孫樹德

[摘 ?要] 2021年廣東省中考數(shù)學第23題遵循立基礎、考能力、考素養(yǎng)、重思維、重創(chuàng)新的指導思想，考查了多種輔助線的作法和多個基本圖形的應用，聚焦知識本質， 解法開放多元，引領學生創(chuàng)新思考，凸顯了數(shù)學核心素養(yǎng)，文章對其進行了研究.

[關鍵詞] 深度學習;單元復習課;高階思維能力

試題呈現(xiàn)

（2021年廣東省中考第23題）如圖1所示，在邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點. 連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長.

試題評價

1. 立意基礎，關注模型，聚焦本質

本題以正方形和三角形折疊為載體，綜合考查了正方形、勾股定理、全等三角形、相似三角形、平行線分線段成比例和銳角三角函數(shù)等核心的基礎知識.在立足基礎知識上，考查主干，關注基本圖形，回歸教材，回歸本質. 本題條件簡單，圖形簡潔，但內涵非常豐富，簡約而不簡單.在問題的解決過程中，嘗試尋找基本圖形，利用題目里折疊的對應角相等以及正方形里的直角、邊的中點等條件，嘗試添加輔助線，構造了“一線三等角”“8型”或“A型”相似三角形等基本圖形，借助勾股定理、相似三角形等知識，利用模型的本質與內涵解決求線段長度的問題.本題有效地突出了對數(shù)學基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗這 “四基”的考查，引領聚焦數(shù)學本質，考查了學生的模型思想和應用意識.

2. 解法多元，引領創(chuàng)新，凸顯素養(yǎng)

本題命題者精心設計，考查了多種輔助線的作法和多個基本圖形的應用，不同的思考方向要添加不同的輔助線，不固化學生思維，解法開放多元，但學生需要具備較強的幾何構造能力、直觀想象能力、邏輯推理能力與運算能力.從閱卷情況來看，大多數(shù)學生沿著平時學習的 “一線三等角”“8型”或“A型”相似三角形等基本圖形添加輔助線，還有學生采用“建系法”“截長法”等方法，本題引領學生創(chuàng)新思考，在簡潔的圖形中“無中生有”，構造了豐富多彩的幾何圖形.題目也有意向高中過渡，與高中銜接，有少數(shù)學生利用平時自學拓展的“二倍角公式”解決問題，這不僅滿足了不同層次學生的需求，也為激發(fā)學生的創(chuàng)新思維提供更多能力展示的空間.本題蘊含了方程思想、化歸思想、模型思想等多種重要數(shù)學思想方法，綜合考查了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)學建模等核心素養(yǎng)，這有助于引導初中數(shù)學教學要更加注重培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

解法賞析

1. 思路1：以平行線為視角，構造相似三角形

解法1：（基于構造“X型”模型添加輔助線）如圖2所示，延長BF交CD于H，連接EH. 因為四邊形ABCD是正方形，所以AB∥CD，∠D=∠DAB=90°，AD=CD=AB=1，由勾股定理得AC=，由翻折的性質可知，AE=EF，∠EAB=∠EFB=90°，∠AEB=∠FEB，因為點E是AD的中點，所以AE=DE=EF，Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），易得∠DEH+∠AEB=90°，∠AEB+∠ABE=90°，所以∠DEH=∠ABE，△EDH∽△BAE，=，DH=，CH=，因為CH∥AB，所以==，CG=AC=.

解法2：（基于構造“A型”與“X型”模型添加輔助線）如圖3所示，延長AD，BF交于點H. ?易得△HEF∽△HBA，=，BH=2EH.設EH=x，AH2+AB2=BH2，即

x+2+12=（2x）2，x=，即AH=，因為△HGA∽△BGC，==，由勾股定理得AC=，得CG=.

解法3：（基于構造“一線三等角”添加輔助線）如圖4所示，過點F作CD的平行線分別交AD，BC于點M，N，過點G作BC的垂線交BC于點P. 易得△MEF∽△NFB. 設MF長為x，則FN長為1-x，=，=，ME2+MF2=EF2，即

2+x2=

2，解得x=，ME=，DM=，CN=，F(xiàn)N=. 因為△GBP∽△FBN， =. 設GP長為y，則CP長為y，BP長為1-y，F(xiàn)N=，BN=，=，y=，在Rt△PGC中，PC=PG=，∠GPC=90°，由勾股定理得 CG=.

2. 思路2：以平行線和半角為視角，構造等腰三角形

解法4：如圖5所示，延長BF交CD于點H，延長BE和CD交于點I. 設CH長為x，△HIB為等腰三角形，得CH2+CB2=BH2，即x2+12=（2-x）2，x=. 因為 CH∥AB ，所以△HGC∽△BGA，==，由勾股定理得AC =，CG=.

3. 思路3：以截取等長為視角，構造等角

解法5：如圖6所示，延長AB，截取BH=BG，連接GH，過點G作GJ⊥AB，易得∠ABE=∠H，則tan∠ABE=tan∠H=，設AJ=GJ=x，則JB=1-x， BH=2x-（1-x）=3x-1，在Rt△GBP中，x2+（1+x）2=（3x-1）2，解得x=. 由勾股定理得AC=，CG=.

