蔡友山

(寧波市第七中學(xué)，浙江 寧波 315000)

近期，在圍繞“數(shù)學(xué)概念教學(xué)”這個(gè)主題進(jìn)行研討時(shí)，筆者有幸執(zhí)教了浙教版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第1.1節(jié)“銳角三角函數(shù)”，由于課前和組內(nèi)同行對(duì)本課進(jìn)行了充分的研究和思考，課后受到與會(huì)教師的一致好評(píng).現(xiàn)將本課的教學(xué)研究、教學(xué)過程及課后反思整理如下，與各位同行交流.

1 課前研討

筆者從理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)這3個(gè)維度著重思考了以下3個(gè)問題：

1)相對(duì)其他函數(shù)，銳角三角函數(shù)有何特殊性？本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在何處？

2)學(xué)生現(xiàn)有基礎(chǔ)如何？他們對(duì)銳角三角函數(shù)概念的理解難在哪里？

3)教師對(duì)銳角三角函數(shù)概念的教學(xué)存在哪些誤區(qū)？應(yīng)如何實(shí)施銳角三角函數(shù)的概念教學(xué)？如何突破教學(xué)難點(diǎn)？

銳角三角函數(shù)雖然是基本初等函數(shù)，但其相對(duì)于一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)又有其自身的特殊性，這種特殊性主要體現(xiàn)在以下3個(gè)方面：1)對(duì)應(yīng)關(guān)系的特殊性.銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量，該角所在直角三角形的兩邊之比為因變量的函數(shù).2)書寫形式的特殊性.與學(xué)生此前認(rèn)識(shí)的函數(shù)存在巨大反差.3)在學(xué)習(xí)弧度制之前，用角度制表示的銳角與它所在的直角三角形的兩邊之比并不是嚴(yán)格意義上的“實(shí)數(shù)”與“實(shí)數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系.單從初中階段對(duì)函數(shù)的定義來理解銳角三角函數(shù)概念確有一定困難.這種形式與內(nèi)涵的雙重特殊性使其“函數(shù)”特征十分隱蔽，增加了學(xué)生理解的難度.而在實(shí)際教學(xué)中，有些教師不太重視銳角三角函數(shù)概念的形成過程，從而導(dǎo)致許多學(xué)生課后根本不清楚為何把它也稱為“函數(shù)”.如何組織教學(xué)？本節(jié)課是一節(jié)概念課，其核心是讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程和運(yùn)用過程，在過程中讓學(xué)生感悟銳角三角函數(shù)，深化對(duì)概念的理解和能力的培養(yǎng).基于此，我們要突破以下4點(diǎn)：一是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種邊角對(duì)應(yīng)關(guān)系具有“函數(shù)”的基本特征，幫助學(xué)生理解這種邊角對(duì)應(yīng)關(guān)系為什么是函數(shù)關(guān)系；二是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這種函數(shù)關(guān)系進(jìn)行表達(dá)；三是利用題組鞏固概念；四是引導(dǎo)學(xué)生利用定義嘗試探索其性質(zhì).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 “銳角三角函數(shù)”概念的形成過程

環(huán)節(jié)1創(chuàng)設(shè)情境，引入概念.

播放滑雪影片，從中抽象出一個(gè)角，針對(duì)此情境連續(xù)設(shè)問：

圖1 圖2

圖3 圖4

教學(xué)說明通過以上4個(gè)問題可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

環(huán)節(jié)2提煉本質(zhì)，歸納概念.

1)縱向觀察表1中的信息，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

2)橫向觀察表1中的信息，你又能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

表1 直角三角形中銳角α及的值

4)如果是函數(shù)關(guān)系，那么誰(shuí)是自變量？誰(shuí)是誰(shuí)的函數(shù)？如何表達(dá)這種函數(shù)關(guān)系？

環(huán)節(jié)3橫向比較，精致概念.

