鐘萍

[摘? 要] 在高三專題復(fù)習(xí)課“平面及其基本性質(zhì)”中融入平面概念形成的三個歷史階段，即通過古希臘哲學(xué)家巴門尼德、古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得、德國數(shù)學(xué)家克雷爾、法國數(shù)學(xué)家傅里葉、匈牙利數(shù)學(xué)家波爾約等對平面的定義，引導(dǎo)學(xué)生概述出平面的特征;然后基于數(shù)學(xué)家希爾伯特的公理化體系，剖析三個公理及其推論;最后在主動探究點(diǎn)、線、面位置關(guān)系中，充分鍛煉空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

[關(guān)鍵詞] HPM;平面;專題復(fù)習(xí)

[?] 教學(xué)背景

直接將空間中的基本元素——點(diǎn)、直線、平面之一介紹給學(xué)生，是高中數(shù)學(xué)最常見的教學(xué)方式之一. 其理論支撐就是19世紀(jì)數(shù)學(xué)家希爾伯特的幾何公理化系統(tǒng)，他沒有給出相應(yīng)的概念，而是直接通過公理化系統(tǒng)定義了點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，人們廣泛接受并遵循此公理化系統(tǒng). 但教學(xué)中簡單帶過平面概念會帶來一些問題：學(xué)生在多大程度上理解這些基本概念？學(xué)生能理解這些基本概念背后的數(shù)學(xué)思想嗎？再者，公理化系統(tǒng)是一門學(xué)科發(fā)展到一定程度經(jīng)人們系統(tǒng)化整理后的結(jié)果和形式化的產(chǎn)物，正如數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（Hans Freudenthal，1905—1990）所說，“沒有一種數(shù)學(xué)思想，以它被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子發(fā)表出來，一個問題被解決后，相應(yīng)地也發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果火熱的思考變成了冰冷的美麗.”將平面概念直接告知學(xué)生，就會剝奪學(xué)生展開火熱思考的機(jī)會，而只能感受到數(shù)學(xué)冰冷的美麗.

有關(guān)實(shí)證研究表明，處于現(xiàn)代教育和不同文化背景下的我國高中學(xué)生對于平面的許多認(rèn)識具有歷史相似性，正如弗賴登塔爾的論斷：“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過程，盡管方式改變了.”因此數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在認(rèn)識平面過程中所存在的不足以及產(chǎn)生的各種困惑，學(xué)生也會出現(xiàn)類似的現(xiàn)象. 基于此，筆者遵循歷史相似原理進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與施教.

[?] 平面概念的歷史及其運(yùn)用

1. 平面概念的歷史發(fā)展

歷史上數(shù)學(xué)家對平面概念的認(rèn)識經(jīng)歷了漫長的過程，其發(fā)展大致可以分為三個階段.

（1）直觀描述性定義（古希臘時期）.

公元前5世紀(jì)的古希臘哲學(xué)家巴門尼德（Parmenides，公元前5世紀(jì)中葉左右）刻畫過平面，他認(rèn)為：“平面就是一個二維對象，是直的表面.”到了公元前3世紀(jì)的歐幾里得（Euclid，約公元前330年—公元前275年），則將平面定義為“與其上的直線一樣平放著的面”. 公元1世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron，公元62年左右）給出了平面的新定義：“平面是具有以下性質(zhì)的面，它向四周無限延伸，平面上的直線都與之相合，且若一條直線上有兩點(diǎn)與之相合，則整條直線在任意位置與之相合.”顯然，古希臘時期的數(shù)學(xué)家都注意到了平面“直”的特征，然后用“直”去刻畫平面.

（2）動態(tài)構(gòu)造性定義（17世紀(jì)—19世紀(jì)初）.

17世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（G.W.Leibniz，1646—1716）對平面給出了一個定義：“平面是具有下列性質(zhì)的面……通過其上任意兩點(diǎn)的直線完全包含在該面上.”實(shí)際上，比較一下就發(fā)現(xiàn)這個定義與海倫給出的定義是完全等價的. 法國數(shù)學(xué)家傅里葉（B.J.Fourier，1768—1830）也給出了平面的構(gòu)造性定義：“平面由經(jīng)過直線上一點(diǎn)且與直線垂直的所有直線構(gòu)成的.”但由于“垂直”這個概念先于平面給出，使人們有所懷疑.

