何偉

[摘 ?要] 教學(xué)中，教師要切實(shí)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo)，少一些“灌輸”，多一些“引導(dǎo)”和“點(diǎn)撥”，以此激活思維，誘發(fā)思考，提升教學(xué)有效性. 文章以“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”為例，對(duì)不同設(shè)計(jì)、呈現(xiàn)方式進(jìn)行對(duì)比和分析，展示自主探究的價(jià)值，談幾點(diǎn)對(duì)“生本課堂”建構(gòu)的建議，以期學(xué)生能夠真正參與課堂，讓課堂更有效、更高效.

[關(guān)鍵詞] 激活思維;有效性;自主探究

在一次校內(nèi)技能大賽上，數(shù)學(xué)組以“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”為題開展同課異構(gòu)課，各位教師精心籌備，耐心打磨，數(shù)學(xué)課堂呈現(xiàn)了別樣精彩. 筆者在聽課、評(píng)課中收獲頗豐，現(xiàn)簡(jiǎn)單呈現(xiàn)不同設(shè)計(jì)的教學(xué)片段，并進(jìn)行了比較研析，若有不當(dāng)之處請(qǐng)同人指正.

[?]研探教學(xué)模式

1. 方案1（借助情境，鋪設(shè)方法臺(tái)階）

師：課前大家已經(jīng)閱讀了“棋盤上的麥粒”這個(gè)故事，誰(shuí)來說一說國(guó)王需要給大臣多少麥粒？

生1：S=1+2+22+…+263①.

師：很好，這個(gè)就是我們今天研究的課題：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

師：如果國(guó)王愿意加倍給大臣麥粒，此時(shí)國(guó)王需要準(zhǔn)備多少麥粒呢？

生2：這個(gè)簡(jiǎn)單，每個(gè)格子都乘2就可以了，也就是2S=2+22+23+…+264②.

師：你能算出國(guó)王多給大臣多少麥粒嗎？

生3：②式與①式相減，得S=264-1.

師：很好，這樣①式和②式中許多相同的項(xiàng)通過相減即可消除，我們將該方法稱為“錯(cuò)位相減法”. 現(xiàn)在我們逐漸向一般化推廣：若公比為q，首項(xiàng)為1，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是什么？

生4：S=1+q1+q2+…+qn-1③.

師：很好. 這里的S如何求解呢？

生5：qS=q1+q2+q3+…+qn④，④式與③式相減，得（q-1）S=qn-1，故S=.

師：若等比數(shù)列的首項(xiàng)由“1”變?yōu)椤癮”，又該如何辦呢？

學(xué)生通過模仿，輕松得到S=.

師：我們也可以將S=記為S=. 注意，此時(shí)q≠1，當(dāng)q=1時(shí)，S=na.

師：除了應(yīng)用錯(cuò)位相減法外，你還能想出其他方法嗎？

學(xué)生沉默，接下來在教師的提示和指導(dǎo)下，學(xué)生又找到了另外兩種推導(dǎo)的方法.

從以上教學(xué)過程可以看出，教師借助具體情境為學(xué)生提供了解決問題的方案，降低了思維的難度，由特殊到一般的推廣符合學(xué)生的認(rèn)知水平，易于學(xué)生理解和接受[1]. 但是該方法是教師直接拋出的，難免讓學(xué)生產(chǎn)生困惑，例如這里的“2”是教師直接給出的，沒有體現(xiàn)學(xué)生的思維過程：為什么是“2”呢？“2”是怎么出現(xiàn)的呢？雖然在一般化的證明中學(xué)生找到了解決問題的方案，但那僅是一種簡(jiǎn)單的套用，自主探究流于形式，并沒有引發(fā)學(xué)生的深度思考，這樣學(xué)生只會(huì)對(duì)錯(cuò)位相減法感到驚訝，難以產(chǎn)生深刻的印象，也難以重視;學(xué)生的思路被教師牽著走，難以激發(fā)探究熱情，難以體會(huì)自主探索帶來的成就感.

另外，教學(xué)中教師鋪設(shè)了S，2S，求S時(shí)學(xué)生必然會(huì)選擇②-①，雖然①-②和②-①在本質(zhì)上沒有區(qū)別，但是學(xué)生在沒有理解和掌握錯(cuò)位相減法的前提下，若讓學(xué)生將兩式混減，無(wú)疑會(huì)增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，不利于培養(yǎng)學(xué)生錯(cuò)位相減法常規(guī)操作習(xí)慣.

不過，以上教學(xué)過程也有其一定的優(yōu)勢(shì)，對(duì)于學(xué)習(xí)能力一般的學(xué)生來說，通過教師鋪設(shè)方法的臺(tái)階，為學(xué)生提供探究線索，讓學(xué)生在由特殊到一般的推導(dǎo)過程中能夠“跳一跳，摘桃子”. 同時(shí)，在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生快速地找到了解決問題的方案，節(jié)省了學(xué)生探索的時(shí)間.

