趙茂男

[摘? 要] 通過(guò)構(gòu)建單元知識(shí)的鏈條和結(jié)構(gòu)體系，統(tǒng)籌、重組和優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，有利于引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)，提升課堂教學(xué)效率和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng). 文章以橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的教學(xué)為例，闡釋研究者對(duì)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué);單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)

單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)不僅能夠突出相關(guān)主題內(nèi)容和知識(shí)間的聯(lián)系，體現(xiàn)出知識(shí)的系統(tǒng)性、聯(lián)系性和整體性，而且能統(tǒng)籌、重組和優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容和結(jié)構(gòu)，把握數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)，從而達(dá)到提升課堂教學(xué)效率和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目的. 而在具體實(shí)踐中，相當(dāng)數(shù)量的教師對(duì)單元整體教學(xué)的意識(shí)和能力不強(qiáng)，大部分學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的思路不夠全面，處理綜合類(lèi)問(wèn)題的能力非常薄弱. 因此，文章以橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的教學(xué)為例[1]，闡釋筆者對(duì)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐.

[?] 教學(xué)過(guò)程再現(xiàn)及設(shè)計(jì)意圖分析

1. 內(nèi)容和內(nèi)容解析

橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)“圓錐曲線與方程”中的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程后所要探究的主要知識(shí)點(diǎn)，其幾何性質(zhì)主要包括頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)性、離心率以及范圍，并且橢圓是學(xué)生首次學(xué)習(xí)圓錐曲線所要面對(duì)的內(nèi)容，之后所學(xué)習(xí)的拋物線、雙曲線都可以利用橢圓的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行探究，因此探究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)就顯得尤為關(guān)鍵.

2. 教學(xué)問(wèn)題診斷分析

在學(xué)習(xí)該內(nèi)容之前，學(xué)生就已經(jīng)熟練掌握了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，倘若在課堂教學(xué)中直接呈現(xiàn)橢圓的各種幾何性質(zhì)，由于對(duì)數(shù)形結(jié)合思想不夠熟練，相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生會(huì)難以理解離心率等知識(shí)的本質(zhì). 雖然高中學(xué)生已經(jīng)具備了一定的分析問(wèn)題的能力，但仍然存在著分析不夠系統(tǒng)和全面的情況.

3. 目標(biāo)和目標(biāo)解析

基于以上分析，結(jié)合教學(xué)三維目標(biāo)，橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)可以設(shè)計(jì)如下教學(xué)目標(biāo)：

（1）熟悉并掌握橢圓的范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及離心率.

（2）經(jīng)歷橢圓幾何性質(zhì)的探究過(guò)程，充分體會(huì)“應(yīng)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”以及數(shù)形結(jié)合思想.

（3）采用實(shí)驗(yàn)探究和合作交流的方式，激發(fā)學(xué)生對(duì)未知知識(shí)的求知欲[2]，增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)的能力.

4. 教學(xué)理念及策略分析

為了突出學(xué)生的主體地位，可以采用自主探究和交流討論相結(jié)合的方式，深刻了解已知參數(shù)求曲線方程和已知曲線方程求參數(shù)等求解圓錐曲線與方程的最基本的兩種題型. 同時(shí)，教師還應(yīng)重視學(xué)生的操作與活動(dòng)，最大限度地給予學(xué)生積極參與課堂實(shí)踐的空間和時(shí)間，可以利用GeoGebra軟件探究影響橢圓“扁平”程度的參數(shù). 此外，教師還可以讓學(xué)生應(yīng)用GeoGebra軟件闡述自己的觀點(diǎn)，或者講解自己對(duì)GeoGebra軟件的認(rèn)識(shí)，或者利用GeoGebra軟件驗(yàn)證結(jié)果的真實(shí)性，有效促使學(xué)生在提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)，學(xué)習(xí)到一些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.

5. 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（1）溫故知新.

師：出示上節(jié)課學(xué)習(xí)的圖形，請(qǐng)學(xué)生回顧橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，然后以課本圖為例，深入闡述橢圓的定義.

師：應(yīng)用GeoGebra軟件將橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)拖到同一處，要求學(xué)生觀看圖像的變化情況.

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)橢圓簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的研究是在學(xué)習(xí)了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖像后開(kāi)展的，讓學(xué)生復(fù)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及圖像，有助于新知識(shí)的學(xué)習(xí);并且利用GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，能很好地體現(xiàn)橢圓與圓之間的聯(lián)系，有助于體現(xiàn)整體思想.

（2）合作探究.

問(wèn)題1：橢圓的大小由什么確定？

師：利用GeoGebra軟件隨機(jī)呈現(xiàn)一個(gè)橢圓，如圖1所示，并在圖中描述出相應(yīng)橢圓的特征三角形.

生：觀察橢圓的圖像，并討論得出橢圓的范圍，即橢圓總是位于直線x=±a，y=±b所形成的矩形范圍之內(nèi).

師：上述橢圓范圍的確定是通過(guò)觀察圖像獲得的，能否進(jìn)行證明？

設(shè)計(jì)意圖：相比代數(shù)方法，在圖像上進(jìn)行觀察比較直觀，更能滿(mǎn)足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，然后應(yīng)用代數(shù)方法驗(yàn)證結(jié)論，要求學(xué)生對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行變形，不僅能加深學(xué)生對(duì)橢圓范圍的理解，而且能增強(qiáng)學(xué)生的參與意識(shí).

