楊小璐

［摘? 要］ 糾錯(cuò)是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識與技能、提高解題能力的關(guān)鍵步驟，也是提高學(xué)生反思能力的基礎(chǔ)，對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響. 研究者認(rèn)為糾錯(cuò)教學(xué)需遵循目的性、針對性、主體性和鞏固性原則，同時(shí)提出糾錯(cuò)的時(shí)機(jī)有及時(shí)與延后兩種，糾錯(cuò)的方法有自糾、他糾與師糾.

［關(guān)鍵詞］ 糾錯(cuò)；原則；時(shí)機(jī)；方法

心理學(xué)家R.Bainbridge認(rèn)為：差錯(cuò)每個(gè)學(xué)生都有，教師若不加以利用是不可原諒的.錯(cuò)誤是學(xué)習(xí)者攀上正確結(jié)論寶座的臺階，利用錯(cuò)誤引導(dǎo)學(xué)生步入正軌是每個(gè)教師的基本職責(zé)［1］. 實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)糾錯(cuò)教學(xué)需要遵循一定的原則與方法，學(xué)生在糾錯(cuò)過程中能不斷優(yōu)化思維，形成系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為培養(yǎng)自身的辯證思維能力奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

糾錯(cuò)教學(xué)應(yīng)遵循的原則

（一）目的性原則

錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因有多種，分別有教師、學(xué)生方面的問題，還有教學(xué)環(huán)境對學(xué)習(xí)產(chǎn)生的影響等.其中，最主要的錯(cuò)誤原因集中在學(xué)生層面，有智力與非智力兩大因素.從錯(cuò)誤的認(rèn)知結(jié)構(gòu)角度來區(qū)分，存在知識性、策略性、心理性與邏輯性等錯(cuò)誤；從錯(cuò)誤的表現(xiàn)形式來看，錯(cuò)誤發(fā)生的原因有審題、運(yùn)算、方法、運(yùn)算或表述欠規(guī)范等.

人們常說的糾錯(cuò)，主要是針對學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)方面的錯(cuò)誤而言. 作為教師，首先要明確學(xué)生錯(cuò)誤發(fā)生的原因，并在此基礎(chǔ)上明確教學(xué)目標(biāo)，此目標(biāo)包括認(rèn)知目標(biāo)、情感目標(biāo)以及智能目標(biāo)等，且目標(biāo)不宜過高或過多.

（二）針對性原則

每個(gè)學(xué)生受認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的影響，所產(chǎn)生的錯(cuò)誤類型各不一樣. 糾錯(cuò)之前，教師應(yīng)根據(jù)錯(cuò)誤類型，有針對性地對普遍性錯(cuò)誤、抽象晦澀的錯(cuò)誤以及解題方法錯(cuò)誤等進(jìn)行糾錯(cuò)教學(xué). 同時(shí)還要搜集、整理學(xué)生的典型錯(cuò)誤，重點(diǎn)明確地、有針對性地進(jìn)行講解，以突出問題的本質(zhì). 切不可嘗試面面俱到地講解，那只會浪費(fèi)課堂寶貴的時(shí)間，降低學(xué)習(xí)效率.

（三）主體性原則

學(xué)生是課堂的主人，糾錯(cuò)課亦如此. 教師在糾錯(cuò)教學(xué)時(shí)，應(yīng)突出學(xué)生的主體地位，創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，運(yùn)用學(xué)生感興趣的教學(xué)手段，引導(dǎo)全體學(xué)生積極地參與到糾錯(cuò)中來. 而教師應(yīng)充當(dāng)引導(dǎo)者的角色，在學(xué)生自主探究過程中，教師可在學(xué)生知識的生長點(diǎn)處加以啟發(fā)、引導(dǎo)與點(diǎn)撥，鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的根源，從而找出解決問題的關(guān)鍵. 或者鼓勵(lì)學(xué)生采用分組討論的方式，在取長補(bǔ)短中發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的偏差點(diǎn)，及時(shí)糾正錯(cuò)誤，實(shí)現(xiàn)思維的突破.

（四）鞏固性原則

實(shí)踐證明，缺乏練習(xí)的糾錯(cuò)效果很差，往往隔幾天學(xué)生同樣的錯(cuò)誤又會死灰復(fù)燃. 反饋練習(xí)是克服這個(gè)問題的主要手段，這里所說的反饋練習(xí)不僅僅是鞏固練習(xí)，還包括變式拓展，學(xué)生只有從根本上掌握數(shù)學(xué)思想方法與解題技巧，才能實(shí)現(xiàn)真正意義上的糾錯(cuò).

