馬丹丹

【摘 要】在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要整體把握教材知識點(diǎn)之間的本質(zhì)聯(lián)系，研究教材編寫的邏輯性和系統(tǒng)性，運(yùn)用科學(xué)的思維方法把教材中的各個知識點(diǎn)有機(jī)結(jié)合起來，做到系統(tǒng)連貫、知識成串。教師如果能用整體把握教材的思想去設(shè)計教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)過程，滲透數(shù)學(xué)思想方法，就能幫助學(xué)生構(gòu)建一個完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。本文以數(shù)與代數(shù)中“積的變化規(guī)律”為例，提出一些整體把握教材的策略方法，使教學(xué)更高效。

【關(guān)鍵詞】整體把握 數(shù)學(xué)思想 知識體系

在新課改的推進(jìn)過程中，教師應(yīng)如何整體把握教材，提高教學(xué)效率，成為亟待解決的問題之一。整體把握教材，就要求教師鉆研教材：研究教材的科學(xué)性，把握知識的科學(xué)含義，做到深入淺出、科學(xué)正確地傳授知識;研究教材的邏輯性，運(yùn)用科學(xué)的思維方法，做到講述通俗嚴(yán)密、思路清晰;研究教材的系統(tǒng)性，把教材中的各知識點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合起來，做到系統(tǒng)連貫、知識成串。這是整體把握教材的三個重要標(biāo)志。這樣，教師在教學(xué)活動中，就可以自然地構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)思維方法的正確選擇和組合，從而達(dá)到靈活掌握和支配教材的目的。

本文以“積的變化規(guī)律”為例，從以下三個方面來說明如何整體把握教材、發(fā)展學(xué)生思維：

一、縱向把握知識脈絡(luò)，架構(gòu)知識體系

教學(xué)時，應(yīng)注重內(nèi)容的系統(tǒng)性和邏輯性，分析教材的整體知識結(jié)構(gòu)和教學(xué)內(nèi)容的順序安排。

（一）分析該知識點(diǎn)的生長點(diǎn)

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容“積的變化規(guī)律”是北京景山版教材三年級上冊第八單元“乘法（二）”中的內(nèi)容，屬于數(shù)的運(yùn)算方面的知識，是在學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)的估算以及筆算后進(jìn)行的關(guān)于乘法規(guī)律的教學(xué)，需要學(xué)生達(dá)到應(yīng)用的水平。這一部分內(nèi)容在前面學(xué)習(xí)整十?dāng)?shù)、整百數(shù)的乘法口算教學(xué)時已經(jīng)有所滲透，這里主要是讓學(xué)生進(jìn)一步明確乘法運(yùn)算中因數(shù)和積之間的密切聯(lián)系：因數(shù)的變化會導(dǎo)致積的變化（因數(shù)變大，積也變大;因數(shù)變小，積也變?。?。課堂中，教師可以通過幾組算式的計算引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘（或除以）一個數(shù)（0除外），積也乘（或除以）相同的數(shù)。而這一內(nèi)容與之前加減法的教學(xué)內(nèi)容相似。加法中和的變化規(guī)律：一個加數(shù)不變，另一個加數(shù)加（或減）一個數(shù)，和也加（或減）相同的數(shù)。減法中差的變化規(guī)律：減數(shù)不變，被減數(shù)加（或減）一個數(shù)，差也加（或減）相同的數(shù);被減數(shù)不變，減數(shù)加（或減）一個數(shù)，差就減（或加）相同的數(shù)。

此外，課堂上學(xué)生能如此快速地根據(jù)15873×7=111111計算出15873×14=222222，其主要原因還是在本冊第一單元“乘法（一）”的乘法口算中已經(jīng)滲透了相關(guān)內(nèi)容，如60×1=60，60×10=600，60×100=6000;30×10=300，30×20=600，30×60=1800。雖然出示這類算式的主要目的是發(fā)現(xiàn)末尾有0的乘法口算算法，但60作為其中一個因數(shù)，保持不變，而另一個因數(shù)從1到10再到100，其實(shí)就是在做“×10”的變化，此時積也在做“×10”的變化，這已經(jīng)為積的變化規(guī)律做了鋪墊。

（二）分析該知識點(diǎn)的延伸點(diǎn)

