戴惠

[摘 ?要] 用數學的眼光觀察世界，發(fā)現和提出生活中的問題并抽象成數學問題，通過構建數學模型解決生活中的問題，讓數學學習更具趣味性，激發(fā)學生學習數學的興趣.文章以“太陽光線下的數學問題”的教學設計為例，從熟悉的情境、簡單的問題入手，引導學生在感悟中探究關聯情境，解決較復雜的問題，滲透模型思想，發(fā)展初中學生的數學核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 建模;模型思想;三角函數

數學建模作為數學核心素養(yǎng)要素之一，是學生學習數學的重要過程與方式. 建模的過程可以讓學生初步體驗數學在生活中的應用，發(fā)展數學思維. 在義務教育階段的數學中，用字母、數字及其他數學符號建立起來的代數式、方程、不等式、函數以及各種圖表、圖形等都是數學模型. 蘇教版教材的“用一元一次方程解決問題”“用銳角三角函數解決問題”“用二次函數解決問題”等內容是抽象后的數學建模. 對于這部分內容，傳統的教學方法往往是通過題型訓練代替建模過程，課堂枯燥且趣味性不大，無法提高學生提取信息、分析問題的能力.

教育源于生活，教師需要引導學生用數學的眼光觀察世界. 本文章以一節(jié)關于太陽光線的數學問題的公開課為例，談一談在課堂教學中如何引導學生發(fā)現問題并提出問題，讓學生初步感受數學建模的一般步驟，滲透模型思想.

教學過程的設計

1. 情境發(fā)現，感受建模

問題1：如圖1所示 ，一棵高8 m的樹，當太陽光線與水平面的夾角為30°時，影子在什么位置？影長是多少？

師生活動：學生回顧用三角函數解決問題的方法，將樹干抽象成線段AB，將太陽光線抽象成平行線，于是得到了Rt△BAC（如圖2所示，∠A=90°，∠C=30°）. 已知對邊求鄰邊，可以利用正切求解.

設計意圖 ?學生在學習“圖形的相似”這一章節(jié)時，曾遇到過將樹干抽象成線段AB，將太陽光線抽象成平行線，熟悉的情境、簡單的問題，學生能夠很快得到答案. 在解決問題的過程中，讓學生初步感受將實際生活中的問題抽象成數學問題，用三角函數解題的過程其實就是一種建模的過程.

問題2：如圖3所示，一個直徑為22 cm的足球，當太陽光線與水平面的夾角為30°時，影子在什么位置？影長是多少？

師生活動：將球抽象成圓，由兩條與圓相切的平行線確定影子的位置. 連接切點（B，C）和圓心（O），可證B，O，C三點共線，BC=22. 師生共同探究，得出：

方法1：如圖4所示，過點E作EG⊥BF于G，易證四邊形CEGB為矩形. 在Rt△EFG中，∠F=30°，可得EF=44.

方法2：如圖5所示，過點C作CI∥EF與BF相交于點I，易證四邊形CEFI為平行四邊形. 在Rt△BCI中，∠BIC=30°，可得EF=CI=44.

方法3：如圖6所示，延長BC與EF相交于點J. 在Rt△JCE中，∠CEJ=30°，JE=2CJ;在Rt△BJF中，∠BFJ=30°，JF=2BJ. 由△JCE∽△JBF可得EF=44.

然后總結方法思路：通過添加輔助線將已知的邊和角集中到同一個直角三角形中，再用三角函數解決.

設計意圖 ?根據維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，求足球的影長能調動學生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達到下一發(fā)展階段的水平. 學生再次經歷建模的過程，讓每位學生都參與課堂活動，讓學生用數學語言描述問題，積極地分析、思考、解決問題 ，使學生感受到數學源于生活，與生活密切相關.

2. 問題深究 ，感悟建模

問題3：如圖7所示，遮陽傘可以抽象出什么數學圖形？畫出太陽光線下影子的位置.

小組討論：如圖8、圖9所示，遮陽傘可以抽象成線段、弓形等數學圖形，引導學生用數學符號語言刻畫出研究對象的主要的位置關系和數量關系.

問題4：如圖10所示，BC過點O，PQ與圓O相切于點P，圓O的半徑為1 m，PQ∥BC，∠BOE=120°，求此時傘面的影長.

動手操作：畫出平行光線，找到確定影子位置的兩條平行光線. 類比問題2，共同探究影長的求解方法，然后請小組的代表上臺展示：

方法1：如圖11所示，連接OP，過點C作CN⊥PQ于N. 易證∠PQC=30°，四邊形POCN為矩形. 在Rt△CNQ中，CQ=2.

方法2：如圖12所示，連接OP，過點O作OM∥CQ，與PQ相交于點M. 易證∠PQC=30°，四邊形OCQM為平行四邊形. 在Rt△OPM中，OM=2，所以CQ=2.

設計意圖 ?學生自主探究與小組合作探究相結合，在集體中相互交流個人的看法，相互啟發(fā)、相互學習. 設置問題由淺入深、循序漸進，通過類比前問所學的方法，每個學生都能想出至少一種解決本題的方法，逐步構建良好的認知結構，從整體上掌握知識，同時幫助學生認識自我、建立信心.

3. 應用拓展，探究建模

問題5：如圖13所示的遮陽篷，遮陽篷寬100 cm.

