張飛娟

【摘要】作為一種較為常見的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合借由圖片、數(shù)字之間的相互配合來完成數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生在思考的同時重新認(rèn)識數(shù)學(xué)知識.高中數(shù)學(xué)以綜合化、抽象化為特點，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力提出了更高的要求.教師要積極挖掘數(shù)形結(jié)合的教育功能，鍛煉學(xué)生的思維能力與數(shù)學(xué)技能，配合數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)教學(xué)模式.本文分析了數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)優(yōu)勢，探討在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何借助數(shù)形結(jié)合提高學(xué)生的解題能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;解題能力;訓(xùn)練策略

一、引言

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師對于數(shù)形結(jié)合的探究始終不曾停止.一方面，數(shù)形結(jié)合是一種直觀的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，其能夠發(fā)揮出啟發(fā)學(xué)生思維、鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的作用;另一方面，數(shù)形結(jié)合以直觀化、綜合化為特點，在數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生能夠借由對圖的剖析來重新認(rèn)識數(shù)學(xué)知識，獲取數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗.教師為提高學(xué)生的解題能力，必須嘗試設(shè)計綜合性更強的教學(xué)板塊，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度歸納數(shù)學(xué)問題，將抽象化問題轉(zhuǎn)化為直觀化圖形，總結(jié)解題思路，這樣才能利用圖的輔助去解決數(shù)中存在的難題.

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的解題優(yōu)勢

（一）導(dǎo)向教學(xué)，形成解題思路

高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動以抽象、綜合為基本特點，在嘗試提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力的過程中，數(shù)學(xué)問題對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、知識儲備提出了較高的要求：學(xué)生不僅要掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，更要學(xué)會獨立總結(jié)數(shù)學(xué)解題思路，借此來創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)方法.縱觀高中數(shù)學(xué)解題活動，部分學(xué)生已經(jīng)掌握了基本的數(shù)學(xué)知識，但思路上的混亂問題并沒有根除;學(xué)生只會按照特定的學(xué)習(xí)順序去推導(dǎo)數(shù)學(xué)問題，并不重視數(shù)學(xué)知識在課堂上的總結(jié)與應(yīng)用.對于一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)板塊，學(xué)生難以獲取有效的解題線索、總結(jié)出正確的解題經(jīng)驗.在解題過程中，依靠“生搬硬套”計算解題、依靠猜想解題的學(xué)生不在少數(shù).運用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題教學(xué)，可以體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的導(dǎo)向性特點：教師能夠利用數(shù)學(xué)圖形直觀展示數(shù)學(xué)知識，并幫助學(xué)生梳理解題思路.部分較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題以直觀圖形的形式出現(xiàn)在課堂上，將求解問題轉(zhuǎn)化為賦值問題，借由對圖形上相關(guān)數(shù)值的計算來獲取解題方法.運用數(shù)形結(jié)合實施教學(xué)，使學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的抽象認(rèn)識轉(zhuǎn)化為直觀的數(shù)學(xué)對象，從而提高其學(xué)習(xí)效率.

（二）簡化教學(xué)，省略解題步驟

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，一些問題的解題步驟較為煩瑣：除了基本的信息展示環(huán)節(jié)之外，題目中還包含著多個迷惑性問題，這在無形中增大了解題難度.想要鍛煉學(xué)生的解題能力，提高解題效率，必須簡化解題教學(xué)的基本過程，讓學(xué)生借由直觀的學(xué)習(xí)直接回答“學(xué)什么”“怎么學(xué)”“求解哪些因素”等關(guān)鍵性問題.但大部分?jǐn)?shù)學(xué)解題活動都是在“穩(wěn)中求勝”的情況下開展的，教師雖然要求學(xué)生進(jìn)行解題，但不會為學(xué)生講解解題的基本思路[1].借助數(shù)形結(jié)合實施解題教學(xué)活動，可以將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為圖形，借由對圖形中直觀問題的分析獲取解題方法.對于問題中所涉及的復(fù)雜信息，可以在解題的過程中將其逐一記錄在圖表當(dāng)中，回應(yīng)數(shù)學(xué)問題所提出的學(xué)習(xí)要求.簡化解題過程，重新認(rèn)識數(shù)學(xué)知識，這是啟發(fā)學(xué)生思考的有效方法.在簡化教學(xué)活動之后，數(shù)學(xué)解題教學(xué)以“觀察+思考”為主要的教學(xué)模式，進(jìn)而為學(xué)生提供解答數(shù)學(xué)難題、探究數(shù)學(xué)知識的新機會.

