樓凌吉

[摘 ?要] “閱讀與思考”匯集了數(shù)學(xué)知識(shí)的源起、發(fā)展、完善和應(yīng)用，展示了古今中外的數(shù)學(xué)魅力，而在緊湊的進(jìn)度下，其價(jià)值得不到充分的發(fā)揮，甚至淪為教材中的“邊角料”. 文章以“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”探究為例，在實(shí)踐操作中發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，在探索求證中提升邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，在實(shí)際生活問題的分析中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng). 研究者以為開展“閱讀與思考”教學(xué)研究，可在數(shù)學(xué)文化中滲透數(shù)學(xué)思想和方法，隔離“數(shù)學(xué)畏”，提升“數(shù)學(xué)味”，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動(dòng)性，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的螺旋式上升.

[關(guān)鍵詞] 閱讀與思考;數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)味;主觀能動(dòng)性;核心素養(yǎng)

[?]改善閱讀現(xiàn)狀，隔離“數(shù)學(xué)畏”

近幾年，數(shù)學(xué)文化在高考試題中頻頻出現(xiàn)，不管是浙江卷的一小段，還是全國(guó)卷的大篇幅，只要看見文字材料，學(xué)生心里就充斥著“數(shù)學(xué)畏”. 學(xué)生堆積如山的書籍中，除了教材和教輔資料，基本見不著數(shù)學(xué)課外閱讀書籍的身影;在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上，學(xué)生為數(shù)學(xué)消耗的流量少之又少. 數(shù)學(xué)閱讀意識(shí)和主動(dòng)性的缺乏，究其根本是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼，甚至是抗拒. 同時(shí)，教師隊(duì)伍中能被學(xué)生冠以“×神”的多半是數(shù)學(xué)教師. 看不見摸不著，卻又時(shí)刻縈繞在心，有崇敬之意更有畏懼之心，在學(xué)生心中，神一樣存在的不是數(shù)學(xué)教師，而是數(shù)學(xué)本身.

結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，利用教材的每一板塊，打磨教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，研究如何將數(shù)學(xué)從“有畏”變成“有味”，數(shù)學(xué)教師責(zé)無旁貸. 在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)“閱讀與思考”在新授課階段，往往因?yàn)檫M(jìn)度問題被擱置，而到了高三復(fù)習(xí)階段，隨著教材成為壓箱之物，其再次淪為“邊角料”. 據(jù)初步了解，一線數(shù)學(xué)教師對(duì)“閱讀與思考”進(jìn)行深入研究的并不多，能和學(xué)生一起開展研究性學(xué)習(xí)的更是寥寥無幾.

筆者羅列了普通高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）五冊(cè)教科書中的“閱讀與思考”的標(biāo)題（見表1），單從標(biāo)題上看就足以刺激學(xué)生的味蕾. 它匯集了數(shù)學(xué)知識(shí)的源起、發(fā)展、完善和應(yīng)用，展示了古今中外的數(shù)學(xué)魅力. 抽象的數(shù)學(xué)概念、巧妙的數(shù)學(xué)方法、深?yuàn)W的數(shù)學(xué)思想，其起源和發(fā)展都是自然的，不僅合情合理，還富有人情味，這在情感上拉近了學(xué)生和數(shù)學(xué)的距離.

以下是筆者的一堂源于“閱讀與思考”的探究性教學(xué)片段，展示它和大家一起感受“數(shù)學(xué)味”.

[?]“閱讀與思考”教學(xué)案例分析——以“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”為例

數(shù)學(xué)教學(xué)不只在于傳授公式和定理，更在于激勵(lì)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心. 本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)具體生動(dòng)的問題情境，點(diǎn)燃思維火花;類比圓的反射過程，經(jīng)歷觀察、猜想、論證三部曲探究拋物線的光學(xué)性質(zhì);在互助合作中完成橢圓光學(xué)性質(zhì)的探究;了解光學(xué)性質(zhì)在生活中的應(yīng)用，將理論上升到實(shí)踐，感悟?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)是有用的;以探究雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為課后作業(yè)，進(jìn)一步鞏固解析幾何的思想方法，體會(huì)圓錐曲線的統(tǒng)一性. 在教學(xué)過程中努力提升“數(shù)學(xué)味”，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，提升其獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，培養(yǎng)其鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

師：浙江省紹興柯巖風(fēng)景區(qū)的蓮花聽音景點(diǎn)是全國(guó)最大的石蓮花，由99塊巨石拼鋪成半徑為9.9米的圓形. 對(duì)著石蓮花的是一堵圓弧形的回音壁，相傳坐在蓮花中心對(duì)著回音壁誦念經(jīng)文可以和佛心共融共振. 我在游玩時(shí)對(duì)著回音壁說話，真的可以聽到回音，但為什么只有站在蓮花中央時(shí)，回音才是最明顯的？

在回顧光的反射定律后，教師引導(dǎo)學(xué)生從情境問題中抽象出數(shù)學(xué)模型：從圓心射出的光線經(jīng)圓反射后，反射光線再次經(jīng)過圓心，基本解決開篇提出的問題.

