孫 凱, 蔡支梅

(1.陽山實驗初級中學(xué)校，江蘇 蘇州 215151;2.相城區(qū)漕湖學(xué)校，江蘇 蘇州 215000)

1 研究背景

進(jìn)入21世紀(jì)以來，各國與各地區(qū)啟動的新一輪課程改革都將學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想的形成以及數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)之一.能力通常是指一個人能夠以知識性和反思性的方式解決一類困難[1].初中生數(shù)學(xué)建模能力(以下簡稱建模能力)是指初中學(xué)生利用形式化的數(shù)學(xué)模型去反映現(xiàn)實問題中的關(guān)系結(jié)構(gòu)，通過對數(shù)學(xué)模型的求解和檢驗，解答現(xiàn)實原型中某些問題的能力[2].數(shù)學(xué)建模能力作為初中生(以下簡稱學(xué)生)最重要的數(shù)學(xué)能力之一，理應(yīng)引起一線初中數(shù)學(xué)教師的重視.數(shù)學(xué)建模能力如此重要，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力水平怎么樣？學(xué)生建模能力水平的影響因素有哪些？怎樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力？這些問題亟待研究和解決.

2 測評分析

2.1 測評對象

測評對象為某市轄內(nèi)某區(qū)域全部初中學(xué)校的八年級學(xué)生，采用學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測學(xué)科抽測的方式采集樣本，從7 092名學(xué)生中抽測了2 389名學(xué)生，抽測比率為33.7%.抽測試題為兩道典型建模試題，分別涉及“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”這兩個領(lǐng)域，每題12分，根據(jù)學(xué)生的答題情況，分別賦0～12分.

2.2 測評維度

為更好地了解學(xué)生在學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中數(shù)學(xué)建模能力的具體表現(xiàn)，把學(xué)生在測試中表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)建模能力水平劃分為4個層級，并根據(jù)答題中具體的能力表現(xiàn)，將學(xué)生的試題得分(每題12分)相應(yīng)劃分為4個得分段(如表1).

表1 初中生數(shù)學(xué)建模能力水平的具體表現(xiàn)

2.3 試題設(shè)計

例1(“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域)某市推廣綠色家園理念，準(zhǔn)備建立綠色無公害水果基地.現(xiàn)有老李、老王兩家種植戶，種植蘋果、橙子兩種果樹，兩家種植戶種植的果樹棵數(shù)與年總收入如表2：

表2 種植的有關(guān)信息

1)蘋果、橙子兩種果樹，每棵果樹的平均年收入各是多少萬元？

2)若有一個種植戶準(zhǔn)備種50棵果樹，為了使總收入不低于13.5萬元，且蘋果樹、橙子樹至少各種植10棵，那么該種植戶所有種植方案共有多少種？該種植戶最高年收入可以達(dá)多少萬元？

試題說明試題是以現(xiàn)實生活中的果樹種植為載體的應(yīng)用類問題，從情境類別來看屬于個人生活情境.為了符合學(xué)生的認(rèn)知特點，將問題情境做適度的抽象、簡化，以“文字+圖表”的形式給出相關(guān)信息，使該問題有著濃厚的“現(xiàn)實味”和“建模味”.對學(xué)生而言，這是一道源自現(xiàn)實原型的建模試題，從考查內(nèi)容維度看，其涉及“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的“方程與不等式”的內(nèi)容.從考查能力維度看，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.其中數(shù)學(xué)建模能力主要考查學(xué)生建構(gòu)“方程與不等式”模型分析和解決問題的能力，具體的數(shù)學(xué)模型是二元一次方程組、一元一次不等式(組).試題主要考查學(xué)生從文本信息和表格信息中正確獲取有用信息、抽象出數(shù)學(xué)問題、用數(shù)學(xué)符號建立“方程、不等式”模型并解決問題的能力.

例2(“圖形與幾何”領(lǐng)域)近年來，很多國家都在積極發(fā)展無人機(jī)技術(shù)，拓展無人機(jī)的行業(yè)應(yīng)用.現(xiàn)階段，民用無人機(jī)的用途很多，廣泛應(yīng)用于消防、農(nóng)業(yè)、地質(zhì)、氣象、電力、搶險救災(zāi)等行業(yè).