糾錯(cuò)教學(xué)應(yīng)遵循的時(shí)機(jī)

（一）及時(shí)

糾錯(cuò)講究時(shí)效性. 學(xué)生新知建構(gòu)時(shí)所發(fā)生的錯(cuò)誤，如概念、定理等的理解偏差或方法理解錯(cuò)誤等問題，及時(shí)進(jìn)行糾正，往往能起到良好的效果；學(xué)生的一些無意識錯(cuò)誤，表現(xiàn)比較隱匿，常常不會自主發(fā)現(xiàn)，如運(yùn)算過程中的格式不規(guī)范等問題，若教師能給予及時(shí)引導(dǎo)與糾正，往往能起到良好的效果［2］.

例1 一部分學(xué)生，總是搞不清楚以下幾種說法所表達(dá)的真實(shí)意義：①x，y的平方差；②x，y的差的平方；③x，y的平方的差.

從字面來看，這三種表達(dá)方式非常接近，難怪學(xué)生會混淆不清. 為了清除學(xué)生學(xué)習(xí)道路上的障礙，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對這幾種表達(dá)方式進(jìn)行辨別，只有從根本上弄清其所表達(dá)的意思，才能保證解題時(shí)不出現(xiàn)差錯(cuò).

如平方差公式的應(yīng)用，一些學(xué)生對這個(gè)知識點(diǎn)模糊不清，看到問題就生搬硬套，從而導(dǎo)致（-x+y）（x+y）=x2-y2錯(cuò)誤的發(fā)生；還有學(xué)生將完全平方公式理解成（a+b）2=a2+b2. 面對這些錯(cuò)誤，教師應(yīng)及時(shí)矯正學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，避免學(xué)生將錯(cuò)誤的內(nèi)容建構(gòu)到認(rèn)知中，形成不良記憶，為后續(xù)解題帶來隱患.

（二）延后

面對下面兩類問題，教師可采取延后糾錯(cuò)的方式：一是對學(xué)生整體數(shù)學(xué)思維與解題思路影響較小，對主體教學(xué)過程不會引起重大沖突的錯(cuò)誤. 若即時(shí)糾正，則會打斷學(xué)生的解題思路，影響學(xué)生對問題的全局性理解；二是典型錯(cuò)誤，具有顯著的代表性，需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)、系統(tǒng)講解的錯(cuò)誤.

例2 解方程（x+2）（x-1）=2+x.

錯(cuò)誤：學(xué)生將方程的兩邊同時(shí)除以“2+x”，解得x=2的結(jié)論.

這是一個(gè)典型的錯(cuò)誤類型，很多學(xué)生在初次接觸此類運(yùn)算時(shí)，都會犯這樣的錯(cuò). 同時(shí)，本題對接下來的課堂講解不會造成不良影響. 為此，筆者采取延后的方式，帶領(lǐng)學(xué)生針對此類問題進(jìn)行啟發(fā)式的糾錯(cuò)，以幫助學(xué)生形成正確的解題方式.

師：解本題時(shí)一些學(xué)生想到了用“約公因式”的解題方法，就在方程的兩邊同時(shí)除以“2+x”這個(gè)式子，并獲得了x=2的結(jié)論，你們覺得這種解題方法對嗎？

生1（語氣不夠肯定）：好像不對.

師：你們覺得哪里不對？大膽地說出你們的看法，錯(cuò)了也沒有關(guān)系，讓我們一起來探討這個(gè)問題.

（學(xué)生沉思）

生2：“2+x”中含有未知數(shù)，我們還不知道它的取值，直接用來運(yùn)算，好像不合理.

師：沒錯(cuò)！在方程的兩邊同時(shí)除以一個(gè)包含未知數(shù)的代數(shù)式，運(yùn)算后所得的方程和原方程不一定是同解.因此這樣的變形方式存在失根的情況.

（學(xué)生有所感悟）

生3：我是不是可以將本題的錯(cuò)誤理解為：解題中因除掉了“x=-2”這個(gè)因子，致使失根的情況？

生4：對的. 因此我們遇到解此類方程的問題，不能將一個(gè)代數(shù)式作為除的對象，還是要先移項(xiàng)，再進(jìn)行因式分解，在降低方程次數(shù)的情況下解方程，才能避免出現(xiàn)失根的現(xiàn)象.

師：總結(jié)得非常好. 本題出現(xiàn)錯(cuò)誤的關(guān)鍵在于除以了代數(shù)式“2+x”，以后我們遇到此類問題要避免出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤. 本題除了以上解題方法之外，還存在其他的解題方法嗎？

（學(xué)生思考）

生5：如果我想堅(jiān)持在等式的兩邊同時(shí)除以“2+x”，有沒有辦法解題？

學(xué)生們都覺得不可思議，這不是剛剛被否定掉的解題方法嗎？教室里傳來了竊竊私語.

