摘要：新高考對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的考查更加關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.試題創(chuàng)設(shè)真實(shí)問題情境，理論聯(lián)系實(shí)際，聚焦核心素養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用，突出理性思維，考查關(guān)鍵能力，發(fā)揮了選拔功能. 其中函數(shù)模型視角下的概率統(tǒng)計(jì)倍受關(guān)注，這類試題主要考查綜合應(yīng)用概率、方程、函數(shù)等知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的能力.

關(guān)鍵詞：新高考；函數(shù)模型；概率統(tǒng)計(jì)；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0063-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：楊曉（1986.7-），女，貴州省余慶人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

中國高考評(píng)價(jià)體系提出基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、綜合性、創(chuàng)新性考查要求，2021年新高考Ⅱ卷21題全面落實(shí)了這4個(gè)方面的考查要求，并在應(yīng)用性上進(jìn)行了重點(diǎn)探索.該題聚焦核心素養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用，突出理性思維，考查關(guān)鍵能力，發(fā)揮了選拔功能. 該題屬于函數(shù)模型視角下的概率統(tǒng)計(jì)試題，其倡導(dǎo)理論聯(lián)系實(shí)際，學(xué)以致用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

1 真題研究

例題（2021年新高考Ⅱ卷） 一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來.設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列.設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P（X=i）=pi（i=0，1，2，3）.

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）.

（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)數(shù)根，求證：當(dāng)E（X）≤1時(shí)，p=1；當(dāng)E（X）>1時(shí)，p<1.

（3）根據(jù)你的理解，說明第（2）問結(jié)論的實(shí)際含義.

解析 （1）根據(jù)題意，E（X）=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.

（2）根據(jù)題意E（X）=p1+2p2+3p3.

設(shè)fx=p3x3+p2x2+p1-1x+p0，因?yàn)閜3+p2+p1+p0=1，故f0=p0>0，f（1）=p3+p2+p1-1+p0=0.

f ′（x）=3p3x2+2p2x+p1-1，f ″（x）=6p3x+2p2>0，所以y=f ′（x）在（0，+）上單調(diào)遞增.

f ′（1）=3p3+2p2+p1-1=E（X）-1.

①若E（X）≤1，可得f ′（1）≤0.當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f ′（x）<0，即f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減.故x=1為f（x）的最小正零點(diǎn)，即p=1.

②若E（X）>1，可得f ′（1）>0.因?yàn)閒 ′（0）=p1-1<0，所以在（0，1）上，f ′（x）存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為x0.

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，f ′（x）<0，f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x0，1）時(shí)，f ′（x）>0，f（x）在（x0，1）上單調(diào)遞增.

故f（x）的最小零點(diǎn)在（0，x0）上，即p<1.

綜上所述，當(dāng)E（X）≤1時(shí)，p=1；當(dāng)E（X）>1時(shí)，p<1.

（3）實(shí)際含義：當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)的期望值小于或等于1時(shí)，該種微生物經(jīng)過多代繁殖后必然滅絕；當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)的期望值大于1時(shí)，該種微生物經(jīng)過多代繁殖后也不會(huì)滅絕.

注該題的第（1）問是隨機(jī)變量期望的直接計(jì)算.第（2）問是從函數(shù)的視角解決零點(diǎn)（方程的根）問題.第（3）問則是根據(jù)數(shù)據(jù)結(jié)果說明概率問題，屬于開放性問題，反映出該生物多代繁殖后，期望值越小，臨近滅絕的概率越大；期望越大，臨近滅絕的概率越小，與我們提倡的三胎政策相吻合.

2 變式訓(xùn)練

函數(shù)模型視角下的概率統(tǒng)計(jì)試題創(chuàng)設(shè)真實(shí)問題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用，考查利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的能力.再看下面三道變式題.

變式1（2022屆高三第一次八校聯(lián)考）元旦將至，學(xué)校文學(xué)社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰(zhàn)賽.初賽階段有個(gè)人晉級(jí)賽和團(tuán)體對(duì)決賽.個(gè)人晉級(jí)賽為“信息連線”題，每位參賽者只有一次挑戰(zhàn)機(jī)會(huì).比賽規(guī)則為：電腦隨機(jī)給出錯(cuò)亂排列的五句古詩詞和五條相關(guān)的詩詞背景（如詩詞題名、詩詞作者等），要求參賽者將它們一一配對(duì)，有三對(duì)或三對(duì)以上配對(duì)正確即可晉級(jí).團(tuán)體對(duì)決賽為“詩詞問答”題，為了比賽的廣泛性，要求以班級(jí)為單位，各班級(jí)團(tuán)隊(duì)的參賽人數(shù)不少于30人，且參賽人數(shù)為偶數(shù).為了避免答題先后的干擾，當(dāng)一個(gè)班級(jí)團(tuán)隊(duì)全體參賽者都答題完畢后，電腦會(huì)依次顯示各人的答題是否正確，并按比賽規(guī)則裁定該班級(jí)團(tuán)隊(duì)是否挑戰(zhàn)成功.參賽方式有如下兩種，各班可自主選擇其中之一參賽.