1)某次軍事演習(xí)中，一架無人機(jī)停在空中對地面目標(biāo)點A、點B進(jìn)行偵察.已知點A，B在水平地面l上相距600 m，若要求點C處的無人機(jī)與兩個目標(biāo)點同時保持500 m距離(如圖1)，則該無人機(jī)最高飛多高？

圖1 圖2

2)工業(yè)級無人機(jī)一般都配備了自動駕駛儀，不需要操作人員手動控制，僅需要在地面控制站上下達(dá)指令即可.比如指定航線，無人機(jī)就能按照航線自動飛行.某農(nóng)業(yè)部門利用工業(yè)級無人機(jī)進(jìn)行土地測繪，無人機(jī)從點A出發(fā)，沿A→B→C→D→A的順序繞四邊形地塊ABCD飛了一圈(如圖2)，測得AB=2 km，BC=1.5 km，CD=0.7 km，DA=2.4 km，且AB⊥BC，求地塊ABCD的面積.

試題說明試題是以現(xiàn)實生活中的無人機(jī)為載體的應(yīng)用類問題，從情境類別來看屬于科學(xué)情境，以“文本+圖形”的形式給出信息.從試題涉及的幾何模型看，是對數(shù)學(xué)問題的一種“回譯”，即將數(shù)學(xué)問題回譯至現(xiàn)實生活，賦予數(shù)學(xué)問題現(xiàn)實背景及意義，將其轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)建模問題，使學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，體會數(shù)學(xué)建模的意義.從考查內(nèi)容維度看，其涉及“圖形與幾何”領(lǐng)域的等腰三角形性質(zhì)、勾股定理及逆定理等數(shù)學(xué)知識.從考查能力維度看，主要考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力，其中數(shù)學(xué)建模能力主要考查建構(gòu)“勾股定理及逆定理”模型并解決問題的能力.

3 結(jié)果與分析

3.1 答題情況

例1從答題內(nèi)容統(tǒng)計看，存在以下現(xiàn)象：很多學(xué)生不能從“文本+圖表”的信息中提取有效信息，無法完成從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題；不能理解具體情境中的數(shù)量關(guān)系，無法完成用數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行表征；不能完成或者只能部分完成方程(組)模型或不等式(組)模型的建構(gòu)；數(shù)學(xué)模型求解出現(xiàn)錯誤；用數(shù)學(xué)模型求解的結(jié)果解釋實際問題出現(xiàn)失誤.從答題數(shù)據(jù)統(tǒng)計看，學(xué)生得分情況如圖3所示，數(shù)學(xué)建模4個水平分布如圖4所示.數(shù)學(xué)建模水平一占比33.2%，其中得分為0的學(xué)生高達(dá)19.8%；數(shù)學(xué)建模水平二占比20.2%，其中得5分的學(xué)生居多；數(shù)學(xué)建模水平三占比7.2%；數(shù)學(xué)建模水平四占比39.4%，其中完全正確率(滿分)為總?cè)藬?shù)的20.8%.

圖3

圖4

例2從答題內(nèi)容統(tǒng)計看，存在以下現(xiàn)象：很多學(xué)生不能從“文本+圖形”信息中提取任何有效的信息，答題區(qū)域空白；將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題時，出現(xiàn)理解錯誤；在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型求解時，模型建構(gòu)不當(dāng)或者對模型求解出現(xiàn)錯誤；答題不規(guī)范，答題不完整.從答題數(shù)據(jù)統(tǒng)計看，學(xué)生得分情況如圖5所示，數(shù)學(xué)建模4個水平分布如圖6所示.數(shù)學(xué)建模水平一占比25.4%，其中得0分的學(xué)生為16.9%；數(shù)學(xué)建模水平二占比19.6%，其中得4分的學(xué)生占比最多；數(shù)學(xué)建模水平三占比5.2%；數(shù)學(xué)建模水平四占比49.8%，其中完全正確(滿分)的學(xué)生數(shù)為總?cè)藬?shù)的33.9%.