1)暢所欲言：銳角三角函數(shù)相對(duì)我們前面學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)有其自身的特殊性，這種特殊性主要體現(xiàn)在哪里？

2)教師介紹：到了高中階段，當(dāng)銳角擴(kuò)展到任意角、弧度制取代角度制時(shí)，三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行定義的.

教學(xué)說明通過“暢所欲言”引導(dǎo)學(xué)生橫向比較不同類型的4種函數(shù)，讓學(xué)生感悟銳角三角函數(shù)所表示的是直角三角形的邊角關(guān)系，正是這種邊角關(guān)系讓我們今后解決直角三角形問題更方便、靈活.

通過“教師介紹”讓學(xué)生了解三角函數(shù)知識(shí)的延續(xù)性和發(fā)展性，激勵(lì)學(xué)生為今后高中階段學(xué)習(xí)三角函數(shù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2.2 “銳角三角函數(shù)”概念的鞏固過程

利用3個(gè)例題鞏固“銳角三角函數(shù)”概念：

例1如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6.求∠A和∠B的正弦、余弦和正切的值.

圖5 圖6

例2如圖6，在5×4的網(wǎng)格中，線段AB，CD相交于點(diǎn)P(點(diǎn)A,B,C,D,E均為小正方形的頂點(diǎn))，則tan∠DPB的值等于

( )

A.2 B.3 C.4 D.5

例3如圖7，請(qǐng)?jiān)?×6的網(wǎng)格中畫出正切值等于3的銳角α(要求：用3種不同的方法，且頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，標(biāo)出銳角α).

圖7

教學(xué)說明通過以上3個(gè)例題引導(dǎo)學(xué)生分別從定量計(jì)算、網(wǎng)格求值和網(wǎng)格作圖3個(gè)不同的角度鞏固銳角三角函數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

2.3 “銳角三角函數(shù)”性質(zhì)的探究過程

出示以下2個(gè)例題，讓學(xué)生展開探討：

例4如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c.利用銳角三角函數(shù)定義探究以下問題：

圖8 圖9

1)∠A和∠B的三角函數(shù)值之間有什么特殊關(guān)系？

2)對(duì)于任意一個(gè)銳角α，請(qǐng)求出sinα與cosα的取值范圍；

3)對(duì)于任意一個(gè)銳角α，你能發(fā)現(xiàn)sinα,cosα與tanα之間的關(guān)系嗎？

4)對(duì)于任意一個(gè)銳角α，請(qǐng)計(jì)算sin2α+cos2α的值.

例5如圖9，將一根木棒繞著點(diǎn)O從OA1位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OA2,OA3位置.請(qǐng)思考以下幾個(gè)問題：

1)隨著銳角α的增大，∠α的對(duì)邊和鄰邊在做怎樣的變化？

2)結(jié)合圖9，探索銳角三角函數(shù)的增減性(填“增大”或“減小”或“不變”)：

正弦值隨銳角α的增大而______；余弦值隨銳角α的增大而______；正切值隨銳角α的增大而______.

3)利用第2)小題中探索的結(jié)論比較大小(填“﹥”或“﹤”或“=”)：

sin 23°______sin 65°， cos 76°______cos 43°，

tan 53°______tan 78°.

教學(xué)說明通過以上問題引導(dǎo)學(xué)生利用銳角三角函數(shù)的定義從定性的角度探索銳角三角函數(shù)的如下性質(zhì)：

1)若∠A+∠B=90°,則sinA=cosB，cosA=sinB;

2)0

4)正弦值隨銳角α的增大而增大，余弦值隨銳角α的增大而減小，正切值隨銳角α的增大而增大.

2.4 回顧盤點(diǎn)，畫龍點(diǎn)睛

引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)和思想方法角度回顧本節(jié)課的收獲，教師從函數(shù)的發(fā)展和演變方面對(duì)知識(shí)進(jìn)行提升，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的欲望，課堂在學(xué)生的暢想和掌聲中結(jié)束.

