劉炳辰

摘 ?要：深入體會教材的編寫意圖，落實好單元教學，真正以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為目標開展教學，才能充分發(fā)揮數(shù)學的育人價值. 在單元教學背景下，針對“函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象”這節(jié)課，緊扣函數(shù)模型的實際意義，開展定向、有序、開放的數(shù)學探究活動. 詳細記錄教學設計與實踐的具體情況，并結(jié)合課堂實例進行教學反思.

關鍵詞：函數(shù)圖象;筒車模型;數(shù)學建模;單元教學

2021年12月底，筆者有幸參加了一次課例研討活動. 活動的主要內(nèi)容是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》必修第一冊（以下統(tǒng)稱“教材”）“5.6 函數(shù)[y=][Asinωx+φ]”課例研討，活動形式是同課異構(gòu). 筆者就“參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響”進行了課例展示. 仔細研讀教材、教師教學用書、配套課例資源及章建躍主編的教科書解讀等專業(yè)資料是備課中的重要任務. 在基本理解單元立意的基礎上，教學設計初具雛形. 之后，山西省教育科學研究院薛紅霞老師細致入微地指導筆者對教學設計進行了反復的實踐與打磨. 在團隊的合作下，這份教學設計于精研教材理念后成型，于精摳教學細節(jié)后定型，最終的教學效果得到了章建躍主編的認可. 在備課、磨課、上課、評課的過程中，筆者在實踐中摸索，切實感受到了教材在“用數(shù)學的方式育人”方面的先進性，借以此文分享本節(jié)課教學設計與實踐的具體情況與教學心得.

一、單元-課時教學設計

1. 內(nèi)容和內(nèi)容解析

（1）內(nèi)容.

現(xiàn)實世界中的許多運動、變化都有著循環(huán)往復、周而復始的規(guī)律，這種變化規(guī)律稱為周期性，周期性現(xiàn)象可以用三角函數(shù)進行刻畫. 勻速圓周運動是一種常見的周期性變化運動，本單元的主要內(nèi)容為建立一般勻速圓周運動的函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]，并研究其圖象與性質(zhì).

結(jié)合實際學情，本單元可以劃分為以下三個課時.

第1課時：充分經(jīng)歷對筒車運動的數(shù)學建模過程，建立一般勻速圓周運動的函數(shù)模型[y=Asinωx+φ].

第2課時：利用筒車模型設計實驗，分別探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響.

第3課時：分別探究用圖象變換法和“五點法”作圖得到函數(shù)[y=Asinωx+φ]的簡圖的方法和步驟;函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象及性質(zhì)的簡單應用.

（2）內(nèi)容解析.

① 內(nèi)容的本質(zhì).

建立一般勻速圓周運動的函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]，并研究其圖象、性質(zhì)和應用.

② 蘊含的數(shù)學思想和方法.

運用數(shù)學抽象從實際問題中建立函數(shù)模型;探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響過程中所運用的控制變量、從特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

③ 知識的上下位關系.

學生經(jīng)歷了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究，知道研究一類新函數(shù)的一般路徑;基于單位圓對正弦函數(shù)進行定義，為利用函數(shù)[y=Asinωx+φ]刻畫一般的勻速圓周運動奠定了知識基礎;從筒車模型中抽象出函數(shù)[y=Asinωx+φ]，明確參數(shù)[A，ω，φ]的實際意義，為探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響奠定了基礎;函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的探究為函數(shù)[y=Asinωx+φ]的簡單應用及三角函數(shù)的應用（教材第5.7節(jié)）奠定了基礎.

④ 育人價值.

積累數(shù)學建?；顒咏?jīng)驗. 筒車運動是代表性的勻速圓周運動，建立函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]對筒車運動進行刻畫，有助于學生積累數(shù)學建?；顒咏?jīng)驗.

體會數(shù)學研究方法. 學生在探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響時，可以充分體會控制變量、從特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

感受數(shù)學的實際應用. 由實際問題得到函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]、利用函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]解決實際問題，充分體現(xiàn)數(shù)學與實際生活的密切聯(lián)系.

發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng). 由筒車運動建立函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]，發(fā)展學生的數(shù)學建模和數(shù)學抽象素養(yǎng);探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]的圖象的影響，發(fā)展學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng);利用函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]解決實際問題，發(fā)展學生的數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng).

（3）教學重點.