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用現(xiàn)狀

（一）數(shù)形結(jié)合不受重視，教學(xué)方法落后

越來越多的教師開始強調(diào)數(shù)形結(jié)合的重要功能，但從教學(xué)活動的具體流程來看，數(shù)形結(jié)合并沒有發(fā)揮出預(yù)期中的價值.對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動來說，數(shù)形結(jié)合不過是一種可有可無的教學(xué)手段：第一，大部分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動都是以認(rèn)知、總結(jié)為核心，在解題過程中，教師以“幫助學(xué)生快速計算并得出正確答案”為目標(biāo)，并不會注重數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積累，導(dǎo)致學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識愈發(fā)片面.數(shù)形結(jié)合不受重視，學(xué)生的能力與素質(zhì)自然難以得到有效提升.第二，數(shù)形結(jié)合下的解題能力訓(xùn)練包含著解題、作圖兩方面的內(nèi)容，對教學(xué)時間、教學(xué)資源提出了一定的要求.學(xué)生難以正確認(rèn)識并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，導(dǎo)致數(shù)形結(jié)合下的教學(xué)遲遲得不到落實.第三，一筆帶過式教學(xué)，這類教學(xué)在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中較為常見：雖然提及了數(shù)形結(jié)合的有關(guān)概念，但教師僅僅負(fù)責(zé)作圖，解題思路、解題方法由學(xué)生獨立進(jìn)行整理，學(xué)生很難正確獲取數(shù)學(xué)知識，導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率難以提升.數(shù)形結(jié)合雖然進(jìn)入到高中數(shù)學(xué)課堂中，但其并沒有在數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)發(fā)揮作用，導(dǎo)致學(xué)生難以借助數(shù)形結(jié)合解答數(shù)學(xué)課程中的難點問題.

（二）教師完全主導(dǎo)課堂，學(xué)生難以應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合可以被視為一種“思維鍛煉工具”，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，其承擔(dān)著鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)技能、幫助學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)知識的重要任務(wù).教師要積極開發(fā)數(shù)形結(jié)合的教學(xué)優(yōu)勢，借由數(shù)形結(jié)合理念創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)思路.但大部分教師都是在“理解數(shù)學(xué)”的前提下開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動的.在運用數(shù)形結(jié)合實施授課時，課堂上的教學(xué)完全由教師決定，學(xué)生只能配合教師的思路進(jìn)行學(xué)習(xí)[2].隨著教學(xué)活動的逐漸深入，學(xué)生開始以“老師的觀點”去解答數(shù)學(xué)問題.這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)模式下，學(xué)生完全成為教師的附屬品，學(xué)生難以在課堂上自由發(fā)揮.數(shù)形結(jié)合應(yīng)該成為一種工具，允許學(xué)生借由數(shù)形結(jié)合去解答難題.教師要改變數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用方式，鼓勵學(xué)生自由應(yīng)用、總結(jié)數(shù)學(xué)方法，這樣才能提高教學(xué)效率.