2. 方案2（借助猜想，尋找思維臺(tái)階）

通過課前導(dǎo)學(xué)，給出課題：如何求解S=1+2+22+…+263.

師：1=21-1，1+2=3=22-1，1+2+22=？（學(xué)生積極參與）

生1：1+2+22=7=23-1.

師：很好，那么1+2+22+23=？

生2：1+2+22+23=15=24-1.

經(jīng)歷以上思維過程，由不完全歸納法，猜想得S=1+2+22+…+263=264-1. 教師繼續(xù)引導(dǎo)，猜想得1+2+22+…+2n-1=2n-1，30+31+32+…+3n-1=，40+41+42+…+4n-1=，繼而通過猜想得出一般的結(jié)論：q0+q1+q2+…+qn-1=（q≠1）.

這樣，通過以上猜想，等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式呼之欲出——a+aq1+aq2+…+aqn-1=（q≠1）. 最后，在教師的點(diǎn)撥和啟發(fā)下，運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行驗(yàn)證.

數(shù)學(xué)猜想作為一種創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最積極、最活躍的因素之一，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的強(qiáng)大動(dòng)力. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)一定條件引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，以此發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力和總結(jié)概括能力，培養(yǎng)學(xué)生敢于創(chuàng)新、勇于探索的精神. 本課突出了“歸納—猜想—證明”的數(shù)學(xué)思想方法，激活了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 通過試真推理，從結(jié)構(gòu)分析獲得數(shù)學(xué)靈感，歸納猜想出了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，是一種較好的尋求結(jié)果的方法. 但是對(duì)于本課，學(xué)生通過猜想得到了結(jié)論，這樣讓學(xué)生失去了探究未知的熱情，有可能造成學(xué)生解決問題的內(nèi)驅(qū)力不足，影響學(xué)生后續(xù)推理驗(yàn)證的熱情，影響學(xué)生思維能力的發(fā)展和提升.

3. 方案3（巧妙啟發(fā)，為思維發(fā)展架橋鋪路）

師：相信課前導(dǎo)學(xué)內(nèi)容大家都已經(jīng)認(rèn)真閱讀了，現(xiàn)在誰(shuí)來說一說，每個(gè)格子所放的麥粒數(shù)可以看成什么數(shù)列？

生1：首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列.

師：若想求出64個(gè)格子的麥粒數(shù)總和，其實(shí)質(zhì)是求什么呢？

生2：求這個(gè)等比數(shù)列的和，S=1+2+22+…+263.

師：很好，如何算這個(gè)式子就是我們本節(jié)課研究的主題. 若將其符號(hào)化，即算S=a+a+a+…+a+a.

師：在此之前，我們學(xué)習(xí)過什么數(shù)列的求和公式？

學(xué)生齊聲答：等差數(shù)列.

師：等差數(shù)列的求和公式是什么？（教師點(diǎn)名讓學(xué)生回答）

生3：S==na+d.

師：很好. 那么對(duì)于等比數(shù)列，我們能不能也像等差數(shù)列那樣，用已知的相關(guān)量將其簡(jiǎn)潔地表示出來呢？

師：我們學(xué)習(xí)過等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，并有等差數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，那么運(yùn)用這些已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，你們是否能夠推導(dǎo)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和呢？（教師預(yù)留5分鐘讓學(xué)生合作探究）

生4：根據(jù)定義可將S=a+a+a+…+a+a寫成S=a+aq+aq2+…+aqn-2+aqn-1①，兩邊同時(shí)乘q，得qS=aq+aq2+aq3+…+aqn-1+aqn②.

師：同時(shí)乘q的目的是什么？（師追問）

生4：獲得相同的項(xiàng)，由①-②得（1-q）S=a-aqn，所以S=（q≠1）.

師：很好，非常新穎，若q=1呢？

生4：若q=1，則S=na.

師：非常好的方法，我們一起回顧一下，以上推導(dǎo)有哪幾個(gè)關(guān)鍵的步驟呢？

學(xué)生通過回顧一致認(rèn)為，乘公比、錯(cuò)位、相減為推導(dǎo)的關(guān)鍵. 此時(shí)學(xué)生的思維活躍，教師順勢(shì)讓學(xué)生嘗試應(yīng)用其他方法繼續(xù)探究，但學(xué)生并沒有提出新方法，于是教師給出了另外一種推導(dǎo)方法：

因?yàn)閍=aq，a=aq，a=aq，…，a=aq，所以a+a+…+a+a=q（a+a+a+…+a），S-a=q（S-a），（1-q）S=a-aqn……

在本課教學(xué)中，從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列求和公式，尋找等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法，符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和思維發(fā)展規(guī)律. 對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，雖然錯(cuò)位方法不同，但是其數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是一致的，因此與已有經(jīng)驗(yàn)和方法相類比是行之有效的策略.

