【摘要】本文以“三角”主題教學(xué)為例，論述高中數(shù)學(xué)微課設(shè)計的策略，認為微課設(shè)計應(yīng)遵循緊扣教學(xué)目標(biāo)、緊緊依托學(xué)情以及考慮各學(xué)校的設(shè)施情況三個原則，結(jié)合教學(xué)實際闡述五個高中數(shù)學(xué)微課設(shè)計具體要求。

【關(guān)鍵詞】新媒體 民族地區(qū) 高中數(shù)學(xué) 微課設(shè)計

【中圖分類號】G63 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）02-0082-04

隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展，新媒體呈爆發(fā)式增長發(fā)展。高中數(shù)學(xué)微課依托新媒體平臺，將視聽等多元素結(jié)合，把數(shù)學(xué)知識生動地呈現(xiàn)到學(xué)習(xí)者的面前。數(shù)學(xué)微課跨越了時間與空間的限制，逐漸成為高中生新的學(xué)習(xí)方式。充分利用新媒體平臺，依托名優(yōu)教師的教學(xué)資源，建立起符合民族地區(qū)學(xué)情的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源庫，能為我區(qū)高中生提供優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源。本文以“三角”主題教學(xué)為例，闡述高中數(shù)學(xué)微課的設(shè)計方案。

一、微課設(shè)計應(yīng)遵循三個原則

（一）微課設(shè)計應(yīng)緊扣教學(xué)目標(biāo)

在進行微課設(shè)計的時候，我們不僅要關(guān)注每一課時教學(xué)目標(biāo)的達成，還要關(guān)注章節(jié)、單元和主題教學(xué)目標(biāo)的相互關(guān)系，整體把握，整體設(shè)計。三角函數(shù)是函數(shù)主題下的內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后的又一個重要的函數(shù)?！度呛瘮?shù)》一章的課程目標(biāo)是通過實例，學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律問題中的作用;而《解三角形》一章是在學(xué)習(xí)了《三角函數(shù)》相關(guān)知識的基礎(chǔ)上，通過任意三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中邊與角的數(shù)量關(guān)系，并在生產(chǎn)生活中能夠運用所學(xué)知識解決測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。

在制訂微課教學(xué)目標(biāo)過程中，教師還可以借助布魯姆教學(xué)目標(biāo)制訂教學(xué)計劃。布魯姆教學(xué)目標(biāo)分析指出認知領(lǐng)域的教育目標(biāo)從低到高可以分為六個層次：識記、理解、應(yīng)用、分析、綜合、評價。

表1 布魯姆教育目標(biāo)分類表

[知識維度 認知過程維度 識記 理解 應(yīng)用 分析 綜合 評價 事實性知識 概念性知識 程序性知識 反省認知知識 ]

（二）微課設(shè)計應(yīng)緊緊依托學(xué)情

不同班級、不同學(xué)校的學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)習(xí)慣、運算能力和思維水平等存在差異。在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)“三角”這一板塊內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了集合、函數(shù)、圓的方程等知識，具備進一步學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)。但是，不同層次的學(xué)生之間仍存在著較大的差距，尤其表現(xiàn)在對三角知識的探究、聯(lián)想以及遷移上。生源基礎(chǔ)薄弱的學(xué)校，應(yīng)注重基礎(chǔ)知識、課本核心概念的微課設(shè)計，根據(jù)實際情況還需要加上必要的典型例題和對應(yīng)的鞏固練習(xí)。生源基礎(chǔ)較好的學(xué)?？梢园岩族e點、難點的數(shù)學(xué)知識歸納總結(jié)成微專題，進而將其錄制成微課供學(xué)生學(xué)習(xí)，還可在微課的最后設(shè)計附上思維拓展的變式試題和答案，供學(xué)有余力的學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)。但是不論設(shè)計什么類型的微課，最終目的都是達成課程標(biāo)準提出的提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（三）微課設(shè)計應(yīng)考慮各學(xué)校的設(shè)施情況

學(xué)校的信息技術(shù)軟件和硬件不同，微課設(shè)計的方案也不同。信息技術(shù)硬件軟件設(shè)施較落后的學(xué)校，可以將制作完成的微課拷貝到教室電腦或者教師辦公室的電腦，供學(xué)生學(xué)習(xí)。而信息技術(shù)硬件軟件設(shè)施較好的學(xué)校，則可以通過班級希沃電腦、平板電腦、班級微信公眾號、視頻號、嗶哩嗶哩網(wǎng)站、班級QQ群、廣播電視點播系統(tǒng)等發(fā)布微課，供學(xué)生在不同的時間和空間學(xué)習(xí)。