師：大家只作出了入射光線和反射光線，請(qǐng)問法線在哪里？法線又是如何確定的？

在導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生學(xué)習(xí)了用曲線上某點(diǎn)處的切線近似替代這一點(diǎn)附近的曲線，即“以直代曲”的思想方法. 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能自然引進(jìn)圓在入射點(diǎn)處的切線所在面作為反射面，再依次作出法線和反射光線.

師：回音有強(qiáng)弱之分能用圖形來說明一下嗎？

在交流合作中，產(chǎn)生了對(duì)照組（如圖1所示），可以清晰地看到站在圓心A處能接收到更多的反射光波. 期間，教師要引導(dǎo)學(xué)生多做幾組光線的反射，從A和B射出的光線，若只畫一條經(jīng)C處反射的光線，就無法解釋回音的強(qiáng)弱. 因此，多次試驗(yàn)，仔細(xì)觀察和認(rèn)真分析可以找到一般規(guī)律. 積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成在日常生活中一般性思考問題的習(xí)慣，把握事物的本質(zhì)，以簡(jiǎn)馭繁，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題[1].

2. 精準(zhǔn)作圖，大膽猜想

類比圓中的光線反射問題，接下來研究從圓錐曲線的焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)曲線反射后的特點(diǎn). 為使學(xué)生方便作圖，教師在學(xué)案上印有精確的圓錐曲線，并標(biāo)出焦點(diǎn)的位置. 同樣，精確性也體現(xiàn)在學(xué)生的作圖過程中，直尺是必需的，有量角器自然是極好的.

先從拋物線入手，學(xué)生依次作出入射光線、拋物線在入射點(diǎn)處的切線、法線和反射光線. 作完一條光線的反射線后，學(xué)生并沒有發(fā)現(xiàn)當(dāng)中蘊(yùn)含的光學(xué)性質(zhì). 回顧上一環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)多次試驗(yàn)才能摸索出它們的共性，隨后選取幾張反射光線近乎平行的練習(xí)予以展示，最后將手動(dòng)的探索過程轉(zhuǎn)移到幾何畫板上，動(dòng)態(tài)的演示使學(xué)生更加直觀地感受到拋物線的光學(xué)特點(diǎn)，并大膽猜想：從焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸.

3. 層層推進(jìn)，分析論證

經(jīng)歷直觀感受和大膽猜想，下一步就是分析論證. 如圖2所示，從拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F射出一條光線，經(jīng)曲線上一點(diǎn)A（x，y）反射，求證反射光線平行于x軸.

要證明反射光線平行于x軸，即證明∠2=∠3，即證明∠1=∠3，即證明AF=BF.

因?yàn)閽佄锞€y2=2px在點(diǎn)A（x，y）處的切線方程為yy=p（x+x），所以相應(yīng)的法線方程為y-y=-（x-x），所以法線與x軸相交于點(diǎn)B（x+p，0），所以BF=x+=AF.

在證明過程中，學(xué)生進(jìn)一步掌握了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法，鞏固了拋物線的定義和在某點(diǎn)處的切線方程，經(jīng)歷了用代數(shù)方法解決幾何問題的三部曲.

4. 明確結(jié)論，實(shí)踐應(yīng)用

通過上述的直觀感受和分析論證，學(xué)生掌握了拋物線的光學(xué)性質(zhì). 在進(jìn)一步介紹拋物面反射鏡后，教師展示了2021年10月18日在希臘奧林匹亞的赫拉神廟前采集北京冬奧會(huì)火種的圖片，并請(qǐng)學(xué)生思考其中的原理. 教材中還有許多拋物線光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用，這使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生產(chǎn)生活的緊密關(guān)系.

5. 遷移方法，探究新知

以探究拋物線的光學(xué)性質(zhì)為例題，橢圓的光學(xué)性質(zhì)研究則是一個(gè)習(xí)題，通過“問題鏈”鞏固研究橢圓光學(xué)性質(zhì)的過程、方法和思想.