利用函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]刻畫一般的勻速圓周運動;參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象及性質(zhì)的影響;從正弦曲線到函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的變換過程.

2. 目標和目標解析

（1）單元目標.

① 通過建立一般勻速圓周運動的函數(shù)模型[y=][Asinωx+φ]積累數(shù)學建?；顒咏?jīng)驗，感受三角函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，發(fā)展學生的數(shù)學建模和數(shù)學抽象素養(yǎng).

② 通過探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=][Asinωx+φ]的圖象的影響、繪制函數(shù)[y=Asinωx+φ]的簡圖，理解函數(shù)解析式與函數(shù)圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會控制變量、從特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想方法，發(fā)展學生的邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

③ 通過應用函數(shù)[y=Asinωx+φ]解決簡單的實際問題，體會數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，發(fā)展學生的數(shù)學抽象與數(shù)學運算素養(yǎng).

（2）目標解析.

達成上述目標的標志如下.

① 能借助三角函數(shù)的定義，對筒車運動規(guī)律進行數(shù)學建模，獲得函數(shù)模型[y=Asinωx+φ]，理解變量[x，y]和參數(shù)[A，ω，φ]的實際意義，說明函數(shù)[y=][Asinωx+φ]與生活中的勻速圓周運動之間的聯(lián)系.

② 能通過類比，建立參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響的探究實驗的設計思路、研究方法，解釋參數(shù)[A，ω，φ]對圖象的影響.

③ 能總結(jié)由正弦曲線經(jīng)平移、伸縮變換得到函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的步驟;能利用“五點法”作圖畫出函數(shù)[y=Asinωx+φ]的簡圖.

④ 能根據(jù)函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象說明其性質(zhì)，并解決一些簡單的具有明確勻速圓周運動特征的實際問題.

3. 教學問題診斷分析

（1）學生已有認知基礎.

① 學生理解正弦函數(shù)的定義、知道三角函數(shù)具有周期性，從而更容易想到借助三角函數(shù)對“周而復始”的筒車運動的規(guī)律進行刻畫，并利用正弦函數(shù)建立水筒高度與其轉(zhuǎn)過的角的弧度之間的聯(lián)系，有助于突破建模時的難點.

② 學生在研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)時已經(jīng)明確了研究一類新函數(shù)的一般路徑，有助于有序地對函數(shù)[y=][Asinωx+φ]展開研究.

③ 初中時，學生經(jīng)歷過參數(shù)[a，b，c]對函數(shù)[y=][ax2+bx+c]的圖象及性質(zhì)的影響的探究活動，有一定的采用控制變量、從特殊到一般進行研究的方法意識，有利于明確探究思路.

（2）學生可能遇到的難點及破解辦法.

① 筒車運動的數(shù)學建模較為復雜，綜合性強，且涉及幾何量之間的對應關系，而非較為直接的運算關系，學生缺乏研究這類問題的經(jīng)驗. 教學中，可以借助信息技術直觀呈現(xiàn)筒車運動的情況，引導學生仔細分析其中的變量和函數(shù)關系，從而突破這一難點.

② 在研究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響時，由于三個參數(shù)共同影響函數(shù)圖象，學生可能會感到無從下手. 教學中，教師可以引導學生回顧二次函數(shù)圖象的研究方法，了解控制變量法和從特殊到一般的思想方法，設計探究方案.

③ 在探究從正弦曲線經(jīng)圖象變換得到函數(shù)[y=][Asinωx+φ]的圖象的方法時，學生需要綜合考慮三種變換，不同的變換順序會導致變換方法的不同，教師在教學中應該注意引導學生結(jié)合筒車模型理解圖象變換的本質(zhì).

（3）教學難點.

數(shù)學建模的過程與方法;函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象變換與其解析式變化之間的內(nèi)在關系.

4. 教學支持條件分析

制作模擬筒車運動的計算機程序，直觀展示、對比不同參數(shù)對應勻速圓周運動的實際情況，可以降低數(shù)學抽象的難度. 利用GeoGebra軟件分別制作參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象影響的動態(tài)課件，任意改變相應參數(shù)并繪制函數(shù)圖象，不僅可以將局部的圖象更加精確地拓展到整體，還可以幫助學生直觀感受函數(shù)解析式與圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，理解參數(shù)對圖象的影響.

5. 課時教學設計

第2課時：參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=][Asinωx+φ]的圖象的影響.