四、借由數(shù)形結(jié)合提高學(xué)生解題能力的有效策略

（一）數(shù)形結(jié)合展出數(shù)學(xué)問題，掌握關(guān)鍵信息

數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動中表現(xiàn)出了全新的價值，其不僅能將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為圖形引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解答，更能鍛煉學(xué)生的基礎(chǔ)技能，對學(xué)生的解題能力、理性思維、讀題能力進(jìn)行訓(xùn)練，創(chuàng)新數(shù)學(xué)解題方法[3].配合數(shù)形結(jié)合理念提高學(xué)生的解題能力，教師要嘗試設(shè)計針對性更強的數(shù)學(xué)教學(xué)板塊：在幫助學(xué)生解題的同時，鼓勵學(xué)生依靠“作圖”的方式來整理關(guān)鍵的數(shù)學(xué)信息，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.

教師可嘗試?yán)脭?shù)形結(jié)合對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行加工，在提問、解題的同時幫助學(xué)生剖析問題中的關(guān)鍵信息，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.以高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的極值問題為例，在數(shù)學(xué)問題中，極值只有一個，但由于函數(shù)中包含著多個未知量，學(xué)生很難確定數(shù)學(xué)解題思路.如下列問題：

現(xiàn)有函數(shù)f（x）=x2-16+x2-4x+1，求有關(guān)函數(shù)的最小值.

在傳統(tǒng)的解題思路下，學(xué)生會嘗試采取“根式求解”的方式進(jìn)行計算，分別計算函數(shù)中各組的最小值，但兩個根式的求解過程較為復(fù)雜，且x的取值不定，盲目追求最小值，函數(shù)中的數(shù)學(xué)關(guān)系未必成立.教師可利用數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生解題：將距離公式引入函數(shù)問題中，將f（x）=x2-16+x2-4x+1轉(zhuǎn)化為求解動點到A（x1，y1），B（x2，y2）之間的最小值，借由距離公式d=（x1-x2）2+（y1-y2）2進(jìn)行求解.在運用數(shù)形結(jié)合思想鍛煉學(xué)生的解題能力的過程中，教師要提出針對性更強的數(shù)學(xué)問題，在解題的同時幫助學(xué)生總結(jié)關(guān)鍵性信息，并借由數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，思考這些數(shù)學(xué)問題能夠轉(zhuǎn)化為哪些相關(guān)圖形，從而明確解題思路.解題、歸納、探究，多環(huán)節(jié)融合，這才是提高學(xué)生解題效率的最佳方法.

（二）數(shù)形結(jié)合解答數(shù)學(xué)難題，鍛煉數(shù)學(xué)思維

部分高中生已經(jīng)開始嘗試?yán)脭?shù)形結(jié)合思想來解決數(shù)學(xué)問題，但其對于數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識停留在畫草圖的層次上，忽視了數(shù)形結(jié)合思想下數(shù)學(xué)知識的綜合性特點.對于一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，依靠“假想”推導(dǎo)而來的數(shù)學(xué)圖形很難發(fā)揮出輔助解決問題的作用.針對數(shù)學(xué)教學(xué)的不同要求，教師在教學(xué)過程中必須強調(diào)圖形的準(zhǔn)確性與等價變換，改變數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用思路，創(chuàng)新高中數(shù)學(xué)解題教學(xué).

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，三角函數(shù)可稱為一大難點，教師在學(xué)生學(xué)習(xí)的同時，要嘗試設(shè)計針對性更強的數(shù)學(xué)教學(xué)板塊，配合既有的函數(shù)圖形知識、數(shù)形結(jié)合思想創(chuàng)新數(shù)學(xué)解題思路.以人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》必修第一冊教材“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”的教學(xué)為例，教師可向?qū)W生提出如下問題：

函數(shù)y=sin x與y=tan x，已知這兩個函數(shù)有實數(shù)根，求兩個函數(shù)圖像在區(qū)間[0，π]上的交點數(shù)量.