問(wèn)題2：橢圓是否是對(duì)稱(chēng)圖形？

師：通過(guò)橢圓圖像的觀察，能夠感受到橢圓是對(duì)稱(chēng)圖形，能否應(yīng)用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證？

生：應(yīng)用-y代替y，-x代替x，原有的橢圓方程并沒(méi)有發(fā)生改變，即橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

師：利用GeoGebra軟件演示橢圓繞著x軸、y軸、原點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，要求學(xué)生仔細(xì)觀察，并說(shuō)明橢圓的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心等概念.

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生應(yīng)用已學(xué)知識(shí)說(shuō)明橢圓的對(duì)稱(chēng)性后，將抽象的知識(shí)通過(guò)GeoGebra軟件進(jìn)行動(dòng)態(tài)展示，不僅能夠讓學(xué)生深度理解橢圓的對(duì)稱(chēng)性，也在無(wú)形中滲透了數(shù)形結(jié)合思想.

問(wèn)題3：橢圓有哪些特殊點(diǎn)？

師：曲線上的一些特殊點(diǎn)可以準(zhǔn)確確定曲線的位置，那么橢圓上可能有哪些特殊點(diǎn)？

生：在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程里，不妨設(shè)y=0，則x=±a，這就意味著（-a，0），（a，0）是橢圓在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn);同理，可得（0，-b），（0，b）是橢圓在y軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，如圖2所示.

師：除了頂點(diǎn)外，橢圓的焦點(diǎn)也是橢圓的特殊點(diǎn)，即從橢圓某一焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，光線能夠經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：橢圓的頂點(diǎn)，學(xué)生容易理解，教師沒(méi)必要在頂點(diǎn)的講解上浪費(fèi)過(guò)多的時(shí)間. 同時(shí)，橢圓的光學(xué)性質(zhì)僅在相關(guān)閱讀材料中有所提及，因此教師只要讓學(xué)生明白其重要性即可，并鼓勵(lì)有興趣的學(xué)生課后進(jìn)行探究.

問(wèn)題4：橢圓的“扁平”程度與哪些因素有關(guān)？

師：畫(huà)出幾個(gè)長(zhǎng)軸相同但焦點(diǎn)不同和幾個(gè)焦點(diǎn)相同但長(zhǎng)軸不同的橢圓.

生：分組開(kāi)展探究，并進(jìn)行總結(jié)，如圖3、圖4所示，即a不變，c越小，則橢圓越圓;c不變，a越大，則橢圓越圓.

師：呈現(xiàn)離心率的概念，引導(dǎo)學(xué)生得出：當(dāng)e越接近1時(shí)，則橢圓越扁;反之，當(dāng)e越接近0時(shí)，則橢圓越圓. 并以或能否刻畫(huà)橢圓的“扁平”程度為主題，要求學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行探討.

設(shè)計(jì)意圖：離心率是橢圓的一個(gè)重要概念，如果單純依靠教師的講解，則無(wú)法達(dá)到深度理解的效果. 因此，教師應(yīng)設(shè)計(jì)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，要求學(xué)生充分發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性進(jìn)行探究和總結(jié).

（3）理解提升.

例1 已知9x2+25y2=225，試求該橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)的坐標(biāo)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率，并應(yīng)用描點(diǎn)法畫(huà)出它的圖像.

例2 試求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

①經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-6，0）和Q（0，8）;

②已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)在x軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12，離心率等于.

例3 試比較下列每組橢圓的“扁平”程度.

①x2+9y2=36與+=1;

②9x2+y2=36與+=1.

設(shè)計(jì)意圖：例1的設(shè)計(jì)是為了學(xué)生能更好地掌握橢圓的范圍、對(duì)稱(chēng)性、離心率等知識(shí)，并通過(guò)描點(diǎn)法系統(tǒng)理解橢圓的性質(zhì);例2是已知參數(shù)求解橢圓方程，這是需要學(xué)生重點(diǎn)掌握的題型;例3的設(shè)計(jì)是為了加深學(xué)生對(duì)離心率刻畫(huà)橢圓“扁平”程度的理解.

[?] 教學(xué)反思

以橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)為例的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)是基于教學(xué)問(wèn)題分析到位、對(duì)教材充分解讀基礎(chǔ)上進(jìn)行的，不僅融入了信息技術(shù)輔助教學(xué)，使用了GeoGebra動(dòng)態(tài)幾何軟件，而且也突出了以“解決問(wèn)題”為中心的思想，并且通過(guò)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，有效把握了圓錐曲線與方程相關(guān)知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)，避免了知識(shí)的碎片化和教學(xué)的局部化，使得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)融入課堂落到實(shí)處[3].

同時(shí)，在呈現(xiàn)抽象的離心率概念時(shí)，教師應(yīng)注重實(shí)驗(yàn)探究的自然性和多樣性，為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，并且積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)于如何領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法起著定向性和方法性的作用，從而轉(zhuǎn)變學(xué)生傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式，發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]? 陳小波. 高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)整體設(shè)計(jì)的區(qū)域研究與實(shí)踐——以人教A版《數(shù)學(xué)》（必修第一冊(cè)）“三角函數(shù)”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（04）：10-15+24.

[2]? 高影，蒲錦泉.基于單元整體的教學(xué)設(shè)計(jì)——以“兩角差的余弦公式”為例[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（04）：34-36.

[3]? 蔣丹丹. 貫通數(shù)形內(nèi)容，轉(zhuǎn)化構(gòu)建破解——以圓錐曲線問(wèn)題中的幾何關(guān)系剖析為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（24）：79-80+88.