方式一：將班級(jí)團(tuán)隊(duì)選派的2n個(gè)人平均分成n組，每組2人.電腦隨機(jī)分配給同一組兩個(gè)人一道相同的試題，兩人同時(shí)獨(dú)立答題，若這兩人中至少有一人回答正確，則該小組闖關(guān)成功.若這n個(gè)小組都闖關(guān)成功，則該班級(jí)團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功.

方式二：將班級(jí)團(tuán)隊(duì)選派的2n個(gè)人平均分成2組，每組n人.電腦隨機(jī)分配給同一組n個(gè)人一道相同的試題，各人同時(shí)獨(dú)立答題，若這n個(gè)人都回答正確，則該小組闖關(guān)成功.若這兩個(gè)小組至少有一個(gè)小組闖關(guān)成功，則該班級(jí)團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功.

（1）甲同學(xué)參加個(gè)人晉級(jí)賽，他對(duì)電腦給出的五組信息有且只有一組能正確配對(duì)，其余四組都只能隨機(jī)配對(duì)，求甲同學(xué)能晉級(jí)的概率；

（2）在團(tuán)體對(duì)決賽中，如果你班每位參賽的同學(xué)對(duì)給出的試題回答正確的概率均為常數(shù)p（0< p<1），為使本班團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？說明你的理由.

解析（1）設(shè)甲同學(xué)正確配對(duì)3對(duì)為事件A，正確配對(duì)5對(duì)為事件B，甲同學(xué)能晉級(jí)為事件C，則C=A+B，且A，B互斥.因?yàn)榧淄瑢W(xué)只有一組能正確配對(duì)，其余四組都隨機(jī)配對(duì)，則P（A）=C24A44=14，P（B）=1A44=124.從而P（C）=P（A）+P（B）=14+124=724，所以甲同學(xué)能晉級(jí)的概率為724.

（2）設(shè)選擇方式一、二的班級(jí)團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的概率分別為P1，P2.

當(dāng)選擇方式一時(shí)，因?yàn)閮扇硕蓟卮疱e(cuò)誤的概率為（1-p2），則兩人中至少有一人回答正確的概率為1-（1-p）2.所以P1=［1-（1-p）2］n=pn（2-p）n.

當(dāng)選擇方式二時(shí)，因?yàn)橐粋€(gè)小組闖關(guān)成功的概率為pn，則一個(gè)小組闖關(guān)不成功的概率為1-pn，所以P2=1-（1-pn）2=pn（2-pn）.

所以P1-P2=pn（2-p）n-pn（2-pn）=pn［（2-p）n+pn-2］.

設(shè)f（n）=（2-p）n+pn-2，則

f（n+1）-f（n）=（2-p）n+1+pn+1-（2-p）n-pn

=（2-p）n（1-p）+pn（p-1）

=（1-p）［（2-p）n-pn］.

因?yàn)?0，2-p>1，從而（2-p）n>1，pn<1，所以f（n+1）-f（n）>0，即f（n+1）>f（n），所以f（n）單調(diào)遞增.

因?yàn)閒（2）=（2-p）2+p2-2=2p2-4p+2=2（p-1）2>0，則當(dāng)n≥15時(shí)，f（n）>0，從而P1-P2>0. 即P1>P2.

所以為使本班挑戰(zhàn)成功的可能性更大，應(yīng)選擇方式一參賽.

變式2（2022屆廣州市高三調(diào)研）某校開展“學(xué)習(xí)中國史”的主題學(xué)習(xí)活動(dòng). 為了調(diào)查學(xué)生對(duì)新中國史的了解情況，需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行答題測(cè)試，答題測(cè)試的規(guī)則如下：每位參與測(cè)試的學(xué)生最多有兩次答題機(jī)會(huì)，每次答一題，第一次答對(duì)，答題測(cè)試過關(guān)，得5分，停止答題測(cè)試；第一次答錯(cuò)，繼續(xù)第二次答題，若答對(duì)，答題測(cè)試過關(guān)，得3分；若兩次均答錯(cuò)，則答題測(cè)試不過關(guān)，得0分. 某班有12位學(xué)生參與答題測(cè)試，假設(shè)每位學(xué)生第一次和第二次答題答對(duì)的概率分別為m，0.5，兩次答題是否答對(duì)互不影響，每位學(xué)生答題測(cè)試過關(guān)的概率為p.

（1）若m=0.5，求每一位參與答題測(cè)試的學(xué)生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望；

（2）設(shè)該班恰有9人答題測(cè)試過關(guān)的概率為f（p），當(dāng)f（p）取最大值時(shí)，求p，m.