首先，學(xué)習(xí)了和的變化規(guī)律（加法）、差的變化規(guī)律（減法）和積的變化規(guī)律（乘法）后，對于學(xué)生學(xué)習(xí)商的變化規(guī)律（除法）可以起到較大的幫助。學(xué)生學(xué)習(xí)商的變化規(guī)律時可以進(jìn)行類比理解記憶，也可以和積的變化規(guī)律關(guān)聯(lián)記憶（乘法和除法互為逆運(yùn)算，兩者之間聯(lián)系緊密）。我們可以把“被除數(shù)÷除數(shù)=商”看作“積÷一個因數(shù)=另一個因數(shù)”。根據(jù)積的變化規(guī)律，當(dāng)一個因數(shù)不變時，積的變化和另一個因數(shù)的變化是相關(guān)的，且是一致的，積乘（或除以）一個數(shù)。說明另一個因數(shù)也是乘（或除以）相同的數(shù)。當(dāng)積不變時，兩個因數(shù)的變化也是相關(guān)的，并且一定是相反的，即一個因數(shù)乘（或除以）一個數(shù)，要保證積不變，另一個因數(shù)一定是除以（或乘）相同的數(shù)。如15873×7=111111，15873×14=222222可以轉(zhuǎn)化為111111÷15873=7，222222÷15873=14;60×8=480，120×4=480可以轉(zhuǎn)化為480÷60=8，480÷120=4。兩種運(yùn)算方法以及變化規(guī)律是相同的。

其次，“積的變化規(guī)律”對學(xué)習(xí)小數(shù)乘法起著非常大的作用。小數(shù)乘法其實(shí)是轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法來進(jìn)行計算的，而這里轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵就是利用積的變化規(guī)律，先將因數(shù)中的小數(shù)擴(kuò)大為整數(shù)，計算出積后再還原回正確的積。如0.13×2.5，在計算時先轉(zhuǎn)化為13×25，這里0.13到13是×100，2.5到25是×10，所以計算出的積325就是正確的積×100×10得到的，所以正確的積是325÷100÷10=0.325。

最后，“積的變化規(guī)律”的學(xué)習(xí)還有助于學(xué)生理解“反比例”。反比例的概念是指兩個相關(guān)聯(lián)的量，積一定與這兩個量成反比例。這里所謂的“積一定”就是“積不變”，而要想積不變，一定是一個因數(shù)乘（或除以）一個數(shù)，另一個因數(shù)除以（或乘）相同的數(shù)，兩個因數(shù)的變化一定是相反的。

所以本節(jié)課的知識是后續(xù)很多知識點(diǎn)的生長點(diǎn)，把這個規(guī)律理解清楚，就能為后面的學(xué)習(xí)做鋪墊。

二、橫向把握知識脈絡(luò)，突破教學(xué)難點(diǎn)

任何一個知識點(diǎn)都不是孤立存在的，而是互相聯(lián)系的。整體把握教材需要教師掌握知識的來龍去脈，重視發(fā)掘知識之間的邏輯聯(lián)系，突破教學(xué)難點(diǎn)。

本節(jié)課有3條規(guī)律要學(xué)習(xí)，卻不是割裂地學(xué)習(xí)，規(guī)律之間是相互依存的，高效教學(xué)在于緊緊抓住了前后知識之間的聯(lián)系，利用練習(xí)自然過渡，讓學(xué)生在不知不覺中學(xué)習(xí)新的知識，而不是單一地為了某條規(guī)律而傳授知識。當(dāng)分開進(jìn)行教學(xué)時，學(xué)生不能主動產(chǎn)生聯(lián)系，就需要強(qiáng)行記憶3條規(guī)律，這樣很容易遺忘，也不能熟練運(yùn)用這個規(guī)律來解決問題。

本課的重難點(diǎn)也在于理解、掌握并運(yùn)用這一規(guī)律。為了突破這個難點(diǎn)，教師是這樣進(jìn)行教學(xué)的：

1.發(fā)現(xiàn)規(guī)律，凸顯數(shù)學(xué)魅力，激發(fā)學(xué)生興趣

我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)是一門重要的科學(xué)，它的結(jié)論往往具有永恒的意義;數(shù)學(xué)是有力的工具，它在很多領(lǐng)域起著關(guān)鍵作用。接著教師出示：怎么計算15873×14？這個算式中的數(shù)字大而繁雜，并且它是這一單元的計算題。再出示15873×7=111111，這時候?qū)W生有了強(qiáng)烈的沖擊，感受到數(shù)學(xué)的繁與簡的魅力，從而產(chǎn)生了學(xué)習(xí)的需求以及想要繼續(xù)探尋的興趣。這就為繼續(xù)學(xué)習(xí)因數(shù)、因數(shù)、積三者的變化規(guī)律做好了強(qiáng)有力的鋪墊。

2.探索規(guī)律，引領(lǐng)高效課堂，推動自主學(xué)習(xí)

