呂增鋒

(象山縣第二中學,浙江 象山 315731)

在數學教學中，很多教師首先關注的是教學內容中有哪些知識點，每個知識點又包含哪些知識要素，然后在此基礎上圍繞這些知識點及其要素開展教學.這種以知識點為單位，按照其內在邏輯關系逐個實施的教學方式被稱為知識點教學.從短期看，知識點教學對于知識點的掌握、數學思想方法的領悟具有積極的作用，但從長遠看，知識點教學根本無法承擔發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重任.最近，筆者所在縣舉行了教壇新秀課堂教學評比，上課的主題是“數列的遞推公式”.下面，筆者就結合本次比賽的課例談談自己的一些教學心得.

1 知識點教學的弊病

對于“數列的遞推公式”這節(jié)課，所有的參賽教師都采用知識點教學，而且基本上都是以“求遞推數列的通項公式”這一知識點為主線，先對問題進行梳理歸類，再根據不同類型的問題提出相應的解題方法，最后，把所有的題型歸結為以下幾類情況：

1)累加法：an+1-an=c(n).

3)待定系數法1：an+1=Aan+B?an+1+λ=A(an+λ).

4)待定系數法2：an+1=Aan+Bn+C?an+1+λ(n+1)+μ=A(an+λn+μ).

5)特征根與不動點法：an+2=pan+1+qan，其特征方程為x2=px+q.若方程有兩個異根α,β，則

an=c1αn+c2βn；

若方程有二重根，即α=β，則

an=(c1+nc2)αn，

其中c1,c2是待定常數.

由于參賽的課例都是以“求遞推數列的通項公式”為中心進行教學設計的，因此總體上看大同小異，唯一的區(qū)別體現在問題類型的選擇上，有的課涉及的問題類型比較多，有的課著重探究1～2種方法，不僅如此，知識點教學固有的弊病也在這些課例中暴露無遺.

1.1 知識碎片化

知識點教學的基本原理是先把教學內容分割成一個個相對獨立的知識點，然后圍繞著如何讓學生熟練掌握知識點“做文章”.這種化整為零的做法雖然有助于分散教學的難度，但無形中也割裂了知識之間的聯(lián)系，導致學生的認知碎片化.比如，在“數列的遞推公式”的教學中，知識點教學讓師生的注意力都集中在如何求通項公式上，而忽視了對于“遞推公式與數列的通項公式之間到底存在什么關系”這個核心問題的思考.知識點教學造成的直接后果就是學生只會“求通項”，而不知道“為什么要這樣求”，也就是我們常說的“知其然而不知所以然”.

1.2 思維定式化

不能說知識點教學完全無視知識的結構化，但這種結構化只是知識點之間和知識點內部要素之間的結構化，通過知識片段的拼湊與堆積來實現對知識整體的窺探，并非核心觀點的結構化.但在實際操作中，學生不僅很難利用這些雜亂無序的知識點來實現對知識的完整建構，而且還容易造成思維定式.在上述課例中，看似把所有問題的可能性都羅列出來了，學生只要“套用”現成的結論就行了，但學生在反復調用現成結論的過程中很容易產生思維定式，一旦問題的結構發(fā)生改變，就很難做到從容應對.

1.3 學習效果短期化

由于知識點教學對于知識點各要素的學習要求缺乏明確的區(qū)分，如果教學內容中的知識點一多，知識點教學就容易陷入細枝末節(jié)之中，從而使學生對數學方法的認知停留在淺層的模仿與記憶上，而無法觸及方法的本質，最終導致教學效果無法達到預期.在這些課例中，盡管提供了針對不同類型問題的解題方法，但這些方法要么是學生已經非常熟悉的累加法與累乘法，要么是遠遠超出學生認知水平與教學要求的“特征根與不動點法”，至于“待定系數法”一般也不做直接考查要求，學生記不記“公式”也不會影響問題的解決.總而言之，這些方法要么太膚淺了，要么太高深了，要么就是可有可無的存在，因此，這節(jié)課的真實意義并不大，而且隨著時間的推移或者訓練量的減少，學生在知識點教學中所獲得的知識技能很快會被遺忘.