（1）課時教學內(nèi)容.

利用筒車模型設計實驗，分別探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響.

（2）課時教學目標.

通過探究參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響，能夠進一步理解參數(shù)[A，ω，φ]在圓周運動中的實際意義，明確參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)圖象及性質(zhì)的影響、函數(shù)解析式與圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會控制變量、從特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想方法，發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

（3）教學重點與教學難點.

教學重點：參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=][Asinωx+φ]的圖象的影響.

教學難點：函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象變換與解析式變化之間的內(nèi)在關系.

（4）教學過程設計.

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設情境，確定方法.

師：上節(jié)課中，我們從筒車模型中抽象出了函數(shù)[y=][Asinωx+φ]，接下來應該進一步研究其圖象與性質(zhì). 函數(shù)[y=Asinωx+φ]受到[A，ω，φ]三個參數(shù)的影響，該如何開展研究呢？首先，請同學們回顧二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的圖象的探究過程：控制[b，c]不變，只改變[a]，可以發(fā)現(xiàn)[a]影響開口方向和開口大小，這里用到了控制變量的方法. 通過研究幾個特殊的[a]值，可以歸納總結(jié)出參數(shù)[a]對二次函數(shù)圖象的影響，這里用到了從特殊到一般的思想. 接下來，類比二次函數(shù)的研究過程開展本節(jié)課的探究. 思考并回答下列問題.

問題1：（1）函數(shù)[y=Asinωx+φ]中變量[x，y]和參數(shù)[A，ω，φ]的實際意義分別是什么？

（2）函數(shù)[y=sinx]與函數(shù)[y=Asinωx+φ]有什么關系？

預設的師生活動：教師帶領學生回顧初中時研究二次函數(shù)[y=ax2+bx+c]（[a≠0]）的過程，總結(jié)其中的思想方法，明確參數(shù)[A，ω，φ]的變化對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響的探究思路：從函數(shù)[y=][sinx]出發(fā)，控制變量，每次探究一個參數(shù)，通過研究特殊值歸納總結(jié)該參數(shù)對函數(shù)圖象的影響. 之后，教師引導學生復習函數(shù)[y=Asinωx+φ]中自變量、因變量與三個關鍵參數(shù)的實際意義. 此處可以著重強調(diào)自變量[x]與因變量[y]的物理意義和關系，以幫助學生明確：要想知道平面直角坐標系中哪個點在函數(shù)圖象上，只要把握好動點做勻速圓周運動的時間（即為[x]），以及此時動點在圓上的位置對應的高度，即縱坐標（即為[y]）.

追問：我們可以按照怎樣的順序?qū)?shù)[A，ω，φ]進行研究？

預設的師生活動：學生發(fā)表自己的觀點后，教師引導學生確定按[φ，ω，A]的順序進行探究，即依次研究函數(shù)[y=sinx+φ]、函數(shù)[y=sinωx+φ]和函數(shù)[y=][Asinωx+φ]的圖象.

實際的師生活動：試講過程中學生給出了各種研究順序，教師在肯定其可行性的基礎上，選擇了與教材中一致的研究順序. 但是教師感覺到本課時的容量略大，為節(jié)約時間，正式上課時省略了追問，直接由教師規(guī)定參數(shù)的研究順序，導致學生沒能進行充分的思考，沒能完整地參與數(shù)學探究方案設計的全過程.

【設計意圖】類比函數(shù)[y=ax2+bx+c]的圖象的研究方法，確定研究函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的方法和思路. 明確變量與參數(shù)的實際意義，為利用筒車模型對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象進行探究打好基礎.

環(huán)節(jié)2：教師主導，師生共研.

探究參數(shù)[φ]對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響.

問題2：類比初中時研究二次函數(shù)的方法，我們遵循從特殊到一般的思想，先取特殊值[φ=π6，] 再類比總結(jié)任意[φ]值對函數(shù)圖象的影響. 按照這樣的思路，函數(shù)[y=sinx+π6]與函數(shù)[y=sinx]所描述的動點[M]所做的勻速圓周運動分別是什么？主要區(qū)別是什么？結(jié)合筒車模型說明.

預設的師生活動：學生明確函數(shù)[y=sinx+π6]與函數(shù)[y=sinx]所描述的勻速圓周運動的區(qū)別主要是初始位置不同.