在19世紀(jì)初，又有許多數(shù)學(xué)家對平面概念給出了自己的定義. 比如德國數(shù)學(xué)家克雷爾（A. L. Crelle，1780—1855）是這樣定義的：“平面是包含所有通過空間中一個定點(diǎn)并與另一條直線垂直的直線的面.”而高斯（C.F.Gauss，1777—1855）把平面定義為：“過一個定點(diǎn)，且垂直于一條直線的所有直線構(gòu)成的面.”匈牙利數(shù)學(xué)家波爾約（W. Bolyai，1775—1856）把平面定義為：“一條直線繞著另一條與之垂直的直線旋轉(zhuǎn)而成的面.”

上述數(shù)學(xué)家都是從構(gòu)造角度給平面下的定義，可分成兩大類：一類如萊布尼茨那樣利用對稱來構(gòu)造平面，另一類如傅里葉那樣利用互相垂直或平移或旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造平面.

（3）公理化體系（19世紀(jì)中期—20世紀(jì)）.

19世紀(jì)中期后，在前面數(shù)學(xué)家關(guān)于平面的構(gòu)造性定義的基礎(chǔ)上開始了“包含”形式的定義. 如意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（G. Peano，1858—1932）用不同尋常的方式把平面定義為：“給出三個不共線的三點(diǎn)，我們稱之為平面ABC，這一平面包含所有連接點(diǎn)A和直線BC上的點(diǎn)，點(diǎn)B和直線AC上的點(diǎn)，點(diǎn)C和直線AB上的點(diǎn).”而德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（D. Hilbert，1862—1943）受到數(shù)學(xué)抽象化和公理化趨勢的影響，對平面沒有進(jìn)行定義，而是把它作為一個原始概念，就如同點(diǎn)和直線. 于是公理就這般扮演了定義的角色. 公理可決定原始概念之間的聯(lián)系，概念的意義只有在公理中才能得到體現(xiàn)，這樣任何衍生的概念都可由這些原始概念得到. 希爾伯特對平面概念用公理化思想進(jìn)行處理后，不僅被大部分?jǐn)?shù)學(xué)家接受，同時也被數(shù)學(xué)教育界接受，從而在教材中開始出現(xiàn)“平面”作為原始概念不加定義. 比如西蒙·紐科姆（Simon Newcomb，1835—1909）在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中就不再定義平面，而是用“像靜止的水面、光滑的地板”等描述性的語言來表示，然后直接給出三個公理.

由此可見，歷史上對平面的認(rèn)知也是從低到高逐漸發(fā)展起來的，期間經(jīng)歷了許多認(rèn)識上的缺陷后才慢慢完善.

2. 平面史料的運(yùn)用

在復(fù)習(xí)“平面及其基本性質(zhì)”之前進(jìn)行問卷調(diào)查，在分析學(xué)生對平面認(rèn)識現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，從他們的認(rèn)識出發(fā)，基于歷史相似性原理進(jìn)行重構(gòu)式教學(xué). 結(jié)合平面概念形成的三個歷史階段，即融入古希臘哲學(xué)家巴門尼德、古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得、德國數(shù)學(xué)家克雷爾、法國數(shù)學(xué)家傅里葉、匈牙利數(shù)學(xué)家波爾約等對平面的定義，引導(dǎo)學(xué)生水到渠成地概述出平面的特征;之后基于希爾伯特的公理化體系，剖析三個公理及其推論，并在理解的基礎(chǔ)上討論點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.

[?] 教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

1. 教學(xué)分析

本專題是高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課，從課前的問卷調(diào)查情況進(jìn)行分析，學(xué)生雖然在高二已經(jīng)學(xué)習(xí)了立體幾何，但還有許多疑問：平面是如何從現(xiàn)實(shí)生活中逐漸抽象而來的？為什么可以把平面畫成三角形、平行四邊形或者其他平面幾何圖形？為什么可以將三個公理及其推論看成是平面的基本性質(zhì)？由于三個公理及其推論的抽象性，學(xué)生將其完全融入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要一定的訓(xùn)練. 首先，要實(shí)現(xiàn)文字語言、符號語言和圖形語言的順利轉(zhuǎn)換;其次，要能判斷空間中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系并能用洗練的語言加以描述;再次，對于點(diǎn)共線、線共點(diǎn)或點(diǎn)線共面問題要能想象其幾何關(guān)系，并能邏輯嚴(yán)密地進(jìn)行推理. 這些都需要學(xué)生對三個公理及其推論有深刻的理解，對空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力等有較高的要求. 基于以上分析，為了充分發(fā)揮高三專題復(fù)習(xí)課的作用，筆者明確了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重難點(diǎn).