二、例析高中數(shù)學(xué)微課設(shè)計

下面，筆者以南寧市第三中學(xué)高中部五象校區(qū)為例，闡述高中數(shù)學(xué)微課設(shè)計策略。南寧市第三中學(xué)高中部五象校區(qū)生源較好，絕大多數(shù)學(xué)生有比較好的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)習(xí)慣。對數(shù)學(xué)學(xué)科而言，學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、擁有的數(shù)學(xué)基本技能、領(lǐng)悟的基本數(shù)學(xué)思想、積累的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗都是比較豐富的，但是他們在發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題等方面略有不足，對一些核心概念、重要的公式定理的推導(dǎo)，在課堂學(xué)習(xí)中不能快速地接受并理解。從學(xué)生完成配套練習(xí)《新課程測評》、活頁習(xí)題和周測試題的反饋來看，有些題型他們屢屢犯錯，教師可以將這些問題歸納總結(jié)，形成微課供學(xué)生學(xué)習(xí)。

南寧市第三中學(xué)高中部五象校區(qū)擁有較好的信息技術(shù)硬件和軟件，每位教師都配置性能較好的電腦，每個班級都配備希沃電腦，學(xué)校網(wǎng)絡(luò)全覆蓋。良好的技術(shù)支持為本校區(qū)開展微課設(shè)計提供了強大的保障。教師可以將制作好的微課拷貝到班級希沃電腦，發(fā)布到班級QQ群、班級微信公眾號、視頻號、嗶哩嗶哩網(wǎng)站和廣播電視點播系統(tǒng)等平臺，供學(xué)生在不同的時間和空間任意學(xué)習(xí)。

根據(jù)本校區(qū)學(xué)情，教師在制作數(shù)學(xué)微課時，應(yīng)符合以下幾個要求。

（一）核心數(shù)學(xué)概念和重要的公式定理應(yīng)重點錄制

數(shù)學(xué)概念是數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)特征的反映形式，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分。數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延組成了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。在進行數(shù)學(xué)核心概念的微課設(shè)計時，教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)情境，精心設(shè)計數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、分析、提煉、升華等過程，加深對核心數(shù)學(xué)概念的理解。

在《三角函數(shù)》一章中，核心的概念和公式定理有任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)的關(guān)系、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，等等。教師需要針對這些核心的數(shù)學(xué)概念和重要的公式定理，精心設(shè)計微課。

在學(xué)習(xí)核心概念正弦定理的過程中，用多種方法探究證明正弦定理是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，針對此難點，筆者制作了微課進行突破。

設(shè)計探究一

在[]ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c.若[]ABC是直角三角形，不妨取C=90°，則sinA=[ac]，sinB=[bc]，從而[asinA]=[bsinB]=c，又因為C=90°，所以sinC=1，所以[asinA]=[bsinB]=[csinC].若[]ABC是等邊三角形，因為A=B=C，a=b=c，上述優(yōu)美的關(guān)系式無疑也是成立的.對于一般的三角形，上述優(yōu)美的關(guān)系式還成立嗎？易得在[]ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則各邊和它所對角的正弦的比相等，即：[asinA]=[bsinB]=[csinC].

設(shè)計探究二

利用面積相等證明.如圖1所示，過點A作AD⊥BC于D，在Rt[]ABD中，AD=csinB，在Rt[]ACD中，AD=bsinC，從而bsinC=csinB，即[bsinB]=[csinC]，同理可證[asinA]=[bsinB]，所猜想的關(guān)系式得證.請問：這個證明過程有無漏洞？

如圖2所示，如果[]ABC是鈍角三角形，過點A所作的高AD在三角形的外部，在Rt[]ABD中，AD=csin（π-B）=csinB，與銳角的情況是一致的，獲證.

