王宏偉

[摘? 要] 數(shù)學思想方法是數(shù)學思想與數(shù)學方法的統(tǒng)稱，兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別. 對于學生來說，感知、領(lǐng)悟數(shù)學思想方法也是非常重要的. 在引導(dǎo)學生認識數(shù)學思想方法的價值時，通常要結(jié)合具體的教學內(nèi)容，以讓學生在數(shù)學思想方法的體驗過程中領(lǐng)悟數(shù)學思想方法的魅力. 具體的教學策略是：在數(shù)學知識生成的過程中滲透數(shù)學思想方法，在學習反思的過程中明晰數(shù)學思想方法.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學;數(shù)學思想方法;分類討論;數(shù)形結(jié)合

在高中數(shù)學教學中，有一個基本的思路就是對數(shù)學思想方法的重視. 實際上，數(shù)學思想方法是數(shù)學思想與數(shù)學方法的統(tǒng)稱，兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別. 一般認為，數(shù)學思想是人們對數(shù)學本質(zhì)的認識，是數(shù)學作為一門科學的根本，數(shù)學思想蘊含在數(shù)學知識生成的過程中. 數(shù)學思想往往具有明顯的主觀特征，是數(shù)學研究者對數(shù)學及學科研究的本質(zhì)認識;數(shù)學方法是數(shù)學思想的外在體現(xiàn)形式，是數(shù)學思想的具體化，數(shù)學方法往往具有顯著的操作性特征. 如果說數(shù)學思想內(nèi)在于數(shù)學研究者、學習者個體，那么數(shù)學方法就是外在于數(shù)學研究者、學習者個體的操作. 正是因為數(shù)學思想與數(shù)學方法有如此緊密的關(guān)系，使得人們在討論數(shù)學思想與數(shù)學方法時，都以數(shù)學思想方法統(tǒng)稱相關(guān)方面的內(nèi)容. 對于高中學生的數(shù)學學習而言，在數(shù)學知識學習的過程中領(lǐng)悟數(shù)學思想方法，是超越知識理解的需要，也是理解數(shù)學知識進而走向核心素養(yǎng)的需要.

在課程改革中，數(shù)學思想方法更多被三維目標所描述，也就是“知識與技能”“過程與方法”“情感態(tài)度與價值觀”. 當前的高中數(shù)學教學，應(yīng)立足學生核心素養(yǎng)的培育，而核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一就是關(guān)鍵能力. 一種能力要想真正成為關(guān)鍵能力，其必然涉及具體的學科思想方法. 因此在高中數(shù)學教學中，數(shù)學思想方法的建立與培養(yǎng)，本質(zhì)上也就是關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，從而也就可以理解為核心素養(yǎng)的培育.

本文章以高中人教A版函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)的教學為例，談?wù)剶?shù)學思想方法中的兩個重要內(nèi)容，即分類討論與數(shù)形結(jié)合.

[?] 高中學段數(shù)學思想方法的認識和建立

數(shù)學教師認識到數(shù)學思想方法的價值，對于教學方向的確定是非常重要的;同時數(shù)學教師還要認識到，對于學生來說，感知、領(lǐng)悟數(shù)學思想方法也是非常重要的. 從某種程度上來講，對數(shù)學思想方法的領(lǐng)悟與運用，正是數(shù)學教學的重要目標. 數(shù)學學科核心素養(yǎng)的數(shù)學抽象、邏輯推理與數(shù)學建模等六個要素的落地，本質(zhì)上與數(shù)學思想方法的教學是同步的.

以分類討論和數(shù)形結(jié)合為例. 眾所周知，分類討論是中學數(shù)學中的一個重要思想方法，通常情況下，當研究的對象不宜用統(tǒng)一的形式和理論去解釋規(guī)律、給出方法時，就需要進行分類討論. 而數(shù)形結(jié)合則是數(shù)學學習中新的建構(gòu)知識和解決問題的一個重要手段，是根據(jù)數(shù)量與圖形的關(guān)系，認識研究對象的數(shù)學特征、尋找解決問題的方法的一種數(shù)學思想. 很多情況下，利用數(shù)形結(jié)合的方法來研究問題，更有助于學生看清問題的本質(zhì).

在引導(dǎo)學生認識數(shù)學思想方法的價值時，通常要結(jié)合具體的教學內(nèi)容，以讓學生在數(shù)學思想方法的體驗過程中領(lǐng)悟這些數(shù)學思想方法的魅力. “函數(shù)”是高中數(shù)學知識體系中最基本、最重要的概念，在函數(shù)概念的教學中，分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想通常體現(xiàn)在函數(shù)概念的建立、函數(shù)性質(zhì)的建構(gòu)過程中. 例如，在“函數(shù)的奇偶性”的教學中，可以引導(dǎo)學生從函數(shù)圖形的角度認識不同函數(shù)圖像的對稱特點，而這是可以從軸對稱和中心對稱的角度進行分類討論的，于是在這樣的過程中，分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想就能夠得以體現(xiàn).

總體而言，包括分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想在內(nèi)的數(shù)學思想方法的教學，要結(jié)合具體的數(shù)學知識來進行，只有讓數(shù)學思想方法與數(shù)學知識緊密結(jié)合起來，并采取一定的教學策略，學生才能領(lǐng)略到數(shù)學思想方法的真實內(nèi)涵.