在積的變化規(guī)律中，因數(shù)引起積變化是本質(zhì)，可螺旋式上升地讓學(xué)生得出結(jié)論：（1）第一個因數(shù)擴(kuò)大，另一個因數(shù)不變，積變大;（2）第二個因數(shù)擴(kuò)大，另一個因數(shù)不變，積變大;（3）反過來看，一個因數(shù)縮小就導(dǎo)致積變小。兩個因數(shù)都變化，仍然分析每個因數(shù)變化導(dǎo)致積的變化情況，并選取特殊的一個擴(kuò)大、一個縮小相同倍數(shù)導(dǎo)致積不變的情況深刻感悟。學(xué)習(xí)這條規(guī)律時，只要抓住“因數(shù)導(dǎo)致積變化”這個本質(zhì)，無論一個因數(shù)與另一個因數(shù)怎么變化，學(xué)生都能主動分析變化趨勢并能準(zhǔn)確計算，這節(jié)課的重難點(diǎn)也就迎刃而解。

三、滲透數(shù)學(xué)思想方法，撬動學(xué)生思維

（一）先比較后歸納，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

【教學(xué)片段】

生1：從上往下看，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾，積就乘幾。

生2：從下往上看，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以幾，積就除以幾。

師（補(bǔ)充）：0除外，因?yàn)槌龜?shù)不能為0。

師：你能再寫一組和上面規(guī)律相同的算式嗎？

（生獨(dú)立完成。）

師（展示部分學(xué)生的算式）：每個同學(xué)寫的算式不同，但是規(guī)律卻都相同。

教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察比較、歸納概括的方法來主動發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過計算驗(yàn)證對規(guī)律進(jìn)行解釋和證明，培養(yǎng)了學(xué)生的合情推理能力，同時運(yùn)用規(guī)律，按照邏輯推理的法則進(jìn)行列舉，培養(yǎng)了學(xué)生的演繹推理能力。在數(shù)學(xué)規(guī)律的教學(xué)中，架起合情推理和演繹推理的橋梁，培養(yǎng)了學(xué)生的歸納推理能力。

（二）先猜想后驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力

1.猜想規(guī)律

導(dǎo)入：15873×7=111111

15873×14=？

師：根據(jù)第一個算式的答案，你知道第二個算式的答案是多少嗎？

生1：積可能是222222。

生2：積可能是111118。

師：你們覺得他們的答案有道理嗎？

生3：我覺得他們的答案都有道理，一個乘法算式中，一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)變大，積會變大。

生4：我覺得第一個同學(xué)的答案是對的，因?yàn)榈谝粋€因數(shù)一樣，第二個因數(shù)14是7的2倍，積也應(yīng)該是原來的2倍。

2.驗(yàn)證規(guī)律

師：由于15873×14中的數(shù)字較大，計算時不太方便，我們來觀察這兩組算式，說說你們的發(fā)現(xiàn)。

生：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾，積就乘幾。

師：我們再看剛才那組算式，現(xiàn)在你們覺得剛才哪個同學(xué)的答案是正確的？

生：第一個同學(xué)，乘法里是乘幾的關(guān)系，而不是加幾的關(guān)系。

師：你總結(jié)得真好！那你們再算一下15873×28。

生：444444，因?yàn)?8是7的4倍，所以積也是111111的4倍。

3.遷移規(guī)律

（1）發(fā)現(xiàn)

師：根據(jù)第①題的結(jié)果，你能寫出第②題的積嗎？

生1：200，因?yàn)橐粋€因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以2，積也除以2。

（2）驗(yàn)證

師：還是觀察前面兩組算式，從下往上觀察，來驗(yàn)證規(guī)律。

生：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)除以幾，積也除以幾。

小結(jié)：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘或除以幾，積也乘或除以幾。

（3）遷移

師：一個因數(shù)60乘4，另一個因數(shù)8除以4，你知道積480發(fā)生了怎樣的變化嗎？

生：不變。

師（追問）：為什么積不變呢？

生：因?yàn)橐粋€因數(shù)乘4，積就乘4，另一個因數(shù)除以4，積就除以4，也就是說積發(fā)生了兩次變化，先乘4，再除以4，就相互抵消，所以積不變。

師：你總結(jié)得真好。你把我們前面所學(xué)的兩條規(guī)律結(jié)合在一起，運(yùn)用到了這道題目里，你真是個善于思考的孩子。

猜想驗(yàn)證是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說，真正的數(shù)學(xué)家常常憑借數(shù)學(xué)的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實(shí)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視猜想驗(yàn)證思想方法的滲透，以增強(qiáng)學(xué)生主動探索獲取數(shù)學(xué)知識的能力，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展。

“整體把握教材，融通建構(gòu)知識，撬動學(xué)生思維”不能脫離學(xué)生的實(shí)際情況，要分析教材編寫意圖，創(chuàng)新設(shè)計、整合轉(zhuǎn)化，并結(jié)合學(xué)生的思維方式加以優(yōu)化拓寬，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

【參考文獻(xiàn)】

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[3]俞正強(qiáng).種子課2.0——如何教對數(shù)學(xué)課[M].北京：教育科學(xué)出版社，2020.

注：本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度重點(diǎn)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)高效教學(xué)的校本實(shí)踐研究”（編號：B-a/2015/02/045）的研究成果。