設(shè)計探究三

如圖3，作[]ABC的外接圓，O為圓心，半徑為R，連接BO并延長交圓O于點C′，則BC′=2R，從而∠BAC′=90°，在Rt[]ABC′中，sinC′=[c2R].根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即sinC=sinC′=[c2R]，從而[csinC]=2R，同理可證[asinA]=2R，[bsinB]=2R，因此，對任意的三角形都有[asinA]=[bsinB]=[csinC]=2R.用此方法，還證明了三角形邊與對角正弦值之比為三角形外接圓半徑的2倍這一幾何意義.

設(shè)計探究四

如圖4，在[]ABC中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，點C在y軸上的射影為C′，則[AC]與[BC]在y軸正方向上的射影相同，分別為：[AC]cos（A-90°）=bsinA，[BC]cos（90°-B）=asinB，所以bsinA=asinB，即[asinA]=[bsinB]，同理可證A為銳角或者直角時關(guān)系式成立.

（二）抓住教學(xué)的重點和難點，有效突破

數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點往往是學(xué)生掌握不到位的知識點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的認知障礙，導(dǎo)致數(shù)學(xué)思維堵塞的源頭。這些數(shù)學(xué)重點和難點如果不能有效突破，會成為學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的絆腳石。如何幫助學(xué)生有效突破學(xué)習(xí)中的重點和難點，應(yīng)該是微課設(shè)計需要重點考慮的問題。

在微課設(shè)計中借助數(shù)學(xué)實驗和幾何畫板等工具進行驗證是有效突破數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點和難點的有效途徑。比如教學(xué)人教A版必修5第一章《解三角形》余弦定理的推導(dǎo)，教師設(shè)置問題：在任意[]ABC中，它的三角A，B，C與對應(yīng)的三邊a，b，c存在怎樣的關(guān)系？并利用幾何畫板，任意改變?nèi)吅腿堑闹?，讓學(xué)生觀察邊和角的變化關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生大膽提出猜想。在大邊對大角的前提下，是否還有其他體現(xiàn)數(shù)學(xué)對稱性和幾何美的性質(zhì)？學(xué)生提出幾組大膽的猜想，教師通過操作幾何畫板一一驗證猜想，發(fā)現(xiàn)不論角和邊如何改變，a2=b2+c2-2bccosA這個猜想是恒成立的，接下來便是嚴格的數(shù)學(xué)證明。突破證明余弦定理這一難點的微課設(shè)計如下。

探究活動一

當(dāng)A是銳角時，過點C作CD⊥AB，交AB于點D，則在Rt△ACD中，AD=bcosA，CD=bsinA.

從而，BD=AB-AD=c-bcosA.在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2=c2-2cbcosA+b2=c2-2cbcosA+b2.

即a2=b2+c2-2bccosA.

同理可證A是直角或者鈍角的情況.

探究活動二

用平面向量法證明.

在△ABC中，由[BC]=[AC]-[AB]可得：[BC]=[AC-AB].

∴[BC2]=（[AC-AB]）2=[AC2]+[AB2]-2[AC]·[AB]=[AC2]+[AB2]-2[AC]·[AB]cosA=b2+c2-2bccosA.即a2=b2+c2-2bccosA.

探究活動三

利用坐標(biāo)系法證明.如圖5.

以A為原點，邊AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，證法如下：點C的坐標(biāo)為（bcosA，bsinA），根據(jù)兩點間的距離公式得[BC]=[（bcosA-c）2+（bsinA-0）2].整理化簡得a2=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A.即a2=b2+c2-2bccosA.證明完畢.

（三）組合典型例題和習(xí)題，形成微專題

理論與實踐相結(jié)合是學(xué)習(xí)的有效途徑。在學(xué)習(xí)核心概念以后，借助典型例題的講解可以幫助學(xué)生快速掌握所學(xué)知識。課本中的例題、習(xí)題都是編者精心設(shè)計的，有效利用它們可以起到舉一反三的效果。結(jié)合課本“探索與發(fā)現(xiàn)”欄目可以拓展學(xué)生學(xué)科閱讀能力，課外探索數(shù)學(xué)的能力。

以必修5中的例題為例：在[]ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）。這是經(jīng)典的三角形解的個數(shù)問題，并且題目特意給的是非特殊角，課堂教學(xué)必須使用計算機輔助教學(xué)才能完成。在完成此例題后，教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目“解三角形的進一步討論”，通過幾何畫板設(shè)計已知角A是銳角，且a<b時分三種情況動態(tài)展示a<bsinA，a=bsinA，a>bsinA。這樣一來，教師巧妙利用課本的例題、習(xí)題和“探索與發(fā)現(xiàn)”等材料制作微課專題，有效突破難點。