問題1：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓上的一點(diǎn)反射后，反射光線有什么特點(diǎn)？

問題2：怎么證明從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓上的一點(diǎn)反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)？

問題3：如何利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解釋電影放映機(jī)的工作原理？

部分學(xué)生通過作圖認(rèn)為反射光線經(jīng)過橢圓的中心，有學(xué)生馬上提出異議：當(dāng)選取橢圓的上頂點(diǎn)作為入射點(diǎn)時(shí)，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn). 得到此錯(cuò)誤結(jié)論，究其原因，首先是作圖不精確，其次是光線的條數(shù)過于單一. 精準(zhǔn)作圖，多次試驗(yàn)，結(jié)合特殊到一般的推理過程，不少學(xué)生能挖掘出橢圓的光學(xué)性質(zhì).

如圖3所示，要證明法線AB為∠FAF的平分線，只要證明=.

因?yàn)闄E圓+=1（a>b>0）在點(diǎn)（x0，y0）處的切線方程為+=1，所以相應(yīng)的法線方程為y-y=（x-x0），所以法線與x軸相交于點(diǎn)B

x，0，所以==. 又

AF===x+a，同理

AF= -x+a，故=.

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是最基本的素養(yǎng)，學(xué)生通過數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的發(fā)展，可以有效促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，進(jìn)而養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、求真務(wù)實(shí)的重要品質(zhì)[2].

6. 課堂小結(jié)

通過把蓮花聽音中的回音問題抽象化、數(shù)學(xué)化，學(xué)生學(xué)會(huì)了光線反射到圓上的研究方法，并把它類比到圓錐曲線中，通過精準(zhǔn)作圖，大膽猜想，嚴(yán)格論證，發(fā)現(xiàn)了拋物線和橢圓的光學(xué)性質(zhì)，了解了它們?cè)趯?shí)際生活中的應(yīng)用，感受到了數(shù)學(xué)的強(qiáng)大“磁場(chǎng)”. 在研究過程中，要注重學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的發(fā)展，在生活實(shí)際問題的分析中提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

7. 教學(xué)反思

本節(jié)課提出了一些具有挑戰(zhàn)性的問題，凸顯了自主探究、合作交流等學(xué)習(xí)方式，部分學(xué)生并不能很好地適應(yīng)，顯得有些束手無策. 冰凍三尺，非一日之寒，這意味著教師在日常的課堂教學(xué)中還沒有真正把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生. 在有限的時(shí)間內(nèi)，學(xué)生完成計(jì)算橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離有一定的困難，可以先將教材中的“信息技術(shù)應(yīng)用——用信息技術(shù)工具探索點(diǎn)的軌跡：橢圓”作為預(yù)備知識(shí)，了解圓錐曲線的第二定義，簡(jiǎn)化計(jì)算曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，不僅為圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的研究提供便捷，而且從離心率的角度再次體現(xiàn)圓錐曲線的統(tǒng)一性.

[?]依托“閱讀與思考”，提升“數(shù)學(xué)味”，凸顯素養(yǎng)觀

學(xué)生經(jīng)過中考分層，學(xué)習(xí)能力不相上下，并處于同一學(xué)習(xí)環(huán)境，而經(jīng)過三年的時(shí)間，分差可以從中考的二十幾分上升到幾百分. 這期間，學(xué)生的主觀能動(dòng)性起著主導(dǎo)作用，能否主動(dòng)、獨(dú)立甚至富有創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)不僅決定著他們的高考分高低，更決定著他們是否可以持續(xù)發(fā)展. 在現(xiàn)實(shí)生活、日常情境中，數(shù)學(xué)無處不在，常常日用而不自知，對(duì)數(shù)學(xué)模型的感知、判斷、思考和應(yīng)用，在一定程度上決定著我們的智性水平、理性高度和文野之分[3]. 數(shù)學(xué)教學(xué)切不可就題論題，停留在抽象的層面，否則極易引起學(xué)生的“數(shù)學(xué)畏”. “閱讀與思考”給師生提供了教學(xué)素材，指明了教學(xué)方向，提升了“數(shù)學(xué)味”，凸顯了素養(yǎng)觀.