圖5

圖6

3.2 結(jié)果分析

數(shù)學(xué)建模能力包括：閱讀理解能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)化能力、計算能力和自我監(jiān)控能力[4].從學(xué)生的答題情況看，存在的問題主要聚焦在閱讀理解能力、數(shù)學(xué)化能力、計算能力這3個維度上.

3.2.1 閱讀理解能力參差不齊

從學(xué)生答題情況看，學(xué)生的閱讀理解能力參差不齊，其中大約20%的學(xué)生閱讀理解能力較強(qiáng)，能快速、準(zhǔn)確地獲取圖文信息，順利地完成數(shù)學(xué)建模.處于數(shù)學(xué)建模能力水平一的學(xué)生中，大約19%的學(xué)生存在閱讀障礙，甚至出現(xiàn)“密集文本信息恐懼”現(xiàn)象，主要表現(xiàn)為兩種行為特征：一是心理上抵觸文本信息量大的應(yīng)用類問題，難以集中精力閱讀理解信息甚至直接放棄閱讀，導(dǎo)致實際問題數(shù)學(xué)化難以達(dá)成，無法完成答題；二是能認(rèn)真完成閱讀，只能理解和獲取部分有效信息，能用數(shù)學(xué)符號表達(dá)實際問題中的部分?jǐn)?shù)量關(guān)系，完成數(shù)學(xué)建模過程的某個環(huán)節(jié).這些表現(xiàn)與數(shù)學(xué)建模能力水平一吻合.

比如在例1中，部分學(xué)生讀不懂表2提供的信息，找不到這些數(shù)量之間的關(guān)系.又如一部分學(xué)生對“為了使總收入不低于13.5萬元，且蘋果樹、橙子樹至少各種植10棵”這句話不太理解，不知道如何進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá).再如例2中“該無人機(jī)最高飛多高”的不當(dāng)表述放大了學(xué)生的閱讀障礙，導(dǎo)致約26%的學(xué)生產(chǎn)生了思維障礙，甚至束手無策.這些現(xiàn)象表明學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力有待提高.

3.2.2 數(shù)學(xué)化能力表現(xiàn)出較大差異

學(xué)生求解數(shù)學(xué)建模試題的首要任務(wù)是在閱讀理解的基礎(chǔ)上將實際問題數(shù)學(xué)化，即將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，這是能否有效建立數(shù)學(xué)模型并解決問題的關(guān)鍵.然而很多學(xué)生在這個環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯誤，表現(xiàn)為不能將實際問題正確表達(dá)為清晰完整的數(shù)學(xué)問題，導(dǎo)致建構(gòu)數(shù)學(xué)模型不當(dāng)甚至出現(xiàn)錯誤.這些表現(xiàn)與數(shù)學(xué)建模能力水平二、水平三基本一致.

比如在例2第1)小題中，獲得的數(shù)學(xué)問題應(yīng)為“如圖7，CA=CB=500 m，AB=600 m，求點C到AB的距離”.接著學(xué)生根據(jù)“等腰三角形性質(zhì)”作高，建構(gòu)“勾股定理”模型，計算求解即可.但有部分學(xué)生難以表達(dá)出清晰的數(shù)學(xué)問題，導(dǎo)致數(shù)學(xué)模型建構(gòu)不當(dāng)或無法完成建構(gòu).又如在例2第2)小題中，學(xué)生對△ADC的形狀尚未做出判斷，就直接將其看做直角三角形進(jìn)行面積計算，出現(xiàn)模型建構(gòu)失誤.

圖7

3.2.3 計算能力有待加強(qiáng)

完成數(shù)學(xué)模型建構(gòu)意味著實際問題已成功地轉(zhuǎn)入數(shù)學(xué)內(nèi)部，對數(shù)學(xué)模型的計算求解并檢驗是重要環(huán)節(jié).處于這一階段的數(shù)學(xué)建模能力水平對應(yīng)于水平四.從學(xué)生計算求解情況看，例1中出現(xiàn)很多的計算錯誤，比如方程組求解出現(xiàn)錯解、不等式組求解出現(xiàn)錯誤、求解結(jié)果的綜合判斷出現(xiàn)錯誤等；例2中也出現(xiàn)一些面積計算上的錯誤現(xiàn)象.這些問題表明學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有待加強(qiáng)，但僅從數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展水平看，其水平屬于較高層次.