在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，教師要利用數(shù)形結(jié)合思想實施授課：第一，確定數(shù)學(xué)區(qū)間，在[0，π]內(nèi)進(jìn)行取值計算;第二，確定函數(shù)的具體關(guān)系，畫出函數(shù)y=sin x與y=tan x的具體取值范圍、函數(shù)圖像的特點，計算交點數(shù)量.教師要告訴學(xué)生：在作圖的過程中，必須考慮兩個函數(shù)在取值上的差別問題，避免出現(xiàn)錯誤理解題意、錯誤解題等.教師在運用數(shù)形結(jié)合思想實施授課時要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目內(nèi)容進(jìn)行作圖，教師配合學(xué)生所給出的圖像發(fā)起數(shù)學(xué)活動，指明學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在的不足問題，要求學(xué)生學(xué)會規(guī)范作圖，搜集關(guān)鍵信息，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

（三）要求學(xué)生獨立作圖，鍛煉理性思維

在運用數(shù)形結(jié)合思想實施教學(xué)時，教師不僅要強調(diào)數(shù)字與圖形之間的有機協(xié)調(diào)，更要重視學(xué)生技能與教學(xué)要求之間的有機互動，創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)方法.數(shù)形結(jié)合消除了數(shù)字與圖形之間的矛盾關(guān)系，但在解決課堂上的灌輸式教學(xué)弊端之前，學(xué)生也很難取得好的成績.因此，允許學(xué)生自由發(fā)揮，才能提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.

教師可嘗試選擇數(shù)學(xué)教學(xué)中的典型例題開展授課，借助數(shù)形結(jié)合思想實施教學(xué)，在講解數(shù)學(xué)知識的同時引導(dǎo)學(xué)生分析、思考數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生高效完成學(xué)習(xí)任務(wù).以人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》必修第一冊教材“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”的教學(xué)為例，要求學(xué)生獨立進(jìn)行作圖，問題如下：

已知方程2x2-（m+3）x+m2-1=0在（0，2）與（2，4）上有兩個不相等的實根，求解m的取值范圍.

學(xué)生將有關(guān)問題視為“方程求解”問題，并不會挖掘數(shù)學(xué)問題中的難題.但從問題的構(gòu)成上來看，解題要求更為復(fù)雜：第一，方程中包含著兩個未知數(shù)，已知的兩個根為實根，求解難度較大;第二，m的取值范圍不確定，其可能為有理數(shù)，也可能為實數(shù).當(dāng)要求學(xué)生嘗試解題時，教師不必提出過于復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，而是要利用數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：方程2x2-（m+3）x+m2-1=0可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=2x2-（m+3）x+m2-1，根據(jù)二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)、定義求解，從而得出f（0）>f（2），f（2）<f（4），f（4）>0這三個不同的不等式，進(jìn)而確定m的取值范圍.引導(dǎo)學(xué)生主動作圖，允許學(xué)生依靠自身的能力去認(rèn)識、理解數(shù)學(xué)知識，這才是提高數(shù)學(xué)解題效率的有效方法.

（四）數(shù)形結(jié)合帶動想象，豐富解題方法

部分教師已經(jīng)開始嘗試著將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)課堂中，但對于數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識局限于作圖、解題的膚淺層次，忽視了數(shù)形結(jié)合的思維鍛煉能力[4].在結(jié)合數(shù)形結(jié)合理念設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué)方案的過程中，教師要總是以學(xué)生理性思維技能的開發(fā)與訓(xùn)練為主，要求學(xué)生在“想象”的同時進(jìn)行解題.會假設(shè)、會探索，這樣的數(shù)形結(jié)合才能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

教師可嘗試借由數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行想象，選擇全新的數(shù)學(xué)解題方法開展授課，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效率.以人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》必修第二冊教材“圓的方程”的教學(xué)為例，解題過程要依靠學(xué)生的想象力、邏輯推理能力進(jìn)行，這樣才能幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗.如下列問題：

已知兩個實數(shù)x，y滿足x2-y2-6x-4y+12=0，求y[]x的最大值與最小值.