1. 數(shù)學(xué)可以追尋歷史，放眼未來

數(shù)學(xué)是一面鏡子，用數(shù)字、符號(hào)和圖形折射出過去和未來. 在《放射性物質(zhì)的衰減》中，引進(jìn)良渚遺址中發(fā)掘的草裹泥來研究水壩的修建時(shí)間，進(jìn)而刷新對(duì)中國(guó)文明起源的認(rèn)知. 良渚古城被列入世界遺產(chǎn)，良渚文化得到國(guó)際社會(huì)的普遍認(rèn)可離不開碳元素檢測(cè)，它比其他史料和考古都更具說服力. 《放射性物質(zhì)的衰減》文末還提出：如果函數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng)，那么稱函數(shù)值增長(zhǎng)為原來的兩倍所用的時(shí)間為“倍增期”. 將倍增期的概念和當(dāng)下人口問題相結(jié)合，提出計(jì)算人口倍增期的兩種方法：①p=pekn，②p=p（1+k）n，其中p為n年后的人數(shù)，p為原有人數(shù)，k為人口年增長(zhǎng)率，n為經(jīng)過的年數(shù)，當(dāng)=2時(shí)，求得的n就是人口倍增期. 查閱過去幾十年中國(guó)人口總數(shù)，經(jīng)過函數(shù)擬合，預(yù)測(cè)20世紀(jì)80年代若無實(shí)行計(jì)劃生育的情況下人口自然增長(zhǎng)的倍增期，體會(huì)數(shù)學(xué)在國(guó)家宏觀調(diào)控上的價(jià)值.

2. 數(shù)學(xué)可以洞察萬(wàn)物，精準(zhǔn)反饋

數(shù)學(xué)是一部探測(cè)儀，可以強(qiáng)力分辨、準(zhǔn)確定位隱埋在深處的問題. 《統(tǒng)計(jì)學(xué)在軍事中的應(yīng)用——二戰(zhàn)時(shí)德國(guó)坦克總量的估計(jì)問題》介紹了用不放回抽樣來估計(jì)離散型均勻分布最大值，強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計(jì)方法的精確性和有效性是常規(guī)情報(bào)收集方法無法比擬的. 學(xué)習(xí)了《如何得到敏感性問題的誠(chéng)實(shí)反應(yīng)》，學(xué)生可以自己動(dòng)手設(shè)計(jì)問卷，開展考試作弊、校園欺凌等敏感性問題的調(diào)查. 《孟德爾遺傳規(guī)律》在概率統(tǒng)計(jì)的指引下開啟了遺傳學(xué)的大門，洞察到外在表象下隱含著的生命密碼. 《大數(shù)據(jù)》依托數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)分析結(jié)果做出決策，影響著人們的生活方式，例如每天的天氣預(yù)報(bào). 近年來，教育事業(yè)快速發(fā)展，全面步入“智慧教育”新時(shí)代，其中一個(gè)方面就是大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué).

3. 數(shù)學(xué)可以化繁為簡(jiǎn)，高效運(yùn)作

數(shù)學(xué)善于思考問題的共性，提出高效的解決方案，是計(jì)算機(jī)技術(shù)的基礎(chǔ)和核心，是最強(qiáng)大腦. 《中國(guó)古代數(shù)學(xué)家求數(shù)列和的方法》介紹了北宋數(shù)學(xué)家沈括為了求一層層壘起的酒壇總數(shù)，提出了二階等差數(shù)列的一個(gè)求和公式，即“隙積術(shù)”，為后續(xù)“垛積術(shù)”的研究奠定了基礎(chǔ). 學(xué)習(xí)《向量概念的推廣與應(yīng)用》，借鑒材料中校服廠家定制服裝的過程，學(xué)生可以就班服的購(gòu)買問題進(jìn)行一次數(shù)學(xué)實(shí)戰(zhàn)演練，選考技術(shù)的學(xué)生還可以根據(jù)所學(xué)的知識(shí)編寫一套程序，高效解決這一問題. 這些“閱讀與思考”可以讓學(xué)生深刻地體會(huì)到數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的有效性.

[?]結(jié)語(yǔ)

“閱讀與思考”的教學(xué)研究活動(dòng)可以促使學(xué)生從實(shí)際背景抽象出數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問題，用邏輯推理解決問題，進(jìn)一步指導(dǎo)實(shí)踐，極大地活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. “閱讀與思考”的課堂富有問題性、抽象性、推理性、探索性，充滿著“數(shù)學(xué)味”. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)[4]. 數(shù)學(xué)雖源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，但在教學(xué)過程中不能只有抽象，還應(yīng)時(shí)時(shí)刻刻回顧其與社會(huì)生活的關(guān)系，為社會(huì)創(chuàng)造的價(jià)值. “閱讀與思考”真正體現(xiàn)了這一要求. 因此教師應(yīng)將“閱讀與思考”教學(xué)落到實(shí)處，提升“數(shù)學(xué)味”，凸顯素養(yǎng)觀，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，使學(xué)生以更高的熱情投身于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

[1] ?中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] ?王娟，李保臻. 基于數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)研究——以初中“因式分解”內(nèi)容為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2019（04）：1-6.

[3] ?裴亞光. 數(shù)學(xué)教學(xué)是圓夢(mèng)之旅——在湖北大學(xué)第四屆（2017）數(shù)學(xué)文化節(jié)上的報(bào)告[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（25）：2-4.

[4] ?中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.