3 教學(xué)反思

銳角三角函數(shù)反映的是一個(gè)直角三角形的銳角與兩邊之比的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正是這種特殊的邊角關(guān)系使得我們今后解決直角三角形問題更方便、更靈活.同時(shí)，也為高中階段學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)知識(shí)打下了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).本節(jié)課著眼于培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括等能力，注重概念的形成過程，突出銳角三角函數(shù)概念的本質(zhì)，在過程中醞釀“函數(shù)”味道，這種函數(shù)味主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：

3.1 注重概念的形成過程，揭示函數(shù)的本質(zhì)特征

概念教學(xué)的核心就是“概括”，即以若干典型事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生分析各事例的屬性，抽象概括其共同本質(zhì)屬性，從而歸納獲得數(shù)學(xué)概念[1].章建躍博士在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解讀中強(qiáng)調(diào)：從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強(qiáng)思考，這是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn).要把如何抽象數(shù)學(xué)對(duì)象、如何發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)的關(guān)鍵任務(wù)[2].

鑒于銳角三角函數(shù)概念在形式和內(nèi)涵上的雙重特殊性和其“函數(shù)”特征的隱蔽性，教師分兩步實(shí)施其概念教學(xué)：一是通過對(duì)含30°、45°、50°這些特殊角的直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行研究，并引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)“在直角三角形中，一個(gè)銳角所對(duì)的直角邊與斜邊之比是隨銳角的大小變化而變化的，當(dāng)銳角的大小一定時(shí)，這個(gè)比值也隨之唯一確定.”這突顯的“函數(shù)”特征十分自然地喚醒學(xué)生大腦中沉睡的記憶——函數(shù).至此，學(xué)生頓悟這種邊角關(guān)系就是他們熟悉的函數(shù)關(guān)系.二是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這種函數(shù)關(guān)系進(jìn)行表達(dá).具體分3步實(shí)施：嘗試表達(dá)、規(guī)范定義、類比推廣.在學(xué)生認(rèn)識(shí)到直角三角形的邊角關(guān)系存在函數(shù)關(guān)系后，教師并沒有急于告訴學(xué)生該如何表達(dá)這種函數(shù)關(guān)系，而是讓學(xué)生自己嘗試著表達(dá)，在學(xué)生渴望表達(dá)而又力不從心時(shí)，教師適時(shí)給出規(guī)范的定義和表達(dá).銳角三角函數(shù)包括正弦、余弦和正切等多種表達(dá)形式，在教學(xué)時(shí)，教師選擇正弦做重點(diǎn)突破，再類比給出其他函數(shù)形式.通過本環(huán)節(jié)教學(xué)，銳角三角函數(shù)概念已悄無聲息地植入學(xué)生頭腦.

3.2 注重性質(zhì)的探索過程，再現(xiàn)函數(shù)研究路徑

利用定義和圖像探索性質(zhì)是研習(xí)函數(shù)的必經(jīng)之路.所謂探索重在“探”的過程，即學(xué)生在問題的引導(dǎo)下，自主研究，歸納總結(jié)，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，挖掘其內(nèi)在本質(zhì).荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去實(shí)現(xiàn)這種再創(chuàng)造，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生[3].基于此理念，本節(jié)課在整合教材時(shí)增加了探索性質(zhì)這一環(huán)節(jié)，并在此環(huán)節(jié)安排了兩個(gè)例題：其中例4讓學(xué)生利用定義從定性的角度探索任意銳角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，其目的是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)互余的兩個(gè)銳角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，理解同一個(gè)銳角的三角函數(shù)值之間存在著內(nèi)在必然的聯(lián)系；例5是從動(dòng)態(tài)角度探索銳角三角函數(shù)的增減性，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)銳角三角函數(shù)值的大小隨角的大小變化并不是表面現(xiàn)象，有其內(nèi)在的規(guī)律.由此可見，選擇這些問題作為探究素材，完全符合學(xué)生的現(xiàn)有基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律，這一探索過程也使得本節(jié)課的“函數(shù)”味道更濃.