在教師細(xì)致入微的引導(dǎo)下，讓學(xué)生的思維層層深入，通過合作探究完成了推導(dǎo). 不過，讓學(xué)生嘗試應(yīng)用其他方法進(jìn)行推導(dǎo)，學(xué)生沒有太多的發(fā)現(xiàn)，可見細(xì)致入微的引導(dǎo)在一定程度上限制了學(xué)生思維，影響了學(xué)生發(fā)展，為教學(xué)帶來了一些遺憾. 其實(shí)，在實(shí)際教學(xué)中，教師可以少講一些，多留一些時(shí)間和空間讓學(xué)生獨(dú)立思考和合作交流，這樣在不同思維的碰撞下，更易于激發(fā)學(xué)生思維的火花[2].

4. 方案4（點(diǎn)撥思維，放手探究）

課上教師引入故事“棋盤上的麥?！?

師：如果你是國(guó)王，你會(huì)答應(yīng)這個(gè)要求嗎？

學(xué)生齊聲答：不會(huì).

師：為什么？這個(gè)要求不高吧？不就是給點(diǎn)麥粒嗎？

生1：這個(gè)要求還不高嗎？這個(gè)加起來很多的，一共需要給1+22+…+263.

師：哦！是嗎？判斷多與少最好用數(shù)據(jù)來說話，這個(gè)算式應(yīng)該怎么算呢？（提出問題）

此時(shí)學(xué)生竊竊私語(yǔ)，有的說可以用計(jì)算器算，有的說應(yīng)該用計(jì)算公式.

師：如果通過計(jì)算器幫助國(guó)王解決了這個(gè)問題，又有其他人提出第一個(gè)格子放2顆麥粒，接下來每個(gè)格子都是前一個(gè)格子麥粒數(shù)的2倍，我們又該怎么辦呢？如果第一個(gè)格子放3粒呢？這些都是一些類似的問題，我們必須要找到一般的解決方法才能幫助國(guó)王徹底解決這個(gè)難題. 誰(shuí)來概括一下，這些類似的問題是哪一類問題？

生2：等比數(shù)列求和.

師：很好，這樣把問題一般化，即求S=a+a+a+…+a+a. 對(duì)于這個(gè)問題，你認(rèn)為我們可能遇到的最大障礙是什么？

生3：量太多，需要將“無(wú)限”轉(zhuǎn)化為“有限”.

師：說得很好，確實(shí)量太多了，由a到a共有n個(gè)量，如何才能減少這些量呢？之前我們是否接觸過類似的問題呢？

生4：在推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式時(shí)接觸過，同樣也有n個(gè)量，利用倒序相加的方法消項(xiàng)，最后轉(zhuǎn)化用a，n，d或a，a，d這三個(gè)基本量來表示.

師：很好，那么對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是否也可以轉(zhuǎn)化用三個(gè)基本量來表示呢？

生5：用a，n，q表示S=a+aq+aq2+…+aqn-2+aqn-1①.

師：轉(zhuǎn)化后項(xiàng)數(shù)還是太多了，如何消項(xiàng)呢？（點(diǎn)明思考方向）

生6：根據(jù)定義=q，則aq=a（n≥2），這樣用定義推導(dǎo)是否可行呢？

師：是一個(gè)不錯(cuò)的思路，請(qǐng)大家圍繞定義進(jìn)行探索，看看你有哪些發(fā)現(xiàn)，看看是否能夠找到不同的推導(dǎo)方法.

教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，3分鐘后進(jìn)行小組互動(dòng)交流.

師：誰(shuí)來和大家分享一下？

生7：整體乘q，得qS=aq+aq2+aq3+…+aqn-1+aqn②.

師：你的目的是什么？

生7：乘公比后，①式和②式中就有許多相同的項(xiàng)，這樣兩式相減可消項(xiàng). 由①-②得（1-q）S=a-aqn，S=（q≠1）. 若q=1，則S=na.

師：你是如何想到乘公比q的呢？

生7：根據(jù)定義可知，a=aq，a=aq，…，a=aq，每一項(xiàng)乘q，這樣每一項(xiàng)就等于往后挪了一項(xiàng).

師：非常棒. 完成這一操作需要幾個(gè)步驟呢？

生7：共有四個(gè)步驟：乘公比;錯(cuò)位;相減;化簡(jiǎn).