生6：如果要從這條思路去解題的話，首先要確?！?+x”的值不為零.

生7：問題是題設(shè)條件中并沒有明確表示“2+x”不為零呀，而且當(dāng)“2+x”的值為零時(shí)，該方程也是成立的.

在這兩位學(xué)生的交流中，不少學(xué)生恍然大悟，提出用分類討論的方式來解決.

師：應(yīng)該怎么分類呢？

生8：自然是以2+x=0與2+x≠0兩種方式來分類.

……

通過教師的點(diǎn)撥與學(xué)生的自主探究，本題獲得了不同的解決方法. 回過頭來看，延后糾錯(cuò)從本質(zhì)上來看，就是讓學(xué)生圍繞某個(gè)特定的錯(cuò)誤，給予學(xué)生充足的探討與反思空間，讓學(xué)生在一定的范圍內(nèi)進(jìn)行探索研究的過程. 延后糾錯(cuò)的方式更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，可以讓學(xué)生的思維在探索中得到有效提升. 同時(shí)，學(xué)生的思維之門被打開，常會得到意想不到的收獲. 因此，延后糾錯(cuò)法是初中數(shù)學(xué)糾錯(cuò)教學(xué)的重要手段之一.

糾錯(cuò)教學(xué)應(yīng)遵循的方式

（一）自糾

學(xué)習(xí)過程中，有些錯(cuò)誤是學(xué)生常會犯的. 作為教師，要做到心中有數(shù)，對于學(xué)生常犯的一些典型錯(cuò)誤，可鼓勵(lì)學(xué)生與同伴多交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，從而自主糾正.如何培養(yǎng)學(xué)生的自主糾錯(cuò)能力是筆者經(jīng)常思考的問題. 實(shí)踐證明，教學(xué)過程中將正確的檢查方法滲透給學(xué)生，對學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤具有重要作用. 不論遇到什么問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題、審題，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題中的關(guān)鍵信息，這樣能避免錯(cuò)誤的發(fā)生.

例3 已知關(guān)于x的方程（m2-4）x2+2（1+m）x+1=0有實(shí)根，求m的取值范圍.

本題是一道常規(guī)題，難度系數(shù)并不大，但學(xué)生在解題中總會出現(xiàn)錯(cuò)誤. 為此，筆者特邀請兩位成績中等的學(xué)生到黑板上演示解題過程，以供大家討論.

生1：題設(shè)條件明確提出此方程有實(shí)根，那么可確定Δ=［2（1+m）］2-4（m2-4）=20+8m≥0，可得m≥-，由此可知本一元二次方程中m的取值范圍為≥-.

師：請同學(xué)們重新審題，看看本題有沒有什么隱含條件，或者被我們忽略的東西呢？

（學(xué)生重新審題）

生2：本題并未明確表示該方程是一個(gè)一元二次方程.

師：哦？遇到這種情況，我們該怎么處理呢？

生3：需要分類討論，才能回答完整.

師：本題該從什么角度進(jìn)行分類討論呢？

生4：可分為m2-4=0與m2-4≠0兩種情況進(jìn)行討論.

……

隨著教師的引導(dǎo)，學(xué)生在解題過程中不僅發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤的原因，還自主找到了解決問題的具體辦法. 這種教學(xué)模式，不僅能有效地提升學(xué)生的糾錯(cuò)能力，還能有效地發(fā)展學(xué)生的思維，為學(xué)生的辯證思維能力的形成奠定基礎(chǔ).

（二）他糾

學(xué)生因年齡特征與生活經(jīng)驗(yàn)的相似性，對問題的看法常存在一定的共性. 當(dāng)學(xué)生對概念、定理或公式的理解出現(xiàn)偏差時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察同伴的解題過程，并針對同伴所呈現(xiàn)的方法與結(jié)論談?wù)勛约旱目捶ǎ@樣能讓學(xué)生從其他學(xué)生身上看到自己的影子，不僅能糾正別人的錯(cuò)誤，還能有效地提高自己的洞察力［3］. 同時(shí)，學(xué)生可取長補(bǔ)短、查漏補(bǔ)缺，避免別人的錯(cuò)誤在自己身上發(fā)生.

例4 如圖1，已知正方形ABCD的邊長是4，點(diǎn)P為BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，且QP與AP為垂直的關(guān)系，交CD于點(diǎn)Q，假設(shè)PB=x，△DQA的面積是y.