4. 思路4：以正方形中特殊角45°為視角，構造相似三角形

解法6：如圖7所示，連接FH，因為 AD∥BC ，所以△AHE∽△CHB，==，由勾股定理得AC=，AH=，HC=，易證△AEH≌△FEH，AH=HF=，∠EAH=∠EFH=∠GFH =45°，易證△GFH∽△GCB，==，設HG= x，F(xiàn)G= y，==， HG=，CG =.

分析 ?上述六種解法都要先添加輔助線，作法多樣，大多數(shù)都要添加多條輔助線，對學生提出了一定的挑戰(zhàn)，但這些作法的方向與思路都來源于教學中重要的基本圖形.這些解法應用了相似三角形和勾股定理等核心知識，考查了學生幾何直觀想象能力、圖形構造能力和創(chuàng)新意識.

5. 思路5：以垂直為視角，建立直角坐標系

解法7：如圖8所示，以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標系，連接AF交BE于點H，正方形ABCD的邊長為1，得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E為AD中點，AE=，E0，

，設直線BE的解析式為y=kx+b，由B（1，0），E0，

，得直線BE的解析式y(tǒng)=-x+， 由于△ABE折疊得到△FBE，EF=AE=，設點F（x，y），則（x-0）2+y-

2= ，因為線段AF的中點H

x，

y在直線BE上，得-×x+=y，聯(lián)立（x-0）2+

y-2=

，

-

×

x+

=

y，解得x=

，

y=

，所以F

，

. 由B，F(xiàn)兩點的坐標可得直線BF的解析式為y=-x+. 聯(lián)立y=-

x+

，

y=x，解得x=-

，

y=

.于是得到點G的坐標為

，

，所以CG== .

分析 ?利用建系法把數(shù)量關系轉變成位置關系，在直角坐標系中找到直線的解析式，學生需要從邊的數(shù)量找到點的坐標，考查了學生的數(shù)學抽象能力和合情推理能力.

6. 思路6：以折疊半角為視角，利用二倍角公式

解法8：如圖9所示，作GH⊥AB， 因為tan∠ABE=tan∠EBF=，tan∠ABF==，設HG=AH=4 x，HB= 3x，4x+3x=1， AH=，AG=，CG=.

分析 ?從閱卷的實際情況看，有少數(shù)學生采用了二倍角公式解決問題，本題向高中過渡，也可以作為初高中銜接教學的優(yōu)質素材.由于此方法超出初中的學習范疇，在此不做太多論述.

教學導向

1. 夯實基礎知識，關注基本圖形

基礎知識是解決問題的基本支撐， 夯實基礎知識有助于解題思路的形成.本題主要考查了教材中正方形、勾股定理、相似三角形等基礎知識和重要的基本圖形，但從閱卷中發(fā)現(xiàn)，有不少學生知識不夠扎實，不能把基礎知識和基本圖形聯(lián)系起來，缺乏在題目圖形中抽離、構造、拆分基本圖形的能力，因此在平時的教學中，教師要引領學生打好知識基礎，引導學生建立并歸納基本圖形，理解基本圖形的內涵和本質，理解其蘊含的幾何特征和代數(shù)關系，提高學生的識圖能力，建立數(shù)量關系，強化通性通法教學[1].

2. 優(yōu)化解題路徑，注重思維培養(yǎng)

幾何教學中輔助線的添加在初中數(shù)學學習的過程中一直是難點，學生需要具備較強的幾何直觀想象能力和創(chuàng)新能力，有不少學生遇到這種需添加多條輔助線的幾何題就一籌莫展，不能在知識關聯(lián)、圖形的構造、解題思路的形成建立思考.在幾何教學中，怎樣引導學生形成清晰的解題思路？例如：如何借助基本圖形解決問題？可以概括成四個步驟：（1）熟記基本圖形;（2）識別基本圖形;（3）構造基本圖形;（4）建立關系解決. 在平時的教學中，多總結、提煉、熟記，方可敏銳發(fā)現(xiàn)題眼.如果發(fā)現(xiàn)圖形中沒有基本圖形的結構，可以根據(jù)題目的已知條件和基本圖形的結構特征添加輔助線構造基本圖形，最后利用基本圖形的特征建立數(shù)量關系解決問題.在解題教學中，要留給學生充足的時間拆分和構造基本圖形，探索基本圖形的特征和數(shù)量關系，為解決問題積累基本活動經驗.教師可以開展開放式教學和變式教學，尋找有價值的“題根”，開展一題一課、一題多變、一題多解、多解歸一等教學研究，引導學生多角度、多層次的充分思考、討論，在觀察、分析、比較、選擇、批判中優(yōu)化解題路徑，促進深度學習，提高學生邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力，培養(yǎng)學生思維的靈活性、發(fā)散性、廣闊性、深刻性和創(chuàng)新性，從而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)[2].

參考文獻：

[1]劉華為. 基于深度學習的初中數(shù)學課堂教學[M]. 上海：華東師范大學出版社，2020.

[2]劉月霞，郭華. 深度學習：走向核心素養(yǎng)[M]. 北京：教育科學出版社，2019.