景慧麗　王兆強

摘? 要：學員是學習的主體，在教學過程中必須以學員為中心，加強教學互動，讓學員參與到教學活動中。探究性教學突出學員的主體地位，強調學員主動性和創(chuàng)造性的發(fā)揮，考慮到“全微分”與“一元函數微分”的關系，文章結合教學實踐，對“全微分”這一部分內容進行突出互動的類比探究性教學。

關鍵詞：互動;以學為中心;類比;探究性教學;全微分

中圖分類號：G642? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2022）10-0005-04

Abstract： Students are the main body of learning. In the process of teaching， we must take learning as the center， strengthen teaching interaction， and let students participate in teaching activities. Inquiry teaching emphasizes the main position of students and emphasizes the initiative and creativity of students. Considering the relationship between complete differential and univariate function differential， this paper combines teaching practice to carry on the analogy inquiry teaching of complete differential.

Keywords： interaction; learning-centered; analogy; inquiry teaching; complete differential

貫徹新時代軍事教育方針必須解決好“教什么、怎么教，學什么、怎么學”的問題，這就需要教員發(fā)揮好“教”的主導作用，激發(fā)“學”的內生動力，注意到著名美籍匈牙利數學家、教育家波利亞（George Polya）曾說：“學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發(fā)現，因為這種發(fā)現，理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規(guī)律、性質和聯(lián)系。[1]”因此，筆者遵循以學員為中心的原則，著眼師生互動和生生互動，在教學過程中充分發(fā)揮學員學習主體作用，研究和實踐了軍校高等數學課程的探究性教學，針對不同的教學內容，研究、探索和實踐了不同的探究性教學方式。例如，針對習題課研究和實踐了基于學員作業(yè)的相互挑刺式的探究性教學，針對部分概念、定理研究和實踐了基于階梯問題的探索式、討論式和類比式等探究性教學。注意到多元函數微積分學是由一元函數微積分學推廣發(fā)展來的[2]，它們之間有很多相同之處，例如，多元函數在一點處連續(xù)的概念與一元函數相同，都是? ? ? ? ? ? ? ?;偏導數的定義與一元函數導數的定義一樣，都是增量比的極限;多元分段函數在分段點處的偏導數以及高階偏導數的求法與一元函數相同，都必須用導數或偏導數的定義去求[3];多元函數和一元函數取得極值的必要條件相同，即若函數在極值點處的導數或偏導數存在，則該極值點必是函數的駐點;格林公式與牛頓——萊布尼茨公式的本質一樣，都揭示的是函數在區(qū)域內部的取值規(guī)律與區(qū)域邊界上的取值規(guī)律之間的聯(lián)系等。因此，多元函數微積分學的教學更適合類比探究性教學。文章結合教學實踐，以“全微分”的教學為例，探討著眼互動的以學員為中心的類比探究性教學的具體實施過程。

一、“全微分”著眼互動的類比探究性教學過程

（一）由實際問題引入，創(chuàng)設情境，提出問題，類比分析，獲得三個基本概念

一堂課的引入方式有很多種，可以開門見山，即直接告訴學員本節(jié)課要講什么內容，這樣重點突出，直觀明了;也可以通過復習上節(jié)課的內容引入本節(jié)內容，所謂的溫故而知新;也可以通過檢測預先布置給學員的預習問題引入，這樣既可以培養(yǎng)學員的自學能力，還可以培養(yǎng)學員參與課堂教學活動的積極性;當然還可以通過與本節(jié)知識相關的新聞引入等，無論采用什么方法，都要本著以學為中心的原則，目的是激發(fā)學員的學習興趣，喚起學員的思維，引燃學員的學習激情[4]。

本節(jié)教學內容，筆者采用了開門見山和實際問題相結合的方法引入，即筆者首先告訴學員本節(jié)課要學習的內容是全微分的概念及其存在的條件，它和一元函數微分有很多相同之處但也存在著差異，在學習過程中要善于類比，區(qū)分異同，到底它們之間存在哪些相同之處、哪些不同呢，大家拭目以待。這樣的“開場白”激起了學員的好奇心，學員們都迫切地想知道答案。然后筆者話鋒一轉，告訴學員類似于其他很多數學概念，全微分這個概念也是來源于實際需求的，這樣就自然而然地引出了實際問題，即引例。筆者設計引例遵循的原則是：既要考慮學員的數學基礎以及他們身份的特殊性，也要立足所選用的教材。因此，筆者將教材（即同濟大學數學系編寫的高等數學第七版）中本節(jié)內容的例題4[5]改編成了引例，即某軍械所學員在修理武器裝備時，需要對一圓柱體固件進行噴涂，噴涂后其半徑r由20 mm增大到20.05 mm，高度h由100 mm增大到100.1 mm，求此圓柱體體積v的改變量？駐v。這樣的引例盡管實質與軍事實際問題關系不大，但是也略帶軍事特色，也能讓學員感受到數學“淡淡的軍味”，無形中也激起了學員學習數學的興趣。