（1）當太陽光線與水平面的夾角為30°時，求陽光照射不到的高度.

（2）若太陽光線與水平面的夾角變大，被遮陽篷遮擋的區(qū)域會發(fā)生怎樣的變化？什么時候陽光恰好照不到室內？

（3）當太陽光線與水平面的夾角為30°時，想讓陽光恰好照入室內，要如何安裝遮陽篷？

師生活動：

學生自主探究，抽象出數學圖形，提出數學問題：在Rt△BCD中，∠BDC=30°，CD=100 cm，求BC的長. 當夾角變大時，通過幾何畫板的動態(tài)演示，發(fā)現BC在變大，再引導學生進行邏輯證明：BC=CD·tan∠BDC=100·tan∠BDC，當∠BDC變大，tan∠BDC的值變大，BC也變大，當點B與點A重合時陽光恰好照不到室內. 在此基礎上，學生畫出了陽光恰好照入室內的示意圖（如圖14所示），求得遮陽篷安裝在門上方的 cm處.

設計意圖 ?從研究影子落在水平面上轉換到影子落在豎直墻壁上，從利用三角函數解決具體的數學問題到利用三角函數的知識去解決實際生活中的安裝遮陽篷的問題，讓學生經歷了知識的形成與應用的過程，從而能更好地理解數學知識的意義.

問題6：（1）惹玻璃門AB高200 cm，冬天某一時刻，陽光剛好全部照入室內，此時太陽光線與水平面的夾角為31°;夏天某一時刻，陽光剛好全部被擋住，此時太陽光線與水平面的夾角為80°，則遮陽篷的寬是多少？（tan31°≈0.6，tan80°≈5.6）

（2）（一般化）若玻璃門AB=h，冬天某一時刻，陽光剛好全部照入室內，太陽光線與水平面的夾角記作α;夏天某一時刻，陽光剛好被全部擋住，此時太陽光線與水平面的夾角記作β，用α，β，h的代數式表示遮陽篷的寬.

師生活動：請學生將題目信息標注在圖形中，利用電腦一體機投影學生答題情況，由學生講解.

設計意圖 ?冬天某一時刻，陽光恰好照入室內;夏天某一時刻，陽光恰好被擋住，這為后面學生自主設計遮陽篷做好了鋪墊. 將具體數據換成字母，讓學生體會到從特殊到一般的思想方法.

4. 遷移應用，內化提升

課后作業(yè)：為我們學校門衛(wèi)室設計一款遮陽篷.

設計意圖 ?設計遮陽篷是北師大版九年級下冊教材“綜合與實踐”的一小節(jié)內容，把這個完整的數學建模作為課后作業(yè)，由小組共同協作完成. 由于學生的直觀感受不同、所處的地理位置不同、太陽光線與水平面的夾角不同等，其中涉及了多種學科知識，因此需要學生查閱資料，找到合適的夾角. 學科融合有利于提高學生的核心素養(yǎng)，促進學生數學能力的提升. 通過小組協作分工完成，可以激發(fā)學習的積極性和主動性，并有效發(fā)揮各自的學習潛能，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力.

思考

1. 模型思想在課堂中的逐步滲透

數學建模是數學學科六大核心素養(yǎng)之一，模型思想是《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出的十個核心概念之一. 在實際的教學過程中，用數學的眼光觀察世界，從學生的實際生活經驗中提取教學素材創(chuàng)造機會，轉化成教學資源，使學生經歷“觀察實際情境—發(fā)現并提出問題—抽象成數學模型—解決實際問題”的過程，逐步從簡單到相對復雜，從具體到相對抽象，了解建模的一般步驟，掌握建模的一般方法，滲透模型思想. 引導學生從情境中發(fā)現，在發(fā)現中感悟，在感悟中探究，發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng).

2. 通過數學建模改善教與學的方式

數學建模不同于簡單完成一道應用題，它是一個綜合性非常強的過程，從傳統的教師的教轉變?yōu)閷W生的學，由教師引導、啟發(fā)，學生作為學習的主體自主去查閱資料、分析并解決問題、撰寫報告，可以有效加強數學應用. 建模的過程可以幫助學生認識數學、體驗數學，形成正確的數學觀，同時使學生通過這一過程學會數學思考，掌握數學思想方法. 在實際的教育教學中可以從多個方面進行嘗試，比如：可以嘗試以課堂教學為鋪墊，確定數學建模課題，在課后作業(yè)中嘗試建模，采用小組協作的學習方式，提交課題研究報告;也可以嘗試在學校的趣味數學社團課程中組織學生，從實際的生活經驗出發(fā)，自主確定建模課題，走入社會，進行調查，收集信息;還可以嘗試組織計算機學得較好的學生，借助于計算機特有的編程功能尋求建模新方法.

結語

數學建模不僅是數學學科六大核心素養(yǎng)之一，還是高中數學課程內容的四條主線之一，并要求數學建模理念貫穿整個高中數學的始終. 根據心理學家皮亞杰的研究，初中學生還處在具體思維到抽象思維的過渡階段. 數學建模對學生能力的要求較高，對于很多初中學生來說具有一定的難度. 如何根據具體的課程內容和要求逐步滲透模型思想，如何做好初高中的銜接，讓學生的“學”更自主、有效，都很值得一線初中數學教師進行研究.

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