（1）求x，y之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系，列式表達(dá)；

（2）求點(diǎn)P位于何位置，△DQA的面積值最大？

在學(xué)生解完題后，教師并沒有馬上呈現(xiàn)正確答案，也沒有進(jìn)行講評，而是要求同桌之間互相查看對方的答案與自己的答案是否有差異. 在同學(xué)的交流過程中，不少學(xué)生發(fā)現(xiàn)同伴出現(xiàn)了以下的錯(cuò)誤解題方式：

錯(cuò)解：（1）y=x2-2x+8；（2）根據(jù)y=x2-2x+8，解得（x-2）2+6，因此在x=2時(shí)，△DQA的面積最大為6.

觀察發(fā)現(xiàn)，班上有好幾名學(xué)生都發(fā)生了類似的錯(cuò)誤. 為了讓學(xué)生記住正確的解題方法，教師鼓勵(lì)學(xué)生以小組合作的方式來討論本題，由小組長與同學(xué)一起分析錯(cuò)因，小組成員一起探尋正確的解題方法.

巡視過程中，教師聽到如下交流：觀察圖1，如果點(diǎn)P的位置恰巧在點(diǎn)B處，點(diǎn)Q的位置就位于點(diǎn)C處，那么此時(shí)△DQA的面積與△ABC的面積則相等，為8. 顯然大于以上所求得的6，因此這種解題方法肯定是不對的.

通過交流，學(xué)生得到以下結(jié)論：本題在解第二問時(shí)，特別容易出現(xiàn)兩個(gè)錯(cuò)誤，分別是：①將最小值理解為最大值；②認(rèn)為所求面積只存在最小值，沒有最大值. 而出現(xiàn)這些問題的根本原因就在于解題過程中，點(diǎn)P的限制條件被忽略了.

隨著互相糾錯(cuò)法的應(yīng)用，學(xué)生對此知識點(diǎn)產(chǎn)生了深刻的認(rèn)識，這比教師拼盡全力地講解效果來得直接、明顯. 他糾的方式，一般適用于錯(cuò)誤比較單一，學(xué)生容易理解的錯(cuò)誤中. 學(xué)生在互相糾錯(cuò)的過程中，不僅體驗(yàn)到學(xué)習(xí)帶來的樂趣，還有效地培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力與思維能力.

（三）師糾

有些錯(cuò)誤的發(fā)生呈群體性，且錯(cuò)誤的成因特別混亂、復(fù)雜，自糾與他糾無法達(dá)到良好的效果. 遇到這種情況，就要發(fā)揮教師的作用了. 教師首先要分析錯(cuò)誤發(fā)生的原因、學(xué)生的認(rèn)知水平以及預(yù)期的教學(xué)效果等，做到知此知彼，才能百戰(zhàn)不殆. 有時(shí)，反例法的點(diǎn)撥，能開闊學(xué)生的視野，讓學(xué)生徹底告別混亂不清的思緒.

例5 如圖2，已知∠ABD=∠BCA，∠ABC=∠D. 不少學(xué)生根據(jù)這兩個(gè)條件，就確定△ABD≌△ACB. 面對這個(gè)錯(cuò)誤，教師首先應(yīng)分析學(xué)生形成這個(gè)錯(cuò)誤的原因，并根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在歸因后采取一定的教學(xué)手段進(jìn)行糾錯(cuò).

學(xué)生所提到的這兩個(gè)三角形并非是全等的關(guān)系，因?yàn)椤鰽BC中所涉及的AB邊與△ABD中的AB邊并非為對應(yīng)的兩條邊.

與之類似的還有一些學(xué)生，將兩個(gè)三角形中兩條邊和一對角對應(yīng)相等的情況，判斷為這兩個(gè)三角形為全等關(guān)系. 以上錯(cuò)誤都是學(xué)生對概念的理解不夠清晰引起的，在遇到解決實(shí)際問題時(shí)，就會出現(xiàn)知識的混亂，覺得差不多就給予判斷，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生. 遇到此類情況，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生回過頭來將基礎(chǔ)的概念、定理等重新分析、解讀，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識的重構(gòu).

總之，錯(cuò)誤并不可怕，只要教師用正確的態(tài)度去面對錯(cuò)誤，充分挖掘與利用錯(cuò)誤資源，那么錯(cuò)誤就是寶貴的、有價(jià)值的教學(xué)資源. 教師從心理學(xué)角度出發(fā)，利用錯(cuò)誤在學(xué)生心中形成的落差效應(yīng)，抓住契機(jī)，用適當(dāng)?shù)姆绞浇o學(xué)生帶來認(rèn)知上的震撼與沖擊，往往能起到良好的糾錯(cuò)效果.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 李善良. 怎樣培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維能力——美國中小學(xué)教材考察報(bào)告［J］. 教育科學(xué)研究，2012（03）：69-75.

［3］ 梁麗巧. 談初中學(xué)生數(shù)學(xué)糾錯(cuò)能力的培養(yǎng)［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（08）：24-26.