（四）典型錯題應(yīng)呈螺旋式上升分層設(shè)計

美國教育學(xué)家布魯納提出“螺旋式上升”的教育理念，其目的在于培養(yǎng)兒童出色的智力，即在不同時間學(xué)段出現(xiàn)類似的學(xué)科教學(xué)內(nèi)容，利用兒童緩慢上升發(fā)展的智力水平，不斷加深和拓展學(xué)科內(nèi)容。瑞士教育學(xué)家皮亞杰把兒童認知發(fā)展劃分為四個階段，即感知運算階段（0—2歲）、前運算階段（2—7歲）、具體運算階段（7—11歲）、形式運算階段（11歲后一直發(fā)展）。當(dāng)兒童的低層次的智力水平的平衡被沖擊后，平衡能在更高一級的水平得以恢復(fù)。我們新課程數(shù)學(xué)課本內(nèi)容是按照這些兒童認知規(guī)律編排的，教師在進行微課設(shè)計時，應(yīng)遵循螺旋式上升分層設(shè)計原則。

比如關(guān)于三角函數(shù)ω問題是典型的錯題，如何針對這些錯題設(shè)計微課教學(xué)？教師可以先設(shè)計一個條件的ω情況，比如題目：已知函數(shù)f（x）=sin[ωx-π4]（ω>0）在（0，2π）上有且僅有兩個零點，則ω的取值范圍是？再比如題目：已知函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx（ω>0），若f（x）在[0，2π]恰有3個最值點，則ω的取值范圍是？在學(xué)生能夠正確解答這些一個條件的ω情況題目之后，教師再設(shè)計兩個條件的ω情況，比如題目：已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中ω>0，[φ]≤[π2]，[-π4]為f（x）的零點，且[f（x）≤][f（π4）]恒成立，f（x）在[-π12，π24]區(qū)間上有最小值無最大值，則ω的最大值是？通過這樣分層練習(xí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力能夠得到螺旋式提升。

（五）應(yīng)具備復(fù)習(xí)、測驗和評價功能

復(fù)習(xí)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中一個非常重要的環(huán)節(jié)，它可以整合舊知形成知識結(jié)構(gòu)。利用思維導(dǎo)圖整理數(shù)學(xué)知識樹是一個有效的復(fù)習(xí)方法。

測試和評價常見的形式為課堂提問、課堂觀察、作業(yè)批改、書面測試、錯題整理和錯題重做等。書面測試可分為微測試和周測等，微測試共六題，其中選擇題四題、填空題兩題;周測共十二題，其中選擇題六題、填空題四題、大題兩題。選擇題改卷均通過“門口易測網(wǎng)”App實現(xiàn)，學(xué)生考試結(jié)束后可以立即通過該App查看得分情況，也可以查看詳細的解答過程;教師通過該App可以查看“班級報告”“試題報告”“試題分析報告”“知識點報告”和“比較報告”等，詳細了解學(xué)生的評價情況。比如我們在一次微測試中設(shè)計了六道題，題目知識點囊括了已知兩角及一邊解三角形、已知兩邊及一邊的對角解三角形、三角形解的個數(shù)、三角形面積公式、簡單恒等變形、邊角互化、輔助角公式等，測試的評價反饋為我們下一步的教學(xué)準備提供了數(shù)據(jù)支持。

充分應(yīng)用新媒體輔助高中數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一條行之有效的途徑。但是，收集、篩選、整理優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資源，根據(jù)學(xué)情進行微課的錄制，會耗費教師大量的時間和精力。本文在理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合實踐闡述如何有的放矢設(shè)計微課。我們在實踐的過程中有可能會出現(xiàn)很多問題，但是我們一邊實踐一邊改進，在實踐與改進中完善設(shè)計，定能探索出一條符合學(xué)情特點的、能夠有效提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)效果的可行之路。

參考文獻

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注：本文系廣西教育科學(xué)規(guī)劃2021年度A類課題“新媒體支持下優(yōu)化民族地區(qū)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐探究”（編號：2021A047）的研究成果。

作者簡介：陳烈（1979— ），廣西北流人，高級教師，教育學(xué)碩士，研究方向為基礎(chǔ)教育。

（責(zé)編 劉小瑗）