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn)”的適當(dāng)轉(zhuǎn)換，可以得到相應(yīng)的圖像，得到各種不同的求解策略. 而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，即平面圖形或空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會(huì)”：會(huì)識(shí)圖，會(huì)畫圖，會(huì)析圖，會(huì)用圖.

下面以2020年全國(guó)Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第20題為例探究其解法，基于直觀想象分析這種類型問題的實(shí)質(zhì)，打開這類問題的思維層次，并舉例分析、變式練習(xí)、總結(jié)歸納，讓考生熟練掌握這類題型的解法.

看山是山，真題回放

例 （2020年全國(guó)Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第20題）已知函數(shù)f（x）=ex-a（x+2）. （1）略;（2）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

題目分析：第（1）問略. 對(duì)于第（2）問，首先思考：條件“f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于f（x）的圖像是怎樣穿過x軸兩次的？是否類似于拋物線先減后增，頂點(diǎn)在x軸下方，或者反之？然后將題目中的函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為圖像進(jìn)行分析，需要研究其單調(diào)性和極值點(diǎn)等函數(shù)性質(zhì).

看山不是山，解法探究

解法1（直接法）：由已知得f′（x）=ex-a.

若a≤0，則f′（x）=ex-a≥0恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增，最多和x軸有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.

若a>0時(shí)，令f′（x）=ex-a=0，得x=lna.

題后反思：先直接分析f（x）的單調(diào)性，求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為不等式問題，即判斷何時(shí)f′（x）>0和f′（x）<0，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，很多學(xué)生對(duì)此手足無措. 此時(shí)畫出f′（x）的圖像是完整突破的關(guān)鍵. 為了畫出導(dǎo)函數(shù)的圖像，分類討論可分為三步：方程有沒有根，根在不在定義域，哪些區(qū)域要或不要. 從高考試卷反饋來看，此解法學(xué)生易漏證其必要性，即證明f（x）在區(qū)間（-∞，lna）和（lna，+∞）的圖像穿過了x軸——若圖像沒有穿過x軸就沒有兩個(gè)交點(diǎn)，所以必須進(jìn)行檢驗(yàn). 檢驗(yàn)方法是零點(diǎn)存在性定理，難點(diǎn)在于如何在兩個(gè)區(qū)間內(nèi)各找一個(gè)正值點(diǎn). 常用方法：先在極值點(diǎn)左右區(qū)間找常數(shù)點(diǎn)試一試，或者通過放縮法化曲為直再代入檢驗(yàn). 但凡遇到函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)都應(yīng)當(dāng)聯(lián)想其圖像，可以從圖像直觀辨析需要的條件或性質(zhì).

令h′（x）>0，解得x>-1;令h′（x）<0，解得x<-2或-2<x<-1. 故函數(shù)h（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，在（-2，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增. 且當(dāng)x<-2時(shí)，h（x）<0，當(dāng)x>-2時(shí)，h（x）>0. h（x）的圖像如圖2所示.

解法3（轉(zhuǎn)化法）：若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即a（x+2）=ex有兩個(gè)解，即y=a（x+2）和y=ex有兩個(gè)交點(diǎn).

易知直線y=a（x+2）必過點(diǎn)A（-2，0），且斜率為a. 下面先看直線y=a（x+2）與曲線y=ex只有一個(gè)交點(diǎn)的情形：

如圖3可知，當(dāng)y=a（x+2）和y=ex有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a>e-1. 所以，滿足條件的a的取值范圍是（e-1，+∞）.

題后反思：解法3將a（x+2）=ex轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相對(duì)熟悉的函數(shù)的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合法對(duì)學(xué)生來說更容易入手，且避過了前兩個(gè)解法中的一些難點(diǎn)，又形象直觀，一目了然. 但是學(xué)生能否熟練畫出正確的圖像，理解參數(shù)是如何影響函數(shù)圖像的，是教師在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)該對(duì)基本的通性通法不斷訓(xùn)練的結(jié)果.

看山還是山，思維提升

上述的三種解法殊途同歸，關(guān)鍵要讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)和圖像這些工具，掌握常規(guī)題型的通性通法，掌握分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，在解題教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合，這才是高效備考的上策. 很多函數(shù)只要能畫出其圖像，就能清楚其性質(zhì)，如果畫不出來，是因?yàn)槿绷耸裁礂l件？順藤摸瓜畫函數(shù)圖像，其實(shí)是綜合研究整個(gè)函數(shù)性質(zhì)的過程，所以課堂教學(xué)要多滲透數(shù)形結(jié)合.

對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)問題的解題思路，哪種方法能得到相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)就優(yōu)先考慮哪種，比如用直接法先判斷能否得到易于討論的含參導(dǎo)函數(shù)，否則就參變分離，或轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)的交點(diǎn)問題進(jìn)行處理會(huì)更佳.

面對(duì)高考命題者越來越青睞函數(shù)零點(diǎn)問題，學(xué)生要想解決這類函數(shù)零點(diǎn)問題，需要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的變形技巧，還需要具備直觀想象能力，不斷地變換角度，化繁為簡(jiǎn)，化難為易.