[?] 高中學段數(shù)學思想方法的培養(yǎng)實踐

那么在具體的實踐中，數(shù)學思想方法的具體教學策略應(yīng)當是怎樣的呢？考慮到數(shù)學思想方法是對具體方法一般化、程序化和模式化的加工過程，考慮到學生學習數(shù)學思想方法需要經(jīng)歷模仿體驗、明朗化、運用鞏固和聯(lián)系發(fā)展四個基本階段，因此在實際教學中，數(shù)學思想方法教學的基本策略是：在數(shù)學活動中滲透;在反思總結(jié)中概括;在運用訓(xùn)練中鞏固;在相互聯(lián)系中發(fā)展. 基于這樣的思路，筆者以為具體的教學策略可以是：在數(shù)學知識生成的過程中滲透數(shù)學思想方法，在學習反思的過程中明晰數(shù)學思想方法.

同樣以函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)的教學為例，在探究函數(shù)的奇偶性時，本著數(shù)形結(jié)合的思路，先讓學生回顧軸對稱與中心對稱兩種情形，具體可以結(jié)合PPT的運用，展示圖形讓學生判斷，從而調(diào)用學生大腦中已有的表象. 待到學生對這個表象清晰后，再向?qū)W生呈現(xiàn)不同函數(shù)的圖像，如圖1、圖2所示.

學生會發(fā)現(xiàn)，原來函數(shù)的圖像也有軸對稱和中心對稱之分;而且通過進一步探究會發(fā)現(xiàn)，軸對稱的函數(shù)圖像所對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)異于中心對稱的函數(shù)圖像所對應(yīng)的函數(shù)性質(zhì). 這樣的比較與發(fā)現(xiàn)，能夠極大地激發(fā)學生數(shù)學探究的興趣，當最終探究的結(jié)果是能夠用f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）來描述時，學生對數(shù)學的理解會非常深刻，用一些學生的話說，就是“一開始以為十分復(fù)雜的規(guī)律，原來可以用這么簡單的式子來描述，數(shù)學真是太有魅力了”. 筆者以為這樣的評價，一方面說明學生領(lǐng)略到了數(shù)學的魅力，另一方面也說明數(shù)學思想方法的滲透是有效的.

其后，引導(dǎo)學生進行學習反思. 重點是反思函數(shù)的奇偶性是怎樣得到的，學生會發(fā)現(xiàn)最終得到的函數(shù)的奇偶性屬于“數(shù)”的范疇，但最初切入時卻是函數(shù)的圖像，這屬于“形”的范疇. 這時告訴學生數(shù)形結(jié)合思想，學生就會有比較深刻的領(lǐng)悟;同時，讓學生認識到正是基于軸對稱和中心對稱的分類討論，才分別得出了奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念，這也正是分類討論的結(jié)果.

通過上述兩個教學環(huán)節(jié)的實施，學生對函數(shù)奇偶性的理解會有兩個層面：一從知識層面的角度來看，奇偶性這個概念以及相應(yīng)的函數(shù)圖像在學生大腦中的匹配. 這種匹配關(guān)系的形成是很不容易的，其必然對應(yīng)著一個符合學生認知規(guī)律的學習過程. 二從思想方法的角度來看，這樣一個知識的習得過程是一個有多種數(shù)學思想方法支撐的過程，無論是數(shù)形結(jié)合思想的滲透，還是分析歸納方法的運用，本質(zhì)上都是數(shù)學思想方法的重要體現(xiàn). 盡管這里是從兩個層面來分析的，但是學生的學習過程中，知識的建構(gòu)與數(shù)學思想方法的運用卻是重合的. 當學生建構(gòu)知識時，能夠充分運用數(shù)學思想方法，當學生理解數(shù)學思想方法時，能夠靈活結(jié)合數(shù)學知識進行，那就說明思想方法的培養(yǎng)是成功的.

[?] 學生對數(shù)學思想方法的理解是核心

在高中數(shù)學教學中，從學生的角度出發(fā)，可以肯定的一個觀點是：學習數(shù)學的關(guān)鍵在于理解和掌握數(shù)學思想方法，即在學習、掌握數(shù)學知識的同時，獲得、領(lǐng)會和運用數(shù)學思想方法. 從上述教學案例的分析中可以發(fā)現(xiàn)，利用新知教學中數(shù)學思想方法的滲透，然后在學習反思的過程中將數(shù)學思想方法明晰化的策略，是非常有效的.

之所以說這個策略有效，關(guān)鍵在于其能夠促進學生對數(shù)學思想方法的理解，只有學生理解了數(shù)學思想方法，那么這樣的教學才是有效的. 實際上，分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學知識建構(gòu)過程中最重要的兩個基本思想，學生在此前的學習中已經(jīng)有所涉獵，但真正形成顯性的認識，還是要在高中數(shù)學知識的學習過程當中，尤其是學生先經(jīng)過一個數(shù)學思想方法的運用與領(lǐng)悟過程. 在成功得出數(shù)學結(jié)論或者解決了數(shù)學問題之后，再告知他們是這些數(shù)學思想方法發(fā)揮了重要的作用. 經(jīng)歷這樣的過程，學生可以切實認識到數(shù)學思想方法在數(shù)學學習中的作用，那么在以后的學習中學生就能夠有意識地領(lǐng)悟數(shù)學思想方法，而這也正是數(shù)學教學的根本目的.

總之，高中數(shù)學教學中要重視數(shù)學思想方法的教學，在分析教材時，就要重點分析數(shù)學思想方法存在于哪些知識產(chǎn)生的環(huán)節(jié)，而基于學生認知特點尋找相應(yīng)的策略，則是數(shù)學思想方法教學的關(guān)鍵.