追問1：如圖1，任取單位圓上一點[P]. 若動點[M]（記為點[M1]）以[Q0]為起點運動，經(jīng)過[x]s后到達點[P]，則動點[M1]轉(zhuǎn)過的角的弧度是多少？[y]與點[P]的關系是什么？

追問2：如圖1，若動點[M]（記為點[M2]）以[Q1]為起點運動，到達同一個點[P]時，其所用的時間是縮短了還是延長了？從物理角度如何進行計算？

預設的師生活動：追問1和追問2分別對應函數(shù)[y=][sinx]和函數(shù)[y=sinx+π6]所描述的勻速圓周運動. 在學生回答追問1時，教師引導學生詳細分析計算過程：動點[M]運動的角速度[ω=1]，時間為[x]s，因此轉(zhuǎn)過的角的弧度為[1 · x=x]. 在學生回答追問2時，教師可以展示如圖2所示的筒車運動模擬程序，同時類比“兩名學生在不同的起跑線以相同的速度賽跑，到達同一個終點時誰用時更短”的問題幫助學生更快、更直觀地進行分析. 在學生回答“從物理角度如何進行計算”時，教師引導學生明確這是一個路程問題，動點[M1]所轉(zhuǎn)過的角的弧度為[x-π6，] 角速度為[ω=1，] 因此所用時間為[x-π6]s.

實際的師生活動：試講時發(fā)現(xiàn)學生很容易理解點[M1]和點[M2]運動的差異，教師口述了“兩名學生從不同起點開始賽跑”的例子，這已經(jīng)足夠幫助學生進行形象理解. 實際上，學生真正的難點是用抽象的數(shù)學語言進行表達. 因此，筒車運動模擬程序并沒有真正“抓住學生的痛點”，故實際授課時刪去了圖2中模擬程序的展示.

追問3：根據(jù)上述實驗過程分析. 若點[x，y]在函數(shù)[y=sinx]的圖象上，那么哪個點一定會在函數(shù)[y=][sinx+π6]的圖象上？寫出點的坐標，并說出這兩個點的位置關系.

追問4：根據(jù)上一個問題的結(jié)果，你能說出函數(shù)[y=][sinx+π6]的圖象與函數(shù)[y=sinx]的圖象有怎樣的聯(lián)系嗎？說明原因.

預設的師生活動：學生得出如下結(jié)論. 若點[x，y]在函數(shù)[y=sinx]的圖象上，那么點[x-π6，y]一定在函數(shù)[y=sinx+π6]的圖象上，且點[x-π6，y]是由點[x，y]向左平移[π6]個長度單位得到的. 因此，將函數(shù)[y=sinx]的圖象向左平移[π6]個長度單位，即可得到函數(shù)[y=][sinx+π6]的圖象.

在學生回答追問4時，教師應該著重引導學生分析：函數(shù)圖象是由一個個點組成的，因而每個點的變化決定了函數(shù)圖象整體的變化.

實際的師生活動：初次試講時，追問3中沒有強調(diào)“位置關系”，只要求學生說明兩點的關系，因此學生只從數(shù)值層面上回答出“[x-π6，y]與[x，y]相比，縱坐標相同，橫坐標減小了[π6]”. 這一情況說明了準確提問對于提高課堂效率的重要作用.

追問5：選擇一個[φ]的其他取值進行實驗，函數(shù)圖象會有怎樣的變化？結(jié)合筒車模型解釋.

追問6：根據(jù)上述實驗結(jié)果，你能歸納出[φ]的取值對函數(shù)[y=sinx+φ]的圖象的影響的一般性結(jié)論嗎？

預設的師生活動：學生自由選取[φ]的值，按照追問1 ～ 追問4的思路進行分析，根據(jù)從特殊到一般的思想最終得到結(jié)論.

在學生完成實驗探究并得到結(jié)論后，教師利用GeoGebra軟件展示動態(tài)課件，進一步展示函數(shù)圖象的變化情況，加深學生的直觀理解.

實際的師生活動：學生在回答追問6時，很容易脫離筒車模型，僅從抽象的代數(shù)層面進行解釋. 但是經(jīng)過教師的引導，學生最終可以結(jié)合筒車模型給出具體完整的分析.