4 思考與啟示

4.1 注重數(shù)學(xué)閱讀理解能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)閱讀是從背景、數(shù)據(jù)等材料中獲取信息的心理活動過程[5]，包含對數(shù)學(xué)語言(文字、符號、圖表等)的感知和認(rèn)讀、新概念的同化和順應(yīng)、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素[6].數(shù)學(xué)閱讀理解是數(shù)學(xué)建模過程的重要組成部分，數(shù)學(xué)閱讀的價值和目標(biāo)在于建構(gòu)數(shù)學(xué)模型解決問題.在教學(xué)中，要以教材上應(yīng)用類問題為載體，加強(qiáng)對學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解訓(xùn)練.這樣做，一方面幫助學(xué)生克服對閱讀的抵觸情緒，堅定信心，踏實認(rèn)真地逐字逐句完成閱讀，讀懂題意；另一方面幫助學(xué)生掌握閱讀技巧，對文字、圖表、圖形等不同素材采取不同的閱讀策略，弄清楚材料中的每一個關(guān)鍵詞語、每一個數(shù)量關(guān)系，理解題目中的每一個重要信息，使學(xué)生想讀、能讀、會讀，熟練進(jìn)行文字、圖形、符號這3種數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換[7]，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模能力水平尚處于水平一的學(xué)生向水平二或水平三進(jìn)階.

4.2 注重數(shù)學(xué)化能力的培養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》明確要求學(xué)生初步形成模型思想，“通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型思想”，并且“結(jié)合實際情境，經(jīng)歷設(shè)計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程”.初中生數(shù)學(xué)建模所面對的現(xiàn)實問題一般分為3類：現(xiàn)實原型、實際模型、數(shù)學(xué)形式.教材上的應(yīng)用題和試卷上的建模試題都屬于實際模型，對學(xué)生數(shù)學(xué)化能力要求并不高，學(xué)生只需建構(gòu)熟悉的數(shù)學(xué)模型即可解決問題.對于實際模型類問題(應(yīng)用題)，教師要將模型思想融入教學(xué)中，把常規(guī)的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)模型放在不常規(guī)的背景下，根據(jù)問題的實際背景、數(shù)學(xué)意義對學(xué)生的求解方案進(jìn)行評價[8]，有意識地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實際模型—數(shù)學(xué)模型—求解驗證—現(xiàn)實結(jié)果”的問題解決過程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)計算技能，提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決非常規(guī)問題的能力，為學(xué)生達(dá)成數(shù)學(xué)建模能力水平四奠定基礎(chǔ).

4.3 注重開展真實的建模活動

教材上那些傳統(tǒng)的文字題(應(yīng)用題)，只是用現(xiàn)實世界的辭藻給純數(shù)學(xué)問題加了層“外衣”，在這種情況下，所謂的數(shù)學(xué)建模只是“去掉外衣”(自然語言翻譯成數(shù)學(xué)語言)，適合問題解決的數(shù)學(xué)模型就在手邊[9].從兩道試題的內(nèi)容及設(shè)置的問題來看，例1和例2尚屬于一般的數(shù)學(xué)問題解決，不同于真正的數(shù)學(xué)建模問題.在初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，開展數(shù)學(xué)建?；顒邮桥囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的有效途徑.為解決實際模型類問題在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化能力上的欠缺，我們建議以現(xiàn)實世界的問題解決為抓手，每學(xué)期開展1～2次適合初中生的綜合實踐活動或數(shù)學(xué)建模主題活動，在完整的數(shù)學(xué)建?；顒又写龠M(jìn)學(xué)生形成模型思想，提高數(shù)學(xué)建模能力.比如開展“出租車收費(fèi)問題”主題活動，自由組建數(shù)學(xué)建模團(tuán)隊，經(jīng)歷問題分析、調(diào)查、數(shù)據(jù)收集、提出假設(shè)、構(gòu)建模型、模型計算、分析結(jié)果、模型驗證、模型改進(jìn)等數(shù)學(xué)建模過程，在以實際問題解決為指向的數(shù)學(xué)建模活動中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.