解析（1）設(shè)每一位參與答題測(cè)試的學(xué)生所得分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為5，3，0. 則

P（X=5）=0.5，P（X=3）=（1-0.5）×0.5=0.25，P（X=0）=（1-0.5）（1-0.5）=0.25.

故每一位參與答題測(cè)試的學(xué)生所得分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為

E（X）=5×0.5+3×0.25+0×0.25=3.25.

（2）由題意得f（p）=C912p9（1-p）3（0

則f ′（p）=C912［9p8（1-p）3-3p9（1-p）2］

=3C912p8（1-p）2（3-4p）.

由f ′（p）=0，得p=0.75；由f ′（p）>0，得0

所以p=0.75是f（p）的極大值點(diǎn)，也是f（p）的最大值點(diǎn).

由題意得p=1-（1-m）（1-0.5）=0.5+0.5m，所以0.5+0.5m=0.75，解得m=0.5.

所以f（p）取得最大值時(shí)，p=0.75，m=0.5.

變式3（2021年山東省廣饒市）為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3∶0或3∶1取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以3∶2取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為p0

（1）比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？

（2）第10輪比賽中，記張三3∶1取勝的概率為fp.

①求出fp的最大值點(diǎn)p0；

②若以p0作為p的值，這輪比賽張三所得積分為X，求X的分布列及期望.

解析（1）比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是p=C13C14+C14C15+C13C15C212=4766.

（2）①由題可知fp=C23p31-p=3p31-p，

f ′p=33p21-p+p3×-1

=3p23-4p，

令f ′p=0，得p=34，

當(dāng)p∈0，34時(shí)，f ′p>0，則fp在0，34上單調(diào)遞增；

當(dāng)p∈34，1時(shí)，f ′p<0，則fp在34，1上單調(diào)遞減.

所以fp的最大值點(diǎn)p0=34.

②X的可能取值為0，1，2，3.

PX=0=1-p3+C13p1-p3

=1-343+C13×34×1-343=13256；

PX=1=C24p21-p3

=C24×（34）2×1-343=27512；

PX=2=C24p21-p2p

=C24（34）2×1-342×34=81512；

PX=3=p3+pC23p21-p

=（34）3+C23（34）2×1-34×34=189256.

所以X的分布列為

X0123P

132562751281512189256

X的期望為EX=0×13256+1×27512+2×81512+3×189256=1323512.

3 復(fù)習(xí)備考建議

函數(shù)模型視角下的概率統(tǒng)計(jì)試題創(chuàng)設(shè)真實(shí)問題情境，理論聯(lián)系實(shí)際，聚焦核心素養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用，突出理性思維，考查關(guān)鍵能力，發(fā)揮了選拔功能.我們從以下三點(diǎn)來談?wù)勗诟呷膹?fù)習(xí)備考中如何突破這一類試題.

3.1 注重對(duì)歷年高考真題的研究

高考真題是高考命題專家智慧的結(jié)晶，很經(jīng)典而且具有很好的代表性和預(yù)見性，是高三復(fù)習(xí)必備的素材.例如2018年全國Ⅰ卷理科第20題，2017年全國Ⅲ卷理科第18題，2016年全國Ⅰ卷理科第18題，2012年全國課標(biāo)卷理科第18題等都是以生活實(shí)際問題為背景，考查函數(shù)思想在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用.熟悉這些高考真題，對(duì)解決新的概率問題具有很好的借鑒與指導(dǎo)意義.

3.2 掌握概率的相關(guān)知識(shí)與函數(shù)知識(shí)

要做好一道綜合題，需要掌握很多的知識(shí)與思想方法.要解決一道與函數(shù)模型有關(guān)的概率統(tǒng)計(jì)題，則需要掌握古典概型、概率分布（超幾何分布、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布）、隨機(jī)事件的概率計(jì)算與數(shù)學(xué)期望、互斥事件與對(duì)立事件的概率計(jì)算等.此外還需掌握作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等.3.3 聚焦核心素養(yǎng)，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用.

新高考對(duì)概率統(tǒng)計(jì)試題的考查更加關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，注重結(jié)合生活實(shí)際，創(chuàng)設(shè)真實(shí)問題情境，考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力，同時(shí)也綜合考查了高中數(shù)學(xué)常見的數(shù)學(xué)思想方法.

作為一線教師，在平時(shí)的教學(xué)尤其是在高三的復(fù)習(xí)備考中，千萬不能忽略對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，同時(shí)也要培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用概率、方程、函數(shù)等知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的能力，這樣才能適應(yīng)新高考.

參考文獻(xiàn)：

［1］彭海燕，張瑞.概率統(tǒng)計(jì)的秘密[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2021.

[2] 李鴻昌，楊春波，程漢波.高中數(shù)學(xué)一點(diǎn)一題型[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2021.