【設計意圖】本環(huán)節(jié)引導學生有序地參與數(shù)學實驗，充分利用筒車模型從特殊到一般地探索參數(shù)[φ]對函數(shù)圖象的影響，讓學生積累數(shù)學探究活動經(jīng)驗，發(fā)展學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

問題鏈的具體設計意圖如下. 首先，厘清關系. 問題2是對研究對象的梳理，幫助學生厘清函數(shù)圖象上的點的橫坐標和縱坐標的含義，以及動點[M]的運動方式的不同，為后續(xù)研究奠定基礎. 其次，進行實驗. 在追問1 ～ 追問4中，教師引導學生參與數(shù)學實驗，讓學生真實體會動點[M]由不同的起始位置開始運動，會導致函數(shù)[y=sinx]與函數(shù)[y=sinx+π6]出現(xiàn)怎樣的差異，發(fā)展學生的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng). 最后，遷移歸納. 追問5和追問6旨在引導學生完成從特殊到一般的轉(zhuǎn)變，學生根據(jù)[φ]取特殊值[π6]時的研究經(jīng)驗，自行歸納出參數(shù)[φ]的值對函數(shù)圖象的影響，充分體會從特殊到一般的數(shù)學思想.

環(huán)節(jié)3：類比方法，自主設計.

探究參數(shù)[ω ω>0]對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響.

問題3：你準備如何探究參數(shù)[ω ω>0]對函數(shù)[y=][Asinωx+φ]的圖象及性質(zhì)的影響呢？試設計方案，猜想結(jié)果. 先獨立思考，再小組討論.

預設的師生活動：學生類比參數(shù)[φ]對函數(shù)[y=][sinx+φ]的圖象的影響的研究過程，按照從特殊到一般的思想方法，獨立思考之后小組討論，并擬定研究參數(shù)[ω]的變化對函數(shù)[y=sinωx+φ]的圖象影響的方案. 教師引導學生確定如下探究方案：① 為控制變量，應固定[φ]的值（不妨設[φ=π6]）. ② 根據(jù)從特殊到一般的思想方法，可以先研究[ω]取特殊值2時圖象的變化，即根據(jù)動點[M]運動方式的不同，分析函數(shù)[y=][sinx+π6]與函數(shù)[y=sin2x+π6]的區(qū)別與聯(lián)系. ③ 選取其他[ω]的值進行實驗，歸納參數(shù)[ω ω>0]對函數(shù)[y=sinωx+φ]的圖象的影響.

追問1：函數(shù)[y=sin2x+π6]描述的是動點[M]做怎樣的勻速圓周運動？與函數(shù)[y=sinx+π6]所描述的動點[M]做勻速圓周運動的區(qū)別是什么？

追問2：如圖1，任取單位圓上一點[P]. 若動點[M]以[Q1]為起點，當角速度[ω=1]時，動點[M]經(jīng)過[x]s后到達點[P]，那么當角速度[ω=2]時，動點[M]經(jīng)過多少時間后可以到達點[P]？

追問3：根據(jù)上述研究說明，若點[x，y]在函數(shù)[y=][sinx+π6]的圖象上，那么哪個點一定會在函數(shù)[y=][sin2x+π6]的圖象上？這兩個點的位置關系如何？據(jù)此可以說明，函數(shù)[y=sin2x+π6]的圖象與函數(shù)[y=][sinx+π6]的圖象有怎樣的聯(lián)系？

預設的師生活動：學生自主完成，可以找到關系，但是不能準確地表達. 教師予以幫助，得到：函數(shù)[y=sinx+π6]與函數(shù)[y=sin2x+π6]所描述的勻速圓周運動的半徑與起點相同，而角速度不同，前者[ω=1]，后者[ω=2]. 若當[ω=1]時，動點[M]經(jīng)過[x]s后到達點[P]，則當[ω=2]時，由于角速度變?yōu)樵瓉淼?倍，所以動點[M]轉(zhuǎn)過相同的角時，所用的時間會變?yōu)樵瓉淼腫12]，即[x2]s. 因此，若點[x，y]在函數(shù)[y=sinx+π6]的圖象上，那么點[x2，y]一定會在函數(shù)[y=sin2x+π6]的圖象上.

點[x，y]的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的[12]，即可得到點[x2，y]，說明將函數(shù)[y=sinx+π6]的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的[12]，即可得到函數(shù)[y=sin2x+π6]的圖象.

當學生的回答偏離筒車模型時，教師應該及時進行引導.