教學(xué)目標(biāo)：（1）鞏固和理解平面的概念，會用文字語言、符號語言和圖形語言表示平面及點(diǎn)、直線和平面的關(guān)系;

（2）經(jīng)歷運(yùn)用平面的基本性質(zhì)判斷和推理空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的過程，理解并能運(yùn)用平面及其基本性質(zhì)進(jìn)行邏輯推理;

（3）經(jīng)歷直觀感知、心理運(yùn)算等過程，逐步歸納出平面的基本性質(zhì)并學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維，提高自身認(rèn)知水平，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)——三個公理及其推論.

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用平面的基本性質(zhì)進(jìn)行推理和論證.

2. 教學(xué)過程

（1）探尋發(fā)生過程，促進(jìn)概念理解.

師：在幾何中最基本的概念非平面莫屬了，提到平面，同學(xué)們在生活中會聯(lián)想到哪些事物或?qū)ο螅颗c我們高二學(xué)習(xí)的空間立體幾何中的平面有何不同？

生1：比如書面、平坦的桌面、玻璃面等.

師：嗯，很形象，再比如一碧萬頃的海平面，想象一下它的“平”和無限延展的氣勢，令人震撼！這與古希臘哲學(xué)家巴門尼德對平面的認(rèn)識非常類似，巴門尼德就將平面定義為一個二維對象：它是“直”的表面.

生2：數(shù)學(xué)上的平面和我們生活中的平面有所不同，它經(jīng)過了數(shù)學(xué)抽象.

師：如何抽象？課前我們發(fā)放了問卷，關(guān)于什么是平面以及怎么描述平面的概念做了書面解答. 同學(xué)們對平面的描述用“豐富多彩”來形容都不為過（大家“哈哈”大笑）. 能用合適的語言來描述什么是平面嗎？

生3：平面是平的，可以無限延展且無厚薄的幾何圖形.

師：描述得不錯，但總有一種模糊的感覺，且不確定平面是否一定存在啊. 怎么得到平面的“平”或者體現(xiàn)這個“平”？（這個問題一追究起來，教室一下陷入了沉默，頗為虐心?。?/p>

師：問卷中倒是有同學(xué)說“用一條直線將另外一條直線垂直撐起來，然后旋轉(zhuǎn)一周，就能體現(xiàn)所得平面的‘平’和‘無限延展’”. 這個想法與數(shù)學(xué)家高斯以及波爾約不謀而合，這些同學(xué)都是了不起的數(shù)學(xué)家啊！但說得再明白一點(diǎn)，這其實(shí)是構(gòu)造平面的一種方式，這個想法的可貴之處是借助于直線的旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造平面. 那么同學(xué)們可否嘗試借助于直線的特征來描述平面的特征呢？

生4：可以借助于我們熟悉的直線來類比敘述，直線是“直得不能再直，長得不能再長，細(xì)得不能再細(xì)”的幾何圖形.與此相應(yīng)，平面是“平得不能再平，寬得不能再寬，薄得不能再薄”的幾何圖形.

師：這個類比和概括非常了不起！歷史上也有許多數(shù)學(xué)家是這樣構(gòu)造平面的，但顯然還是缺乏邏輯上的嚴(yán)密性. 經(jīng)過不斷研究，19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家希爾伯特認(rèn)為平面同集合一樣是一個原始概念，是一個基本元素，無法給出定義，可以用三個基本性質(zhì)來刻畫它，同時又給出了三個公理及三個推論進(jìn)行了描述，實(shí)現(xiàn)了人類對平面比較全面且科學(xué)的認(rèn)識.

師：請同學(xué)們回憶并敘述平面基本性質(zhì)的三個公理. （若學(xué)生用自然語言敘述不規(guī)范，教師及時糾正.）

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生的日常生活和切身感受出發(fā)，結(jié)合他們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，感受平面的概念，探尋和體驗(yàn)平面概念來之不易的發(fā)展過程，體會數(shù)學(xué)家們篤學(xué)踐行、科學(xué)求真的務(wù)實(shí)精神.

（2）激發(fā)學(xué)生討論，活躍課堂氣氛.

