翁建良

摘 要：本文針對(duì)易錯(cuò)例題進(jìn)行剖析，采用變式法、數(shù)行結(jié)合法談含參絕對(duì)值函數(shù)最值問(wèn)題的求解策略.

關(guān)鍵詞：絕對(duì)值;最值問(wèn)題;數(shù)形結(jié)合

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）04-0006-03

1 例題——“單絕單參雙最”

例題 函數(shù)f（x）=x+4x-a（a∈R），當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，記f（x）的最大值為M（a），則M（a）的最小值為.

解法1 （換元法和圖象法）令t=x+1x∈2，103，則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為g（t）=t-a，其中t∈2，103.

所以M（a）=max2-a，103-a.

在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=|2-a|和y=|103-a|的圖象，則M（a）表示的即為兩函數(shù)圖象上邊界部分.

于是當(dāng)a-2=103-a，即a=83時(shí)，M（a）的最小值為23.

解法2 （利用絕對(duì)值三角不等式）

因?yàn)镸（a）=max2-a，103-a，

所以可得M（a）≥|2-a|，M（a）≥|103-a|.

則2M（a）≥|2-a|+|103-a|

≥|2-a-（103-a）|=43.

所以M（a）≥23，當(dāng)且僅當(dāng)a=83時(shí)取到等號(hào)，即M（a）的最小值為23.

解法3 （幾何法——數(shù)形結(jié)合）

f（x）可理解為函數(shù)y=x+1x上的點(diǎn)與直線(xiàn)y=a的縱向距離，這樣我們就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象縱向距離的最大值的最小值.

故f（x）的最大值M（a）=max{|2-a|，|103-a|}.所以M（a）min=103-22=23.

此時(shí)y=a=103+22=83.

評(píng)析 解法3利用數(shù)形結(jié)合思想將整個(gè)題目的難度降低，也將看似很難的題目變得簡(jiǎn)單而又通俗易懂.如果將定義域改為x∈[12，3]，用解法3，結(jié)合圖象分析，可以發(fā)現(xiàn)M（a）的最小值只與函數(shù)y=x+1x的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)有關(guān)，與端點(diǎn)無(wú)關(guān).

2 拓展1——“單絕雙參雙最”變式1 函數(shù)f（x）=x+1x-ax-b（a∈R，b∈R），當(dāng)x∈[12，2]時(shí)，記f（x）的最大值為M（a，b），則M（a，b）的最小值為.

分析 首先f(wàn)（x）可理解為函數(shù)y=x+1x上的點(diǎn)與直線(xiàn)y=ax+b的縱向距離.

記M（a，b）=M，則x+1x-ax-b≤M.

即ax+b-M≤x+1x≤ax+b+M.

所以函數(shù)y=x+1x圖象夾在兩條平行線(xiàn)y=ax+b-M與y=ax+b+M之間，如圖1所示.

當(dāng)兩條平行線(xiàn)間的縱向距離最小時(shí)，M（a，b）取到最小值，當(dāng)M（a，b）取到最小值時(shí)，y=x+1x恰好夾在兩條平行線(xiàn)（圖中的兩條實(shí)線(xiàn)）y=52與y=2之間，如圖2所示.

此時(shí)直線(xiàn)（圖中的虛線(xiàn)）y=ax+b=52+22=94，此時(shí)a=0，b=94.

所以M（a，b）min=52-22=14.

如果將定義域改為x∈[12，3]，則y=x+1x的圖象恰好被圖3所示的兩條平行線(xiàn)夾在中間.圖3

此時(shí)lAB：y=13x+73，切點(diǎn)C（62，566），l切線(xiàn)：y=13x+263.故M（a，b）min=263-732=76-63.

此時(shí)y=ax+b=13x+263+732=13x+63+76.

3 拓展2——“雙絕雙參雙最”

變式2 已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|1x-b|（a∈R，b∈R），當(dāng)x∈[12，3]時(shí)，記f（x）的最大值M（a，b），則M（a，b）的最小值為.

分析 此題難點(diǎn)在于雙絕對(duì)值的結(jié)構(gòu).比較常見(jiàn)的突破點(diǎn)是分類(lèi)討論去絕對(duì)值或者利用絕對(duì)值恒等式：|a|+|b|=max{|a+b|，|a-b|}.

由絕對(duì)值三角不等式a-b≤a±b≤a+b，可得絕對(duì)值恒等式|a|+|b|=max{|a+b|，|a-b|}.

因此有f（x）=|x-a|+|1x-b|

=maxx+1x-b-a，x-1x-a+b.

令f1（x）=x+1x-b-a，f2（x）=x-1x-a+b，g1（x）=x+1x，g2（x）=x-1x，則maxx∈12，3f1（x）≥103-22=23（當(dāng)且僅當(dāng)a+b=83時(shí)，等號(hào)成立），

maxx∈12，3f2（x）≥83-（-32）2=2512（當(dāng)且僅當(dāng)a-b=712時(shí)，等號(hào)成立）.

因此M（a，b）min=2512（當(dāng)且僅當(dāng)a-b=712時(shí)，取到最小值）.

評(píng)析 此題利用絕對(duì)值恒等式將兩個(gè)絕對(duì)值的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)絕對(duì)值的形式，從而把該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為例題的結(jié)構(gòu).

筆者通過(guò)對(duì)一道典型例題及其變式的研究，提煉出一類(lèi)含參數(shù)雙絕對(duì)值最值問(wèn)題的一般解法，即先利用絕對(duì)值恒等式將雙絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為單絕對(duì)值，再利用數(shù)形結(jié)合將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題直觀化，代數(shù)問(wèn)題幾何化，從而揭示問(wèn)題本質(zhì)，將難度較大的問(wèn)題降維，完成一題多解到多題一解的跨越.

參考文獻(xiàn)：

[1] 李文東.已知函數(shù)的最值求參數(shù)的值或范圍問(wèn)題的求解策略[J].數(shù)理化解題研究，2021（16）：34-35.

[2] 呂相紅.高中函數(shù)“最值”問(wèn)題的求解策略[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2020（09）：90.

[責(zé)任編輯：李 璟]