筆者要求學員自己獨立地去求解引例，學員完成后，筆者立馬提出問題：如果拋開該問題的實際背景，純粹從數學上來研究，數據都不變，只借助紙和筆，如何計算函數z=rh的改變量呢？學員經過討論、嘗試后發(fā)現無法計算出精確值。筆者告訴學員，在工程應用、軍事應用以及生活實際中很難得到一個量的精確值，例如引例中圓柱體體積的改變量？駐v的計算需要用到π，而π只有近似值，所以大家得到的結果只是？駐v的近似值，其實，在實際應用中也一般都是用近似值代替精確值，基于這個實際情況，不妨計算函數z=rh改變量的近似值，該如何計算呢？能快速方便地計算出來嗎？這個問題大部分學員都毫無頭緒、無從下手。此時筆者啟發(fā)學員回憶是否學習過一元函數改變量的近似值的計算呢？方法是什么呢？能不能類比當時解決一元函數改變量的近似值的方法來解決二元函數呢？這樣通過讓學員回憶、討論和類比，再加上筆者的引導，二元函數的偏增量、全增量和偏微分這三個基本概念就水到渠成地呈現在學員面前了。筆者分析完二元函數偏微分的實質，立馬提出下面的問題讓學員思考、討論：偏增量可以用其自變量增量的線性函數來近似計算，那么全增量是不是也可以用其自變量改變量的線性函數近似代替呢？絕大部分學員都認為應該可以，此時筆者又提出問題：“怎么表示呢？具體形式是什么呢？”由于學員數學素養(yǎng)不同，接受新知識的能力也不同，此時學員的結論就比較多了。當學員的探索偏離“軌道”，甚至有可能出錯時，教員要及時地進行干預、指導，根據課堂教學實際情況，筆者引導學員探索的過程如下。

（二）大膽猜想，由特殊到一般，獲得全微分的概念

筆者首先啟發(fā)學員類比已學知識進行大膽猜想，然后帶領學員再對引例重新分析，得到的結論是：？淄=？仔r2h這個函數的全增量？駐？淄確實可以用其自變量的增量？駐r、？駐h的線性函數近似代替，并且具體形式是：？駐？淄=？仔[2rh？駐r+r2？駐h+o（）]，進一步可以將其寫成？駐？淄=？仔[A？駐r+B？駐h+o（）]的形式，其中A=2rh，B=r2，顯然這里的A、B都是與？駐r、？駐h無關的常數。到此，筆者告訴學員這個特殊函數的全增量所具有的形式可以完全推廣到一般的二元函數，即對二元函數z=f（x，y）來說，如果其在點P0（x0，y0）處的全增量

可以寫成A？駐x+B？駐y+o（）的形式，其中A、B是不依賴于？駐x、？駐y的常數，類似于一元函數可微和微分的概念，此時就稱二元函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處是可微的，并且把A？駐x+B？駐y稱為函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處的全微分。這樣通過猜想以及從特殊到一般的分析方法就獲得了全微分的概念。

合情猜想是科學探索中一種很重要的思想方法，在教學過程中，教員要挖掘教學內容中的合情猜想思想，精心進行教學設計，創(chuàng)設情境，讓學員感受、體會合情猜想的美，進而掌握這個數學思想方法，提升數學素養(yǎng)。