實際的師生活動：試講時發(fā)現(xiàn)，學生難以準確概括點[x，y]與點[x2，y]之間的位置關系，出現(xiàn)了“向左移動”等錯誤表述，說明學生沒能真正理解伸長與縮短的含義. 為了進一步加深學生的直觀理解，筆者在實際授課中增加了“哪些點的坐標不發(fā)生改變”的追問，幫助學生明確[y]軸上點的位置不會發(fā)生變化，而其他點會更加靠近[y]軸這一事實，從而使學生能以[y]軸為參照描述這種伸縮變換.

追問4：選取其他的[ω]值進行實驗，并結(jié)合筒車模型分析函數(shù)圖象的變化. 根據(jù)上述實驗結(jié)果，你能歸納出參數(shù)[ω ω>0]對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象影響的一般性結(jié)論嗎？

預設的師生活動：學生自由選取其他的[ω]值，按照追問1 ～ 追問3的思路進行分析，最終得到結(jié)論.

在完成實驗探究并得到結(jié)論后，教師利用信息技術手段對圖象的變化情況進行進一步展示，加深學生的直觀理解.

實際的師生活動：學生歸納一般結(jié)論時，在沒有任何引導的情況下，先描述了函數(shù)周期的變化，這是出乎意料的情況，也側(cè)面反映出教材提到周期這一函數(shù)性質(zhì)的合理性. 筆者順勢進行了追問：“周期變化的原因是什么？你能利用筒車模型進行解釋嗎？”學生在引導下得到結(jié)論：動點[M]順時針或逆時針繼續(xù)轉(zhuǎn)過每個2π，就會再次到達同一個點[P]，由于角速度為[ω，]因此動點[M]轉(zhuǎn)過2π所用的時間為[2πω]s，這就是函數(shù)[y=Asinωx+φ]的周期. 這樣追問反而使學生對周期的理解自然地達到了數(shù)、形、物理背景的統(tǒng)一，使得周期公式變得具體、直觀.

【設計意圖】由于本環(huán)節(jié)需要學生對之前所掌握的經(jīng)驗、思想與方法自覺地進行應用，設計實驗進行探究，考驗學生運用數(shù)學方法的能力和核心素養(yǎng)的水平. 本環(huán)節(jié)中追問的結(jié)構(gòu)與環(huán)節(jié)2保持一致，讓學生充分參與了定向、有序的數(shù)學探究. 學生在完成本環(huán)節(jié)的探究后，不僅可以進一步體會勻速圓周運動與三角函數(shù)之間的密切聯(lián)系，加深對三角函數(shù)實際意義及三角函數(shù)圖象的理解，還可以在自主設計與探究的過程中進一步體會從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學思想方法，發(fā)展自身的直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

環(huán)節(jié)4：自主探究，師生總結(jié).

探究參數(shù)[A A>0]對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響.

問題4：能否自行設計方案對參數(shù)[A]進行研究，并總結(jié)出參數(shù)[A A>0]對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的影響？

預設的師生活動：本環(huán)節(jié)主要由學生在獨立思考的基礎上通過小組合作交流完成. 仿照前面研究問題的方法與思路設計實驗、完成實驗，最終形成一般性結(jié)論.

得到實驗結(jié)論后，教師可以利用GeoGebra軟件繪制函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象，進一步加深學生對函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的直觀理解.

實際的師生活動：在實際授課中，筆者沒能做到完全“放手”，在學生回答問題的過程中進行了不必要的引導，一定程度上禁錮了學生的思維.

【設計意圖】這一環(huán)節(jié)主要由學生對前面學到的數(shù)學思想與方法進行實際應用，進一步加深學生對從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學思想的理解與體會，真正積累數(shù)學探究活動的實際經(jīng)驗，發(fā)展學生的直觀想象、數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng).

環(huán)節(jié)5：總結(jié)知識，提煉思想，發(fā)展素養(yǎng).

教師引導學生對本節(jié)課進行回顧與總結(jié).

問題5：能否以下列任務為引導，分享自己在這節(jié)課中的收獲？

（1）參數(shù)[A，ω，φ]分別是如何影響函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的？結(jié)合筒車模型進行解釋.

（2）在本節(jié)課中學習到了哪些數(shù)學研究方法？總結(jié)一下，并結(jié)合研究過程給出具體解釋.