師：德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在其著作《幾何基礎(chǔ)》中將平面作為不加定義的概念，用三個公理描述了平面的基本性質(zhì). 請同學(xué)們思考：怎么用符號語言和圖形語言表達(dá)這三個公理？其推理模式是什么？有什么作用？公理3可以用來確定一個平面，除此以外，我們還可以得到它的三個推論，大家能用剛才的方法表述三個推論嗎？（課堂上充分調(diào)動學(xué)生的自主性，展開討論.）

師：為了更透徹理解平面的基本性質(zhì)并能探討空間中的位置關(guān)系，請同學(xué)們展開想象的翅膀，討論以下問題：

問題1：兩個平面相交可以把空間分成4個部分，那么三個平面相交，最多可以把空間分成幾個部分？

生5：三個平面兩兩相交，當(dāng)三條交線相交于同一個點(diǎn)時，可把空間分成8個部分.

師：非常好！請同學(xué)們將這個空間圖形畫出來，并一起交流.

問題2：將下列符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言：①A∈α，B∈β，A∈l，B∈l;②a?α，b?β，a∥c，b∩c=P，α∩β=c.

師：讀題、想象與畫圖，一般來說我們往往要先考慮平面，再考慮點(diǎn)和直線.

生6：①圖有兩種情況：α與β平行（如圖1所示），α與β相交（如圖2所示）.

生7：②如圖3所示.

問題3：若α∩β=l，A，B∈α，C∈β，試畫出平面ABC與平面α，β的交線.

生8：平面ABC與平面α的交線即直線AB，解決這道題的關(guān)鍵就是畫出平面ABC與平面β的交線. 平面ABC與平面β的相交情況取決于直線AB與平面α，β的交線l的位置關(guān)系：①當(dāng)AB∥l時（如圖4所示），平面ABC與平面β的交線即過點(diǎn)C且與直線l平行的直線;②當(dāng)AB∩l=P時（圖5所示），平面ABC與平面β的交線即直線CP.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用三種語言——文字語言、符號語言、圖形語言表達(dá)平面及其基本性質(zhì)，增進(jìn)課堂互動，激發(fā)學(xué)生大膽思考并積極討論問題1、問題2、問題3，展開空間想象的翅膀;為讓學(xué)生切身感受三個公理的重要作用，但由于三個公理及其推論學(xué)生理解起來比較抽象，因此設(shè)計(jì)具體的問題2和問題3，一是鼓勵學(xué)生用形象的思維思考三維空間中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，二是實(shí)現(xiàn)三種語言的互相轉(zhuǎn)換.

（3）經(jīng)歷數(shù)學(xué)證明，發(fā)展理性思維.

師：我們能否運(yùn)用三個公理及其推論分析點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系？能否在大中見小，比如平面中的點(diǎn)與線？又以小見大、以少見多，比如兩點(diǎn)確定一條直線、三點(diǎn)確定一個平面？能否在空間與平面之間游刃有余地“降維”“升維”分析問題？能否用洗練的符號語言規(guī)范敘述？為了讓同學(xué)們能得到充分的鍛煉，請大家認(rèn)真分析以下問題.

問題4：如圖6所示，△ABC在平面α外，它的三條邊所在的直線AB，BC，AC分別交平面α于點(diǎn)P，Q，R. 求證：點(diǎn)P，Q，R共線.

師：怎么分析三點(diǎn)共線問題？

生9：可以先由其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后說明第三點(diǎn)在這條直線上;或者通過其他條件確定一條直線，再說明這三點(diǎn)都在這條直線上.

生10：設(shè)平面ABC∩α=l，由于P∈AB∩α，所以P∈l，即點(diǎn)P在直線l上.同理可證點(diǎn)Q，R在直線l上.故P，Q，R共線，共線于直線l.

問題5：正方體ABCD-ABCD中，對角線AC與平面BDC相交于點(diǎn)O，AC，BD相交于點(diǎn)M. 求證：點(diǎn)C，O，M共線.

師：這是在正方體中討論點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，解決的關(guān)鍵在于要在三維空間和二維平面內(nèi)的點(diǎn)、線關(guān)系之間自如切換.

生11：如圖7所示，AA∥CC?平面AACC，AC∩BD=M?平面

BCD∩

平面

AA

CC=M

C

直線

AC∩平面

BCD=O?O在平面AACC與平面BCD的交線MC上，得證.