（三）進一步分析全微分的概念，類比一元函數，結合已學知識，獲得全微分存在的必要條件

得到全微分的概念后，筆者設計兩個問題讓學員討論、探索，其中一個問題是：已知函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處可微，如果讓自變量的增量？駐x、？駐y都趨于零，會有什么情況發(fā)生？另一個問題是：已知函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處可微，如果自變量的增量比較特殊，即？駐x=0或者？駐y=0，會有什么情況發(fā)生？學員通過解決這兩個問題，得到的結論是：如果函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處可微，則函數在該點必連續(xù);函數在該點的兩個偏導數也都存在，且A=fx（x0，y0）、B=fy（x0，y0）。此時筆者一方面對學員的探索步驟進行點評、總結，一方面讓學員回憶一元函數在一點處的連續(xù)性、可導性和可微性的關系，并類比一元函數思考上述兩個結論反之是否成立（即如果函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處連續(xù)，那么函數在該點處是否可微？如果函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處的兩個偏導數都存在，那么函數在該點處是否可微？）。學員的討論結果并不一致，為了解決學員的疑問，筆者首先讓學員說出上述兩個結論（即如果函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處可微，則函數在該點必連續(xù);函數在該點的兩個偏導數必存在）的逆否命題，然后讓學員回憶多元函數在一點處的偏導數的存在性和函數在該點處的連續(xù)性之間的關系以及一個命題與其逆否命題之間的關系，這些準備工作完成后，筆者就帶領學員從理論上進行分析，具體分析過程如下：如果函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處連續(xù)，則此時不能保證函數在該點處的偏導數存在，而函數在一點處的偏導數不存在的話，函數在該點一定不可微（原理是原命題等價于其逆否命題），由此可知，函數在一點處連續(xù)的話，函數在該點未必可微，用類似的方法可以得到：函數在一點處的兩個偏導數都存在的話，也不能保證函數在該點處可微，綜上可知，函數在一點處連續(xù)和該點處的偏導數存在都是全微分存在的必要非充分條件，這樣從理論上就得到了全微分存在的必要條件，但是這種理論分析對數學基礎比較差的學員來說稍微有點抽象，他們會感覺云里霧里，因此為了幫助學員理解上述結論，筆者就采用了“用事實說話”的方法，即通過具體的例子來展示上述結論，筆者并沒有立刻給出反例，而是在帶領學員探索全微分存在的充分條件過程中創(chuàng)設情境，舉出反例，并讓學員通過解決筆者設計的問題達到“豁然開朗”的效果。

另外，注意圖表具有直觀、清晰、簡潔和條理性好等特點，它能直觀地體現出特定知識點的方方面面，還能揭示出事物之本質關系[6]，有著文字語言無法代替的優(yōu)越性。所以，在教學和學習過程中，如果能把某些有內在聯(lián)系的知識，有機結合起來，制成圖表，可使知識條理化、系統(tǒng)化，有助于理解知識[4]。因此，為了幫助學員更直觀、清晰地感受和掌握所探索到的結論，筆者讓學員自己畫出它們之間的關系圖，即如圖1所示。

（四）創(chuàng)設情境，提出問題，進行探究，獲得全微分存在的充分條件

得到全微分存在的必要條件后筆者乘勝追擊，又提出下面的問題讓學員思考、討論：如果函數在一點處不但連續(xù)而且兩個偏導數也都存在，此時函數在該點處可微嗎？如果可微，給出證明，如果不可微，請舉出反例。筆者把學員分成幾個小組進行討論，并將討論結果、步驟展示出來。大部分學員通過查閱資料所得結論都是正確的，但是所舉反例以及如何說明不可微，這兩個方面不是很理想，這些情況都在筆者的意料之中。于是筆者就設計了一系列的階梯問題，通過讓學員解決這些階梯問題的過程，帶領學員共同探索出判斷函數可微性的方法，即當函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處連續(xù)并且偏導數都存在的情況下，判斷該函數在點P0（x0，y0）處是否可微的方法是：判斷極限

是否為零，如果上述極限為零，則函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處可微;如果上述極限不存在或者極限存在但極限值不為零，則函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處不可微。

獲得上述方法后，筆者就舉出反例并帶領學員進行詳細分析。分析完，筆者又提出問題：根據剛才的反例可知，函數在一點處的兩個偏導數都存在并且函數在該點連續(xù)也不能保證函數可微，但是，當函數可微時，其微分A？駐x+B？駐y中不依賴于？駐x、？駐y的常數A、B就是函數在該點處的兩個偏導數，基于這兩種情況，我們能不能給偏導數存在加強一些條件，使其保證函數可微呢？讓學員思考、討論并給出方案，筆者帶領學員進行分析，最終得到的結論是：如果函數z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處的兩個偏導數連續(xù)，則函數在該點處必可微。此時，筆者立馬又提出問題：反之是否成立呢？即函數在一點處可微，那么函數在該點處的兩個偏導數一定連續(xù)嗎？學員思考、討論完，筆者進行總結，到此，已獲得全微分存在的必要條件和充分條件。這個充分條件筆者是根據學員的提議并結合教材所給定理帶領學員探索出來的，其實這個充分條件完全可以減弱，但是，筆者并沒有直接告訴學員可以將這個充分條件減弱，也沒有告訴學員將其減弱成什么，而是在本節(jié)課結束時，筆者將其設置成了一個思考題，讓學員課后完成，即從探索全微分存在的充分條件的過程中你能提煉出函數可微的其他條件嗎？如果能，請寫出來這個條件。這樣不但可以幫助學員將所學碎片知識系統(tǒng)化，培養(yǎng)學員養(yǎng)成數學嚴密的邏輯推導習慣，而且還可以培養(yǎng)學員的發(fā)散思維。

