張宏祥

[摘? 要] 直線與曲線的位置關系問題在高考中較為常見，這樣的問題往往以解析幾何為背景，解析突破需要充分結合圖像，利用圖像分析點、直線、曲線之間的位置關系，通過代數(shù)運算推導、確認關系. 文章以一道直線與圓相切的考試題為例，進行解題探究、知識總結.

[關鍵詞] 解析幾何;直線;曲線;位置關系

判斷直線與曲線的位置關系是解析幾何常見的問題類型之一，也是重要的知識考點. 由于這樣的問題常以圓錐曲線為背景，對其賦予了“數(shù)”與“形”的屬性，因此找準解決問題的突破口也應立足該特性. 2021年全國高考甲卷理科第20題為拋物線背景下的直線與圓的位置關系問題，下面以此為例進行深入探究.

走進考題，思路突破

1. 走進考題

考題：（2021年全國高考甲卷理科第20題）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ. 已知點M（2，0），且⊙M與l相切.

（1）求C和⊙M的方程;

解讀：本題以拋物線為背景，設定拋物線及坐標系上的點，形成了直線、圓等，探究直線與曲線的位置關系是重點，可結合圖像來分析.

2. 思路突破

（1）該問求的是拋物線C和⊙M的方程，需要理解圖形構建過程，以及其中的位置關系.

已知直線l：x=1，說明直線l平行于y軸.

點P和點Q是直線l與拋物線C的兩個交點，由對稱性可知兩點關于x軸對稱，故兩點的橫坐標相等，縱坐標為相反數(shù).

直線OP與OQ為垂直關系，即OP⊥OQ，故△OPQ是等腰直角三角形;若設直線l與x軸的交點為N，則可推知△ONQ和△ONP均為等腰直角三角形.

直線l與⊙M為相切關系，線段MN是⊙M的半徑;又知點N（1，0），M（2，0），則可直接求得⊙M的半徑MN=1，同時可確定點N為OM的中點.

根據(jù)上述點、直線、拋物線、圓之間的位置關系的解析，可繪制如圖1所示的圖像.

解后評析，總結歸納

1. 解后評析

上述考題以拋物線為背景，取點成直線，由點構成圓，求解拋物線與圓的解析方程，探究直線與圓的位置關系. 從解析幾何角度理解直線與圓的位置關系是探究突破的重點，上述突破過程有以下幾大特點.

特點2：數(shù)形結合，直觀形象. 題設給出了直線與圓的兩個相切條件，討論第三條直線與圓的位置關系. 從問題形式來看，幾何屬性鮮明，故繪制圖像有助于問題分析. 上述分情形討論結合了圖像——對可能存在的情形繪制了相應的圖像，從幾何視角對其加以驗證.

特點4：引入距離，直接判定. 問題核心是討論直線與圓的位置關系，問題具有圓錐曲線的背景，故討論位置關系需要借助于代數(shù)等相關知識，上述解析充分將位置關系問題轉化為圓心到直線的距離問題，通過比較距離d與圓的半徑r的大小關系來確定結論. 整個過程精準具體，充分利用了直線與圓的方程.

2. 總結歸納

判定直線與圓的位置關系是常見的問題類型，解析幾何中可以從代數(shù)與幾何兩大視角進行探討. 幾何視角：分析距離d與圓的半徑r的大小關系;代數(shù)視角：聯(lián)立直線與圓的方程，則方程的解的個數(shù)就是直線與圓的交點個數(shù)，可用判別式Δ加以判斷. 位置關系與對應知識如下.

直線與圓的相切問題十分常見，通常有兩種命題形式：一是直接求與圓相切的直線方程;二是給出相切條件，推導其他關系或求解析式.

對于第二種命題形式，若直線l與圓相切，連接圓心與切點，則該連線與直線l為垂直關系，從而將相切關系轉化為直線之間的垂直關系，并利用向量積或斜率乘積來體現(xiàn).

深度探究，相切轉化

下面進一步對直線與圓相切進行關聯(lián)探究，結合實例分析相切條件的轉化方法.

（1）若點P到圓心M的距離等于它到拋物線C的準線的距離，試求點P的坐標;

（2）若點P（1，2），設線段AB的中點的縱坐標為t，試求t的取值范圍.

解析：本題設定了拋物線與圓，并構建了圓的兩條切線，以此形成了一些切點，探究此類問題需要把握由相切關系推導直線的方法.

評析：上述問題的核心是直線與圓的相切關系，解析突破即將相切關系轉化為圓心到切線的距離，實現(xiàn)了幾何關系向代數(shù)方程的轉化. 若問題中為相離關系，則可構建圓心到直線的距離d與圓的半徑r的不等關系，即d>r.

寫在最后

直線與圓的位置關系在初中數(shù)學就有涉及，但高中學段對其賦予了更深刻的意義，在解析幾何背景中實現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的結合，從不同視角剖析可以獲得不同的思路. 建立位置關系與距離、斜率、弦長、方程判別式之間的聯(lián)系是探究突破的關鍵. 教學中要引導學生合理采用數(shù)形結合法，利用圖像確定解題的切入點，轉化位置關系條件，高效構建解題思路.