（3）你覺得接下來還應該對函數(shù)圖象進行哪些方面的研究？

師生活動：學生回顧課堂內(nèi)容與本節(jié)課的活動經(jīng)驗，對知識與知識的形成過程進行總結(jié)，對相關數(shù)學思想方法進行歸納，學生之間進行交流與分享，進一步加深學生對本節(jié)課所學內(nèi)容的理解，發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng). 教師負責引導和評價.

本環(huán)節(jié)如無法在課堂上完成，可以留作課后作業(yè).

【設計意圖】引導學生總結(jié)本節(jié)課的知識與知識的形成過程，鞏固控制變量的實驗方法和從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學思想，從而落實直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

6. 目標檢測設計

教材第239頁練習的第2題.

7. 布置作業(yè)

（1）基礎檢測：教材第239頁第1題和第4題;第240頁第1題.

（2）綜合運用：教材第241頁第5題、第6題和第7題;第254頁第9題.

（3）拓展探究.

① 知識拓展：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容，總結(jié)參數(shù)[A，ω，][φ]分別是如何影響函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象的，并探究給定一個函數(shù)[y=Asinωx+φ]，如何作出它的圖象. 用至少兩種方法完成作圖，并寫出詳細作圖過程.

② 思維提煉：結(jié)合本節(jié)課的學習內(nèi)容，談一談你在數(shù)學研究方法上的感受.

③ 實踐應用：自行查找深圳市“灣區(qū)之光”摩天輪的相關信息，建立一個刻畫乘客位置高度隨摩天輪運行時間變化情況的數(shù)學模型，并利用信息技術手段繪制出對應的函數(shù)圖象. 如果有條件的話，可以進行一次實地體驗，檢驗模型的準確性.

二、教學反思

1. 把握單元主線，落實單元教學

在教學設計初稿中出現(xiàn)的最大問題，就是筆者沒能把握好本單元內(nèi)容的本質(zhì). 對此，薛紅霞老師在批注中寫道“本單元內(nèi)容的本質(zhì)是對勻速圓周運動進行數(shù)學建?！?，還指引筆者仔細閱讀教材的章引言、5.1節(jié)引言、5.2節(jié)引言和5.6節(jié)引言. 經(jīng)過深入的研讀和思考，筆者才理解了本單元的主線，按照教材要求完成了單元教學.

函數(shù)是用數(shù)學語言刻畫現(xiàn)實事物間的關系的數(shù)學工具. 對于具有不同規(guī)律的變化現(xiàn)象，我們選擇不同的函數(shù)模型進行刻畫. 相較于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)有其特有的周期性質(zhì)，因而函數(shù)[y=][Asinωx+φ]是刻畫現(xiàn)實世界中周期性現(xiàn)象的重要模型. 因此，與指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的定位一致，應該遵循研究一類函數(shù)的基本套路對函數(shù)[y=Asinωx+φ]展開研究，這一過程便是一個典型的數(shù)學建模過程. 在人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學1（必修）》（以下統(tǒng)稱“舊教材”）中，本節(jié)課的標題為“函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象”，而教材中將本節(jié)課的標題改為“函數(shù)[y=Asinωx+φ]”，其目的正是凸顯函數(shù)[y=Asinωx+φ]作為一類函數(shù)的定位.

重視單元教學，重視“一般觀念”，讓學生切身體驗“研究對象在變，思想方法不變，研究套路不變”的數(shù)學探究活動，才能更好地發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng). 章建躍主編的一句話令筆者深受觸動，即“發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在力量，用數(shù)學的方式育人”，把握好單元主線，落實好單元教學，是教學的正道.

2. 理解教材意圖，緊扣模型背景

舊教材在研究函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象時側(cè)重通過觀察圖象的變化來歸納規(guī)律. 而教材緊扣函數(shù)模型的現(xiàn)實背景，借助筒車模型幫助學生理解函數(shù)圖象變換的內(nèi)在原因，讓數(shù)學結(jié)論不僅僅停留在抽象層面. 在一次次的教學實踐中，筆者越來越領悟到筒車模型的重要作用，也越來越理解教材如此設計的意圖.

函數(shù)圖象的左右平移和伸縮規(guī)律一直是學生較難理解的，多數(shù)學生只能“死記硬背”. 而借助筒車模型，可以將抽象的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為學生熟悉的“路程問題”，幫助學生形象地理解其中的原理. 在不同班級的多次試講中，學生的反應都是令人滿意和驚喜的，這是筆者對于筒車模型重要作用的初次體會.