2 大概念教學的內涵及優(yōu)勢

大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價值[1]，是“居于學科基本結構的核心概念或若干居于課程核心位置的抽象概念，通過整合相關知識、原理、技能、活動等課程內容要素，形成的有關聯(lián)的課程內容組塊”[2]；大概念能夠解釋較大范圍內的一系列相關現象、事實以及相互關系；能將較大范圍內分散的知識和事實聯(lián)結為有結構、有系統(tǒng)的整體；能作為一種解釋模型，賦予個別的、具體的事實以深層的意義.

如圖1，按照大概念所在的層級，由高到低可以被細分為課程大概念、單元大概念、章節(jié)大概念、課時大概念.課程大概念處于頂尖位置，其下面的3個“大概念”相對于它來說就成了“小概念”或者“次級概念”；同樣地，課時大概念、章節(jié)大概念，相對于單元大概念來說，也是“小概念”“次級概念”，這也說明了大概念的“大”具有相對性，在每個層級中都有處于統(tǒng)攝地位的“大”概念.

圖1

大概念教學是以大概念為錨點組織教學的一種方式，具體地說，就是先從學科知識體系和邏輯結構出發(fā)，提取學科大概念；然后，圍繞大概念搭建核心觀點框架；最后，將學科大概念細化為一個次級概念，成為課時教學的立意或者主題來統(tǒng)攝整節(jié)課的教學，從而實現提升學生能力與素養(yǎng)的目的.

“結構”“聯(lián)系”“遷移”是大概念教學的基本特征，大概念教學的優(yōu)勢正是源于對這3個關鍵詞的理解和把握.首先，用大概念統(tǒng)攝與組織教學內容，能夠使離散的事實、技能相互聯(lián)系、結構化，并被賦予一定意義；其次，大概念教學強調引導學生超越對知識和技能的學習，走向那些超越時空和情境而存在的、可遷移的觀點和思想[3]，從而促使深度學習的發(fā)生；最后，大概念教學有明晰的學習目標和有效的表現性任務，這有利于學生自主、合作、探究學習的開展.在大概念教學中，教師要成為學科教學的專家，不僅要知道教什么，而且還要知道為什么而教；不僅要理解學生，也要理解設計——單元設計、活動設計、問題設計等，用自己豐富的專業(yè)知識引領學生像專家那樣思考，使學生也成為學習的專家.

3 數學大概念教學的實踐

3.1 提取大概念，明確學習目標

由于大概念具有內隱性的特點，不容易被人發(fā)現和理解.因此，在明確教學主題后，需要站在單元的高度甚至學科系統(tǒng)的高度對教學主題包含的學科事實以及相互關系，進行多視角分析，進而提煉學科大概念.大概念一般可以從課程標準、核心素養(yǎng)、專家思維、概念派生、生活價值、知能目標、學習難點、評價標準這8條路徑進行提取，并且大概念的獲得通常都是綜合多條路徑的結果.

為了獲取“數列的遞推公式”這個教學主題的大概念，就需要站在整個“數列”單元的高度對教學內容進行剖析.從生活價值的角度看，數列的研究源于生產、生活的需要；從課程標準的角度解讀，數列是一類特殊的函數，要用函數的思想方法來研究數列；從學習目標的角度定位，只要求能根據遞推公式寫出數列的前n項，掌握由一些由簡單遞推公式求通項公式的方法.

綜合上述分析，一方面，不難發(fā)現比賽課例中以“求遞推數列的通項公式”為中心的做法確實偏離了正常的教學軌道；另一方面，統(tǒng)攝本節(jié)內容的課時大概念也逐步得到明晰，那就是“遞推公式是數列的一種表示方法”，而本節(jié)課的學習目標就是形成“數列能夠用遞推公式來表示”的意識，發(fā)展學生“借助遞推公式”來研究數列的能力.

3.2 聚焦大概念，形成結構化的知識

提取大概念后，接下去就要以大概念為主線對教學內容進行梳理，調整前后順序，打破原有的知識邊界，結合教師對學生知識學習、思維發(fā)展和能力提升的系統(tǒng)考慮和期待，將建構大概念所需的知識打造成一個聯(lián)系緊密的結構化整體.