師：很好，生7的推導(dǎo)方法和課本不謀而合，這個(gè)方法我們稱為錯(cuò)位相減法，非常完美的解法. 這樣目標(biāo)就可以用a，n，q這三個(gè)量來表示了. 你們還有其他方法嗎？

生8：因?yàn)?=…==q，所以=q，=q……

師：很好，利用合比定理，通過整體代換也實(shí)現(xiàn)了這一轉(zhuǎn)化，得到了求和公式. 有什么需要注意的嗎？

生9：分類討論.

師：這是從嚴(yán)謹(jǐn)性來考慮. 還有其他問題嗎？

生10：以上為分式結(jié)構(gòu)，要確保分母不能為0.

生11：q為-1時(shí)，此方法也不適合.

師：很好，還有其他方法嗎？

生12：a+a+…+a+a=q（a+a+a+…+a），S-a=q（S-a），（1-q）S=a-aqn……

生13：a=a+（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）=a+a（q-1）+a（q-1）+a（q-1）+…+a（q-1）=a+（q-1）（a+a+a+…+a）=a+（q-1）（S-a），所以可得S=

，q≠1，

na，q=1.

師：大家真是太棒了，通過構(gòu)造、提取、整體代換，使公式轉(zhuǎn)化為基本量的最簡(jiǎn)形式. 我想大家還有其他方法，但限于時(shí)間關(guān)系，這里就不一一探究了，課下同學(xué)們可以繼續(xù)交流，分享你們的奇思妙想.

在本課教學(xué)中，教師通過創(chuàng)設(shè)問題使學(xué)生陷入矛盾，接下來通過啟發(fā)、點(diǎn)撥，讓學(xué)生在獨(dú)立思考和合作探究中得出結(jié)論. 教學(xué)中，學(xué)生每給出一種方法，教師都會(huì)提出自己的疑問，以誘發(fā)學(xué)生深度思考，培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，幫助他們完善思維. 以上探究活動(dòng)既是基于學(xué)生原有認(rèn)知的一種建構(gòu)，又是對(duì)學(xué)生思維的一種發(fā)展，讓學(xué)生在探究中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)探索、學(xué)會(huì)合作.

[?]后續(xù)思考

1. 課堂教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)障礙，關(guān)注學(xué)生思維能力的發(fā)展和提升

在錯(cuò)位相減法生成的過程中，部分教師為了追求效率，在一定程度上忽視了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教師牽著學(xué)生朝著自己預(yù)設(shè)的方向走，這樣雖然在教師的引領(lǐng)下得出了結(jié)論，但學(xué)生掌握的僅僅是解決這一問題的方法，并不能認(rèn)清問題的本質(zhì)，更不能將其提升至思維的高度，因此出現(xiàn)了“知其然，而不知所以然”的情況. 這樣的自主探究是被動(dòng)的、低效的，難以促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，要為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)開放的學(xué)習(xí)空間，從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生切身經(jīng)歷方法的生成過程，明確思想方法，揭示思維本質(zhì)，突破思維障礙，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走上自然發(fā)展之路[3].

2. 課堂教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo)，多一些啟發(fā)和引導(dǎo)，少一些講授和灌輸

學(xué)生是課堂的主角，學(xué)生積極參與的課堂才是精彩的、有效的、高質(zhì)的課堂. 但在實(shí)際教學(xué)中，教師成了大多課堂的主角，教學(xué)活動(dòng)以教師為主，教師常將自己的經(jīng)驗(yàn)和方法強(qiáng)加給學(xué)生，限制了學(xué)生的思維發(fā)展. 例如，在等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)活動(dòng)中，對(duì)于多種解法應(yīng)視學(xué)情而定：若是學(xué)生自行給出的，教師要為學(xué)生提供展示的舞臺(tái);若學(xué)生發(fā)現(xiàn)得少，教師應(yīng)通過適當(dāng)引導(dǎo)和啟發(fā)，讓學(xué)生“跳一跳”;若學(xué)生無(wú)法給出更多的解法，教師不要強(qiáng)求，只要學(xué)生能夠掌握一兩種解法即可. 教學(xué)中，教師切勿貪多，要視學(xué)情靈活調(diào)整教學(xué)策略，這樣讓學(xué)生真正參與其中，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于探索的好品質(zhì).

總之，在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)踐行“三個(gè)理解”，以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo)，為學(xué)生提供一個(gè)自由的、廣闊的學(xué)習(xí)空間，讓其自由翱翔.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?劉雪亮. 構(gòu)建生本課堂，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展——對(duì)高中數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的認(rèn)識(shí)思考[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（11）：62.

[2] ?劉宇徹. 淺談探究式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 求知導(dǎo)刊，2021（10）：75-76.

[3] ?劉國(guó)旭. 探討互助式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用[J]. 中國(guó)校外教育，2019（26）：137-138.