運用數(shù)形結(jié)合思想可將有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圖形素材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行想象.根據(jù)題干信息分析得知，點（x，y）滿足圓的方程的一般規(guī)則，y[]x屬于點與原點連線之間的斜率，當(dāng)（x，y）為動點時，y[]x的最大值、最小值分別為從原點向圓引出的兩條切線的斜率，如圖所示.教師在幫助學(xué)生完成作圖之后，借由邏輯思維引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)問題：根據(jù)直線與圓相切的關(guān)系求出k值，計算該問題中y[]x的最大值與最小值.結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想實施解題授課，教師要學(xué)習(xí)提出多元化問題：除了對高中生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行訓(xùn)練之外，更要引導(dǎo)學(xué)生自主探究，結(jié)合數(shù)學(xué)問題獨立總結(jié)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，回應(yīng)數(shù)學(xué)教學(xué)中所提出的復(fù)雜問題.教師要設(shè)計允許學(xué)生自由發(fā)揮的全新數(shù)學(xué)教學(xué)模式，鼓勵學(xué)生探究、思考，優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)流程.

（五）數(shù)形結(jié)合總結(jié)經(jīng)驗，鍛煉思維能力

數(shù)形結(jié)合不僅可以作為一種數(shù)學(xué)方法來應(yīng)用，在實施教學(xué)活動的過程中，還可以轉(zhuǎn)化為一種工具，有針對性地鍛煉學(xué)生的思維.高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動重視學(xué)生理性思維、數(shù)學(xué)技能的綜合提升，要求學(xué)生多角度掌握數(shù)學(xué)知識.教師在組織教學(xué)活動的過程中，可利用數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗，這樣可以鍛煉學(xué)生的思維與技能，幫助學(xué)生在解題的同時總結(jié)數(shù)學(xué)經(jīng)驗.

以人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》必修第四冊教材“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”的教學(xué)為例，可提出如下數(shù)學(xué)問題：

已知tan（π+α）=4，求sin（π+α）cos（π-α）的值.

這個問題若直接套用公式進(jìn)行計算，數(shù)學(xué)計算過程較為復(fù)雜;若利用數(shù)形結(jié)合思想，教師可將三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的有關(guān)知識在課堂上整理出來，為學(xué)生提供“參照物”：通過數(shù)學(xué)圖形記錄三角函數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，對sin（π-α），cos（π-α）等數(shù)學(xué)知識進(jìn)行總結(jié)，得出其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，配合數(shù)學(xué)圖形，明確掌握三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的取值范圍.在解題的過程中，教師可要求學(xué)生制作三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的有關(guān)圖像，讓學(xué)生重新認(rèn)識并總結(jié)數(shù)學(xué)知識，進(jìn)而逐步解答教學(xué)中存在的難點問題.

五、結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合思想是當(dāng)代數(shù)學(xué)教學(xué)活動中的“常青樹”，教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的同時，將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為直觀的數(shù)學(xué)對象，引導(dǎo)學(xué)生在進(jìn)行解題的同時總結(jié)數(shù)學(xué)經(jīng)驗，借助觀察、計算、數(shù)學(xué)探究等活動的相互配合來解答難題.教師要正確解讀數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價值，除利用數(shù)形結(jié)合解題之外，還可以借由數(shù)形結(jié)合總結(jié)解題經(jīng)驗，鍛煉學(xué)生思維，雙向交流探討，創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)方法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]信虎林.數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的應(yīng)用分析[J].考試周刊，2020（24）：73-74.

[2]閆國強.“數(shù)形結(jié)合”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界（中旬刊），2019（12）：23.

[3]田正奎.如何加強青少年賽艇運動員專項力量訓(xùn)練[J].西部皮革，2019（2）：123.

[4]包儲睿.如何加強青少年賽艇運動員專項力量訓(xùn)練[J].當(dāng)代體育科技，2018，8（22）：23-24.