雖然“遞推思想”貫穿于整個數列單元，包括等差、等比數列也都是借助遞推公式進行定義的，但在教材中，“遞推公式”的概念及簡單應用卻只在“數列的概念與表示”中有所涉及，內容本身顯得非常單薄.因此，若沒有一個大概念作為支撐，則本節(jié)課的教學很難有效開展.有了“遞推公式是數列的一種表示方法”的認識后，就可以從這個大概念出發(fā)對相關內容進行整合，形成本節(jié)課的知識結構，如圖2所示.

圖2

3.3 細化大概念，設計學習流程

在設計學習流程時，一方面要依據學生的認知水平設置教學內容的先后順序、認識角度和理解路徑.另一方面由于大概念不是一個看得見、摸得著的事實，因此，不可能直接“教”給學生，需要把大概念細化為與基本事實、具體問題、學生經驗直接相關的“小概念”，進而設計與之相呼應、有一定挑戰(zhàn)性的且能夠充分體現綜合性、層次性、關聯(lián)性、實踐性的“學習任務”和“驅動性問題”，助力學生進行多視角的學習理解、應用實踐和遷移創(chuàng)新.

如圖3，借助“數列是一類特殊的函數”這個單元大概念確定“類比函數的表示方法”作為本節(jié)課的教學思路；通過細化“遞推公式是數列的一種表示方法”課時大概念，可以得到“數列的遞推公式不唯一”“并非所有的遞推公式都可以求通項公式”“遞推公式具有應用價值”等一系列“小概念”，并以此為基礎設計了本節(jié)課的四大學習任務以及對應的學習內容.

圖3

對于每個學習任務中的問題設計要求做到層層遞進、環(huán)環(huán)相扣、步步深入、由此及彼，不斷地驅動學生的思考與學習的進程.

比如，在任務2中，為了揭示“數列的遞推公式不唯一”這一事實，可以設計如下問題：

問題1你能用遞推公式表示等差數列嗎？

遞推公式為an+1-an=d,2an+1=an+an+2.

問題2若等差數列an=2n+1，你能寫出它所對應的遞推公式嗎(至少寫出3個)？

問題3對于一個數列來說，它所對應的遞推公式唯一嗎？

不唯一.

問題4數列是一類特殊的函數，能否從函數的視角分析遞推公式到底是什么？

遞推公式類似于函數中的抽象函數關系.

又比如，在任務4中，讓學生在豐富的經典數學問題情境中體會遞推思想在揭示問題本質及優(yōu)化算法中的作用.

問題5如圖4所示的一系列正方形圖案稱為謝爾賓斯基地毯，在3個大正方形中，著色的小正方形的個數依次構成一個數列{an}的前3項，求數列{an}的一個通項公式.

圖4 圖5

提示:先寫出遞推公式a1=1,an+1=8an+1或a1=1,an+1-an=8n.

問題6如圖5，有3根桿子A,B,C，其中桿C上有若干碟子，把所有碟子從桿C上移到桿B上，每次只能移動一個碟子，大的碟子不能疊在小的碟子上面，求最少要移動多少次？

提示:當桿C上有n-1個碟子時，設總移動次數為an-1次，當桿C上有n個碟子時，設總移動次數為an次，那么它們之間滿足遞推關系a1=1,an=2an-1+1.

問題7假設一對剛出生的小兔一個月后就能長成大兔，再過一個月就能生下一對小兔，并且此后每個月都生一對小兔，一年內沒有發(fā)生死亡，問:一對剛出生的兔子，一年內能繁殖成多少對兔子?

提示:設an表示第n個月的兔子數，則滿足遞推公式a1=1,an+2=an+an+1.

在“數列的遞推公式”這節(jié)課中，大概念教學引領學生對遞推公式是什么、為什么、有什么用、怎么學等一系列問題進行了全面的剖析，充分體現了單元教學的整體性和系統(tǒng)性，能夠為學生對數學知識、思想和方法的掌握形成網狀結構認知，并提供一個統(tǒng)籌兼顧、整體規(guī)劃的場域[4]，從而實現課堂的轉型與育人模式的轉變，這也是大概念教學的最大優(yōu)勢之所在.