設(shè)計(jì)意圖：在希爾伯特的幾何公理體系下，學(xué)生應(yīng)用三個公理及其推論證明了多點(diǎn)共線（面）、多線共面或多線共點(diǎn)的問題，學(xué)生歷經(jīng)了抽象的“數(shù)學(xué)證明”，進(jìn)行了理性的“演繹推理”，有了嚴(yán)謹(jǐn)邏輯推理的意識，養(yǎng)成了會“說理”的良好習(xí)慣.

（4）鍛煉邏輯思維，鑄就理性精神.

師：經(jīng)過前面的畫圖練習(xí)，同學(xué)們充分鍛煉了空間想象能力，實(shí)現(xiàn)了自然語言、幾何語言與圖形語言的轉(zhuǎn)換，為促進(jìn)邏輯思維能力的提升，請繼續(xù)分析以下問題.

問題6：在棱長為4的正方體ABCD-ABCD中，M，N分別是AB，CC的中點(diǎn)，設(shè)過D，M，N三點(diǎn)的平面與BC相交于點(diǎn)P，求PM+PN的值.

生12：如圖8所示，延長DN，DC相交于點(diǎn)E，連接ME交BC于點(diǎn)P，N為CC的中點(diǎn)，從而EC=CD. 又M為AB的中點(diǎn)，所以EC=2MB?CP∶BP=2∶1，所以CP=，BP=，所以PM+PN=+=.

問題7：在棱長為10的正方體ABCD-ABCD中，P為左側(cè)面ADDA上一點(diǎn)，已知點(diǎn)P到AD的距離為3，P到AA的距離為2，則過點(diǎn)P且與AC平行的直線相交的表面是（? ）

A. AABB B. BBCC

C. CCDD D. ABCD

師：在正方體ABCD-ABCD中找到與平面APC相交的表面的關(guān)鍵是什么？

生13：關(guān)鍵是根據(jù)公理2找到平面APC與正方體表面的交線. 如圖9所示，由點(diǎn)P到AD的距離為3，P到AA的距離為2，可得P在△AAD內(nèi)，過P作PE∥AD，PF∥AA，且PE∩AA=E，PF∩AD=F. 在平面ADDA中，連接AP并延長交AD于Q，連接CQ，則EP∥AQ，則===?AQ=<10. 故點(diǎn)Q在線段AD上，所以線段QC在四邊形ABCD內(nèi). 過P作PR∥AC交QC于R，顯然點(diǎn)R在四邊形ABCD內(nèi)，即過點(diǎn)P且與AC平行的直線相交的表面是ABCD.

設(shè)計(jì)意圖：以熟悉的正方體為載體，以經(jīng)驗(yàn)直觀為基礎(chǔ)，以三大公理為依據(jù)，鍛煉學(xué)生在空間中運(yùn)用平面的基本性質(zhì)解決實(shí)際問題的能力，提升學(xué)生空間想象能力與邏輯思維能力.

[?] 教學(xué)反思

本專題選擇了高三復(fù)習(xí)階段易被一筆帶過的概念“平面”，該案例的數(shù)學(xué)史價值主要體現(xiàn)在：

（1）重構(gòu)式教學(xué)融入了平面概念發(fā)展的三個歷史階段，在此基礎(chǔ)上水到渠成地抽象出平面的特征，又進(jìn)一步提煉出希爾伯特的三大公理以及推論的體系，改變以往學(xué)生“被告知”的生硬的概念生成過程，以史為鑒、教法自然，歷史與邏輯緊密聯(lián)系，絲絲入扣，體現(xiàn)了“知識之諧”.

（2）基于學(xué)生對直線的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生類比探究，發(fā)揮學(xué)生在課堂活動中的主人翁地位，主動思考平面的基本性質(zhì)，并運(yùn)用其性質(zhì)解決相關(guān)的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題，充分鍛煉空間想象能力和邏輯推理能力，體現(xiàn)了“探究之樂”.

（3）學(xué)生通過自身對平面的認(rèn)識，對比歷史上數(shù)學(xué)家的認(rèn)識，同時利用平面基本性質(zhì)解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題——總是以一種有趣且有望激發(fā)思考的方式呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，喚醒學(xué)生的心靈，啟迪其智慧. 本專題教學(xué)既創(chuàng)造了機(jī)會讓學(xué)生體驗(yàn)思考和研究的快樂，又培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心，體現(xiàn)了“德育之效”.