（五）總結應用，進行推廣

得到全微分存在的充分條件后，筆者讓學員自己歸納、總結出二元函數在一點處的可微性、偏導數的存在性、函數的連續(xù)性以及偏導數的連續(xù)性這幾個概念之間的關系，畫出其關系圖，并與一元函數在一點處的可微性、可導性以及函數的連續(xù)性這三個概念之間的關系進行對比，并做出比較表，這樣學員通過自己總結不但可以加深對知識點的理解，還可以使自己所學知識系統(tǒng)化、條理化[7]。另外，學員通過自己對比，更能理解多元函數微分學與一元函數微分學之間的區(qū)別與聯(lián)系，避免了死記現成的知識。到此，學員已獲得二元函數全微分的概念、存在條件以及求法，此時筆者告訴學員一元函數微分在數值上的重要應用是近似計算，類似地，全微分在數值上的重要應用也是近似計算，并讓學員先類比一元函數的近似計算公式寫出二元函數的近似計算公式，然后再用所得公式解決最開始的問題，即計算函數z=rh的改變量。這樣通過由理論到實踐的過程，學員不但能感受到公式的應用美和簡單美，而且還能體會到自己探索知識樂趣。接下來筆者告訴學員二元函數全微分的概念、存在條件、計算方法、幾個概念之間的關系以及在數值上的應用可以完全推廣到三元函數乃至n元函數，并讓學員類比二元函數全微分的概念及形式寫出n元函數全微分的概念及形式，至此，本節(jié)內容已學習完畢。筆者為了讓學員進一步體會和掌握類比探究性學習這個方法，又讓學員類比一元函數所具有的一階微分形式的不變性，思考多元函數全微分是不是也具有一階全微分形式的不變性？為下節(jié)課用類比探究性教學法學習多元復合函數的偏導數作鋪墊。

二、結束語

以上就是突出互動、以學為中心的“全微分”類比探究性教學全過程，教學實踐表明，這種教學方式不但可以提高學員學習效果，提升學員學習動力，提高教學質量，更重要的是激發(fā)了學員參與教學過程的興趣和熱情，活躍了課堂氣氛，有效培養(yǎng)了學員分析問題、解決問題的能力，無形中也培養(yǎng)了學員的問題意識和創(chuàng)新能力，是落實新時代軍事教育方針的有效舉措之一。需要注意的是，類比是與已有知識、已學知識、先驗知識進行比較，所以要想發(fā)揮好類比探究性教學、類比探究性學習的優(yōu)勢，就必須熟練掌握已有知識，就高等數學課程來說，只有熟練掌握一元函數微積分學的知識，才能游刃有余地類比探究多元函數微積分學相關知識。因此，在教學過程中，教員不但自己要重視基本概念、基本定理等基礎知識的教學，更重要的是要教育、引導學員注重基礎知識的學習，就像李克強總理在第十三屆全國人大四次會議閉幕后記者會上所說的，“我想對青年學生們說幾句話，不管你們將來從事什么職業(yè)、有什么樣的志向，一定要注意加強基礎知識的學習，打牢基本功和培育創(chuàng)新能力是并行不悖的，樹高千尺，營養(yǎng)還在根部。把基礎打牢了，將來可以觸類旁通” 。

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基金項目：中國科協(xié)青年人才托舉工程項目“復雜多階段任務系統(tǒng)退化規(guī)律建模-剩余壽命預測與維修庫存決策”（17JCJQQT022）;2016年高等學校大學數學教學研究與發(fā)展中心教學改革項目“基于培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力的高等數學課堂教學設計案例的探索與建設”（CMC20160405）;火箭軍工程大學2020年度教育教學研究課題“基于‘以學為中心’理念的《高等數學》課程探究性教學模式的研究與實踐”（HJJKT2020028）

作者簡介：景慧麗（1983-），女，漢族，河南平頂山人，碩士，副教授，研究方向為最優(yōu)化和大學數學教育教學。