劉桑清

摘 ?要：分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用一直比較廣泛，這種思想主要是指在解題時(shí)根據(jù)問(wèn)題的各種情況進(jìn)行討論，最終得到答案，這樣解題的難度會(huì)大大降低。像在解函數(shù)、不等式等內(nèi)容時(shí)學(xué)生就可以發(fā)散思維，展開(kāi)分類討論。

關(guān)鍵詞：分類討論思想;高中數(shù)學(xué);實(shí)施策略

引言

分類討論思想是一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的邏輯方法，從我國(guó)當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的實(shí)際情況來(lái)看，分類討論思想在發(fā)展學(xué)生思維方面有著非常重要的作用，與此同時(shí)，分類討論思想在數(shù)學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用也可以幫助有效提升學(xué)生的歸納能力，讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)可以更有邏輯性。

一、分類討論思想的概念及其作用

分類討論思想一般都是通過(guò)劃分相同類型的概念并將其整合之后再進(jìn)行解題的，很多高中數(shù)學(xué)教師教師在教學(xué)的過(guò)程中都會(huì)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用分類討論方法來(lái)解題，以此來(lái)鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，讓學(xué)生可以利用分類討論思想解決實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)也有利于教師從多個(gè)方面來(lái)考察學(xué)生，例如，絕對(duì)值的定義、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式等。

二、分類討論思想在實(shí)際解題中的應(yīng)用

（一）有規(guī)則地將其進(jìn)行分類

一般來(lái)說(shuō)，在利用分類討論思想解題時(shí)應(yīng)當(dāng)首先對(duì)問(wèn)題中的對(duì)象進(jìn)行分類，在這里我們可以將一個(gè)問(wèn)題比喻成一個(gè)集合，然后將其按照一定的規(guī)律劃分成若干個(gè)非空真子集，每一個(gè)元素都屬于其中的一個(gè)子集，這樣一來(lái)就可以根據(jù)題目給定的條件來(lái)進(jìn)行分類。

（二）分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇

通常情況下在利用分類討論思想解題之前應(yīng)當(dāng)首先明確分類討論的對(duì)象，然后再思考分類的具體標(biāo)準(zhǔn)，這一步非常重要，只有確定了分類標(biāo)準(zhǔn)才會(huì)更加清楚地了解到解題的難易程度。常見(jiàn)的確定分類標(biāo)準(zhǔn)的角度主要有以下幾個(gè)：

1.根據(jù)數(shù)學(xué)概念來(lái)進(jìn)行劃分

在數(shù)學(xué)學(xué)科解題的過(guò)程中有些概念是可以進(jìn)行分類的，這里就以絕對(duì)值的概念為例來(lái)進(jìn)行分析。在求解函數(shù)值域時(shí)首先我們會(huì)求解零點(diǎn)，然后對(duì)零點(diǎn)值進(jìn)行分類，將定義域劃分成三段進(jìn)行討論，求解之后可以得出函數(shù)值，最終根據(jù)分段函數(shù)圖像來(lái)求出函數(shù)值域。

2.根據(jù)數(shù)學(xué)運(yùn)算的定理、法則、公式等來(lái)進(jìn)行分類

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中通常會(huì)涉及到很多的數(shù)學(xué)運(yùn)算法則、定理等，像等比數(shù)列求和公式我們就可以從兩個(gè)方面來(lái)進(jìn)行討論，一方面是q=1的情況，另一種則是q不等于1，q的值不同函數(shù)的單調(diào)性就會(huì)發(fā)生變化。

3.結(jié)合圖形位置來(lái)進(jìn)行劃分

從高中數(shù)學(xué)解題的實(shí)際情況來(lái)看，圖形位置的變化也會(huì)導(dǎo)致解題結(jié)果發(fā)生變化，因此在解題的過(guò)程中我們同樣需要應(yīng)用分類討論思想來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，例如，在同一個(gè)平面的同側(cè)、一側(cè)分別有一個(gè)點(diǎn)，二次函數(shù)圖像的對(duì)稱在定義域區(qū)間內(nèi)的不同位置等等這些都需要我們利用分類討論的思想來(lái)解題。例如，一條切線和X軸的截距都是a，這條切線y軸的截距是b，如果我們結(jié)合直線方程的使用范圍來(lái)進(jìn)行考慮就要討論截距是不是會(huì)變成0，這種情況下我們就應(yīng)當(dāng)分成兩種情況來(lái)進(jìn)行考慮，只有這樣才可以有效確保討論結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4.結(jié)合題目的一些特殊要求來(lái)進(jìn)行劃分

這種分類情況一般在排列組合中比較常見(jiàn)，例如概率問(wèn)題、計(jì)數(shù)問(wèn)題等等，教師在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生綜合分析題目，并圍繞題目要求展開(kāi)討論。例如，4乘以4的方陣有16個(gè)點(diǎn)，有四個(gè)位于中心位置的點(diǎn)在某個(gè)圓中，其余的12個(gè)點(diǎn)都在圓外，從所有的點(diǎn)中選取三個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，讓學(xué)生們討論能夠有多少個(gè)頂點(diǎn)在三角形中，這種方式可以很好地鍛煉學(xué)生的思維，讓其能夠利用分類討論的思想來(lái)解題，解題時(shí)依次將其劃分成1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行討論，討論時(shí)一定要做到不重不漏。具體地，可以按照以下解題思路來(lái)進(jìn)行解題：首先在圓內(nèi)任一選取三個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)、一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行分類，最終得出所求三角形一共有312個(gè)的結(jié)論。另外，學(xué)生也可以根據(jù)題目的參數(shù)量變來(lái)進(jìn)行劃分，特別是在含有參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，一定要分類討論，由參數(shù)的量變導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生質(zhì)變的情況，在思考的過(guò)程中學(xué)生的思維也能夠得到鍛煉，這對(duì)于解題有很大的幫助。

三、在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分類討論思想解題的注意點(diǎn)

（一）明確要進(jìn)行分類討論的原因

在解決問(wèn)題之前應(yīng)當(dāng)首先明確要解決什么問(wèn)題，選擇怎樣的解決方法以及為什么要選擇這種方法，這樣做的優(yōu)缺點(diǎn)是什么。如果最終選擇的是分類討論的方法，學(xué)生也也應(yīng)當(dāng)注意一定要嚴(yán)格按照分類討論的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)解題。

（二）利用理論進(jìn)行整合

分類討論思想解題對(duì)解題者的能力有很高的要求，學(xué)生必須要掌握一定的解題技巧才可以很好地解決一些實(shí)際問(wèn)題。教師在教學(xué)過(guò)程中也應(yīng)當(dāng)不斷地引導(dǎo)學(xué)生來(lái)有選擇性地進(jìn)行分類，在處理一些整體性的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要避開(kāi)分類討論。在日常教學(xué)過(guò)程中教師也應(yīng)當(dāng)不斷地積累經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)常對(duì)各地的高考試題進(jìn)行分析，總結(jié)出解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法并在教學(xué)過(guò)程中不斷地向?qū)W生滲透，讓學(xué)生可以真正地領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)學(xué)科解題方法的真正意義及其適用范圍，并讓學(xué)生學(xué)會(huì)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)合理地選擇解題方法。

四、結(jié)束語(yǔ)

總而言之，分類討論思想的建立能夠有效提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，讓學(xué)生可以通過(guò)小組討論來(lái)獲得新的解題思路，從而加深學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的印象。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 席建彬. 探究分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 新課程， 2019， 000（27）：P.63-63.