盛茂岳
[摘? 要] 等腰三角形是平面幾何中的重要內(nèi)容,體現(xiàn)了軸對稱圖形的典型特點(diǎn),在幾何圖形的學(xué)習(xí)中具有承前啟后的重要作用. 在教學(xué)中教師可以從聯(lián)系生活實(shí)際、整合知識結(jié)構(gòu)、精選習(xí)題訓(xùn)練的角度開展等腰三角形的教學(xué).
[關(guān)鍵詞] 等腰三角形;知識結(jié)構(gòu);生活實(shí)際
等腰三角形是軸對稱圖形的直觀展示,是幾何圖形學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵知識點(diǎn),研究等腰三角形的教學(xué)對于幾何中的邊角關(guān)系的教學(xué)能起到非常重要的作用. 在學(xué)習(xí)等腰三角形的基礎(chǔ)上,學(xué)生會對幾何圖形的性質(zhì)和判定有比較深刻的理解,為接下來學(xué)習(xí)等邊三角形、線段相等、角相等等幾何問題的證明奠定了基礎(chǔ). 筆者從聯(lián)系生活實(shí)際、整合知識結(jié)構(gòu)和深度學(xué)習(xí)的角度,談一談“等腰三角形”的教學(xué),供大家參考!
重組教材知識,探究本質(zhì)規(guī)律
等腰三角形作為三角形的一種特殊表現(xiàn)形式,與一般三角形既有聯(lián)系,又有區(qū)別. 它具有一般三角形的邊和角的特征,同時還有其特殊的軸對稱的性質(zhì).因此在研究等腰三角形時,除了可以通過三角形的全等知識進(jìn)行探究以外,還需要從軸對稱的角度進(jìn)行研究. 這就要求在教學(xué)中教師要進(jìn)行教材知識點(diǎn)的整合,將幾何圖形的相關(guān)知識點(diǎn)綜合運(yùn)用,從中分析等腰三角形的本質(zhì)特征. 利用軸對稱圖形的特點(diǎn)可以探究等腰三角形的相關(guān)性質(zhì),同時也能在以后的幾何證明中利用三角形全等的相關(guān)特性進(jìn)行幾何證明.
探究活動1:
活動準(zhǔn)備:學(xué)生分組、直尺、剪刀、長方形紙片.
活動過程:學(xué)生利用準(zhǔn)備的工具剪出一個等腰三角形.
活動結(jié)果:學(xué)生展示自己實(shí)踐的結(jié)果,并說明其原理.
設(shè)計意圖 通過學(xué)生的動手實(shí)踐,引導(dǎo)學(xué)生理解通過對折三角形的方式進(jìn)行剪裁,剪出了等腰三角形,這是利用了等腰三角形區(qū)別于一般三角形的性質(zhì),而折出的這條線就構(gòu)成了三角形的左右對稱(如圖1).
探究活動2:等腰三角形的性質(zhì)和定理
師:請同學(xué)們在剛才剪出來的等腰三角形上標(biāo)出A,B,C,D,如圖2,然后再將這個三角形進(jìn)行對折,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么?
生1:通過對折發(fā)現(xiàn)等腰三角形不僅軸對稱,而且它的兩個底角還相等.
師:很好,這就告訴我們一個定理“等邊對等角”. 我們?nèi)鐖D作一條輔助線AD,同學(xué)們仔細(xì)觀察圖2,還能發(fā)現(xiàn)哪些相等的邊和角呢?
生2:我發(fā)現(xiàn)圖上的∠1和∠2相等.
生3:BD和CD相等.
生4:線段AD不僅是等腰三角形的對稱軸,還是三角形的高.
師:通過剛才同學(xué)們的觀察,我們發(fā)現(xiàn)AD既是∠A的角平分線,還是三角形的高,也是三角形底邊的中線,所以也就是“三線合一”.
本例教學(xué)時教師設(shè)計了學(xué)生的動手實(shí)踐活動,在動手操作和觀察分析中,進(jìn)行問題引導(dǎo),利用軸對稱圖形的特性研究等腰三角形的性質(zhì),通過折疊、作輔助線等形式,進(jìn)一步研究等腰三角形的“三線合一”的特點(diǎn),在過程中滲透幾何證明的方法. 這樣的教學(xué)活動相比于教師直接講授來得更加直觀,學(xué)生不僅鍛煉了動手實(shí)踐能力,還能在觀察分析中提升思維能力,初步掌握幾何圖形的學(xué)習(xí)方法.
貼近生活實(shí)際,靈活解決問題
數(shù)學(xué)來源于生活,最終又應(yīng)用于生活,數(shù)學(xué)中的幾何知識在生活中的應(yīng)用則更加普遍,因此幾何圖形的學(xué)習(xí)可以和生活緊密結(jié)合,用來解決實(shí)際問題,提高學(xué)生運(yùn)用知識的技能. 幾何圖形在生活中出現(xiàn)的場景很多,教師可以利用多媒體展示圖片和場景,可以展示一些特色的建筑,比如北京鳥巢、上海世博會場館圖片. 這立刻點(diǎn)燃了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,讓學(xué)生感覺到生活中到處都有數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用. 在展示過程中,教師可以結(jié)合圖片引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識等腰三角形的底邊、腰、頂角及底角等,認(rèn)識等腰三角形的各個要素,為進(jìn)一步的研究打下基礎(chǔ).