第二次領悟到利用筒車模型進行研究的優(yōu)勢，是在教學設計的打磨階段. 薛紅霞老師在一次磨課中說道：“在研究單個參數(shù)如何影響函數(shù)圖象時用好筒車模型，對后續(xù)研究三個參數(shù)如何共同影響函數(shù)圖象是很有幫助的. 尤其是在解釋先進行周期變換再左右平移，平移的長度單位是[φω]的原因時，學生如果理解了筒車模型，就很容易分析出：當起點所對應的角的弧度相差[φ]時，由于角速度已經(jīng)變?yōu)閇ω ω>0]，因此到達同一個終點所用的時間就相差[φω].”聽完這句話，筆者感到醍醐灌頂，并在之后的教學中如此實踐，學生果然很快就理解了這一原本抽象晦澀的知識點，課堂效果令人十分驚喜.

第三次感受到筒車模型的“力量”，是在活動當天正式授課時. 學生在回答問題3的追問4時，主動提到了函數(shù)周期的變化，筆者突然想到周期的變化也可以用筒車模型進行解釋，便順勢追問：“你能用筒車模型解釋周期變化的原因嗎？”這個問題挑戰(zhàn)學生的自信，因為他前面的回答肯定是正確的，所以學生聽到這個問題明顯有些迷茫，但在筆者的鼓勵和引導下還是一步步分析了出來. 此外，筆者還聽到好幾名學生也都在小聲地一起回答，說明他們真的理解了筒車模型，也更加理解函數(shù)[y=Asinωx+φ].

數(shù)學的理論盡管是抽象的，但卻與實際生活有著緊密的聯(lián)系，這也是教材所體現(xiàn)的觀念之一. 在日常教學中，深入理解教材的編寫意圖，將數(shù)學意義與實際意義緊密結(jié)合起來，不僅有助于學生理解數(shù)學，更有助于學生體會數(shù)學在生產(chǎn)、生活中的力量與價值.

3. 進行有序探究，開放課堂活動

筆者遵循教材設計教學，讓學生先類比二次函數(shù)的研究過程確定研究思路與方法，再在教師的“主導”下經(jīng)歷參數(shù)[φ]的探究過程，充分體會其中的思想方法. 之后教師逐步“放手”，在探究參數(shù)[ω]時，讓學生類比之前的探究過程自行設計方案，再與教師共同展開探究活動. 而在探究參數(shù)[A]時，則更加開放，直接讓學生自主完成“設計方案—進行實驗—得出結(jié)論”的全過程.

在試講之前，筆者曾擔心過學生能否適應這樣逐步開放的探究活動，但實際的課堂效果給了筆者很大的驚喜，學生能夠積極地回答問題，雖然有時也會偏離主線，但只要教師及時引導，他們還是能給出令人滿意的答案的. 分析其中的原因，筆者認為有兩點值得關注. 一是對思想方法進行清晰、準確地提煉. 本課時中類比二次函數(shù)研究提煉控制變量和從特殊到一般思想的過程，對于后續(xù)順利開展探究活動是非常重要的，不容忽視. 二是探究活動的設計要邏輯清晰、結(jié)構(gòu)統(tǒng)一、導向明確. 本課時依次對三個參數(shù)進行探究，其思路、方法與結(jié)構(gòu)是相同的，因此學生只要充分經(jīng)歷過一兩次這樣的定向探究，便能夠自主完成最后一個開放性任務. 讓學生這樣有意識地關注方法、有邏輯地進行思考、有序地進行探究，對于培養(yǎng)學生的理性思維和科學精神將大有裨益.

在實際授課時，由于臨近下課，在學生回答問題4這一完全開放的問題時，筆者急于介入其中進行了引導，沒能完全做到“放手”. 章建躍主編在點評時說道：“課堂活動設計得很好，有足夠的開放性，課堂上應該堅決地執(zhí)行.”筆者自己也感到十分可惜，深刻體會到了真正開放地進行開放性活動的重要性.

深入體會教材的編寫意圖，真正以發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)為目的而開展教學，是筆者參與本次課例研討活動之后最大的感悟. 具體到本課時的教學，就是應該落實好單元教學，緊扣函數(shù)模型的實際意義，開展好定向、有序、開放的數(shù)學探究活動. 我們必須不斷學習、不斷思考，才能努力做到理解數(shù)學、理解學生、理解技術、理解教學，用數(shù)學的方式育人.

參考文獻：

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