案例 等腰三角形的應(yīng)用
如圖3,在民族特色民居中,許多房子的頂都是一個等腰三角形,在搭建房子頂時,AB和AC相等,柱子AD與BC垂直,已知BC等于6,∠BAC是120°,求∠B是多少度,BD的長度是多少?
本例從實(shí)際問題出發(fā),考查學(xué)生對于等腰三角形“三線合一”定理的認(rèn)識,符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也滲透了數(shù)學(xué)的建模思想,培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力. 在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考等腰三角形“三線合一”的定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用,如在修建等腰三角形的屋頂時,通常會從屋頂?shù)捻旤c(diǎn)系一個重物,往下掛,系重物的繩索要恰好經(jīng)過一個關(guān)鍵點(diǎn),那就是三角形的底邊中點(diǎn). 請學(xué)生思考這么做的理由,討論利用等腰三角形的定理解釋這么做可以保證房屋屋頂?shù)乃?
從現(xiàn)實(shí)生活的圖形中抽象出基本的幾何圖形,進(jìn)而利用圖形的性質(zhì)解決問題,將所學(xué)知識應(yīng)用到生活實(shí)際中去,體現(xiàn)了由具體到抽象再到具體的思維過程,有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識的能力,幫助學(xué)生體會生活,理解數(shù)學(xué).
在實(shí)際問題的運(yùn)用過程中,體現(xiàn)了學(xué)生對于知識的調(diào)動和運(yùn)用技能,既能達(dá)到鞏固知識點(diǎn)的作用,又能在解題中利用數(shù)學(xué)建模思想解決實(shí)際問題,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識的技能,感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性,體會數(shù)學(xué)的魅力.
精心組織訓(xùn)練,滲透解題思想
等腰三角形的教學(xué)除了基礎(chǔ)的性質(zhì)和定理以外,更重要的是要滲透數(shù)學(xué)的思想和方法,讓學(xué)生由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識,能對具體內(nèi)容進(jìn)行概括和歸納. 教師要通過具體的習(xí)題進(jìn)行鞏固和檢測,在例題訓(xùn)練中逐漸滲透思想方法. 在習(xí)題訓(xùn)練的設(shè)計中,教師應(yīng)精心挑選能反映等腰三角形典型性質(zhì)的習(xí)題,通過典型例題的訓(xùn)練,使學(xué)生能加深對解題思路的理解.
習(xí)題訓(xùn)練1 如圖4,三角形ABC中,AB和AC相等,點(diǎn)D是底邊BC上的一點(diǎn),已知AD和BD相等,求證∠ADB和∠BAC相等.
本題在引導(dǎo)學(xué)生解題時要滲透數(shù)形結(jié)合的思想,利用等腰三角形的邊和角的性質(zhì),通過數(shù)形結(jié)合的思想將數(shù)學(xué)的語言轉(zhuǎn)化為文字關(guān)系,將知識點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系,充分聯(lián)想構(gòu)建等量關(guān)系,利用數(shù)量轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解. 在問題探究中,通過數(shù)形結(jié)合方法的使用,大大提升了思維的深度,使學(xué)生將數(shù)學(xué)知識內(nèi)化為對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)知,訓(xùn)練了學(xué)生的思維.
在習(xí)題訓(xùn)練中,還可以通過“一題多解”的試題,訓(xùn)練學(xué)生思維的發(fā)散性,讓學(xué)生能充分理解等腰三角形的性質(zhì).
習(xí)題訓(xùn)練2 “一題多解”
如圖5,已知三角形ABC中,AB和AC相等,點(diǎn)D和點(diǎn)E在線段BC上,并且AD和AE相等,求證BD和CE相等.
本例是一道一題多解的試題,著重訓(xùn)練學(xué)生對等腰三角形性質(zhì)的靈活運(yùn)用,在引導(dǎo)學(xué)生小組討論、自主思考的基礎(chǔ)上,教師要引導(dǎo)學(xué)生采用多個角度進(jìn)行解答,如可以通過等量轉(zhuǎn)換、構(gòu)造的思想,可以通過作輔助線的方法(如作頂角的角平分線、作底邊上的高等)進(jìn)行解答. 在探究多種解法的過程中,讓學(xué)生進(jìn)行深度思考,不僅加深了學(xué)生對等腰三角形性質(zhì)的印象,而且可以讓學(xué)生尋找最佳解題途徑,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.
數(shù)學(xué)課堂中數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)至關(guān)重要,它是學(xué)生能夠提升綜合素質(zhì)的關(guān)鍵. 在數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)中,教師要注重引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)活動的過程,在數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的過程中逐步掌握數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,真正形成自己對數(shù)學(xué)的認(rèn)識. 教師要通過對教材知識點(diǎn)的理解、整合,利用生活中數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化和優(yōu)秀的習(xí)題訓(xùn)練,加強(qiáng)學(xué)生對知識的理解,在問題引導(dǎo)和設(shè)問啟發(fā)中發(fā)展學(xué)生的思維,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.
總之,教師對課標(biāo)、教材的理解,對數(shù)學(xué)方法和思想的把握,都會在一舉一動中潛移默化地傳授給學(xué)生. 因此教師要提升學(xué)生的核心素養(yǎng),就要不斷提升自己的專業(yè)知識水平和教學(xué)能力,做一個終身學(xué)習(xí)者,才能長久地影響學(xué)生,促進(jìn)學(xué)生的全面和可持續(xù)發(fā)展.