林秀潔

【摘要】算理、算法作為運算能力的一體兩翼，缺一不可。說理是學(xué)生明理的途徑，是學(xué)生理解算理、掌握算法的關(guān)鍵，是運算教學(xué)的核心。因此，在運算教學(xué)中，我們不僅要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)知識，更要讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)知識通曉道理。實現(xiàn)理法融合的說理課堂，切實提高學(xué)生的運算能力和思維能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué);數(shù)學(xué);算理;算法;課堂;運算能力

“運算的本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)思維能力或者推理思想，但是運算如果不講算理，只講算法，或者學(xué)生不懂算理，只會算法，那么學(xué)生就只會照葫蘆畫瓢，模仿著計算?！闭f理是學(xué)生明理的途徑，是運算教學(xué)的核心。要提高學(xué)生的運算能力，在運算教學(xué)中就必須讓學(xué)生明算理、懂算法，不僅要讓學(xué)生知其然，還要知其所以然。

在教研中，發(fā)現(xiàn)學(xué)校一些教師對于運算內(nèi)容的認識很粗淺，對《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）核心概念之一的“運算能力”的提出認識不到位，沒有認真解讀《課程標準》對教材的要求。于是，筆者主持了課題“提高中高年級學(xué)生運算能力的策略研究”，組織教研組和課題組成員深入課堂聽課，課后集中評析、診斷、總結(jié)，在不斷磨課、分析、研究中，努力追求在運算教學(xué)中以說理為核心，實現(xiàn)理法融合的說理課堂，從而提高學(xué)生的運算能力。下面以北師大版小學(xué)四年級下冊《買文具》為例，談一談對運算教學(xué)的幾點思考。

一、思理中類比遷移，感知意義

《買文具》是四年級小數(shù)乘法單元的第一個內(nèi)容，這個單元的學(xué)習(xí)是學(xué)生在學(xué)習(xí)了小數(shù)的意義、整數(shù)乘法、小數(shù)加減法的基礎(chǔ)上進行的。每個運算單元的起始課基本上是口算課型，所以，第一節(jié)課的教學(xué)效果會直接影響到后面的教學(xué)質(zhì)量，不能將口算課當作簡單的課而匆匆?guī)н^?！墩n程標準》提出：“必須注重知識的‘生長點’和‘延伸點’，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系?！苯虒W(xué)中，必須讓學(xué)生扎實掌握口算方法，理解算理，為后面的筆算教學(xué)打好基礎(chǔ)。因此，為了使學(xué)生對小數(shù)乘法有更深刻的認識，我們經(jīng)歷了以下的教學(xué)實踐。

（一）初次執(zhí)教

1.復(fù)習(xí)填空

0.8表示（ ）個0.1，1.2表示（ ）個0.1。

2.初步感知

①出示課本情景圖，讓學(xué)生說說你想買什么？

②學(xué)生大多用學(xué)過的小數(shù)加法進行回答。比如買一支鉛筆和一個卷筆刀共1元。

③師：淘氣買四塊橡皮需要多少元？你會列式嗎？

生列出算式：0.2+0.2+0.2+0.2=0.8（元）。

0.2x4=0.8（元）。

讓學(xué)生說說表示什么意思。（生回答不上來）

師講解板書：表示4個0.2相加的和是多少？并出示小數(shù)乘整數(shù)的意義，學(xué)生齊讀。

（二）課后思考

創(chuàng)設(shè)情境—提出問題—解決問題—歸納意義，這個環(huán)節(jié)進行得很順暢，但我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生缺少思考，在歸納小數(shù)乘整數(shù)的意義時，學(xué)生無法運用舊知識遷移新的知識，這節(jié)課的內(nèi)容是一位小數(shù)乘整數(shù)，整數(shù)乘法的意義是學(xué)生在以前學(xué)習(xí)過的內(nèi)容。根據(jù)教材的處理，知識的螺旋上升、逐級遞進的原則，小數(shù)乘整數(shù)的意義，學(xué)生完全可以通過觀察、遷移形成小數(shù)乘整數(shù)的意義，但由于學(xué)生回答不上來，教師直接給出意義。因此，我們對小數(shù)乘整數(shù)意義的認識環(huán)節(jié)進行了修改。

（三）再次執(zhí)教

1.復(fù)習(xí)導(dǎo)入

（1）填空

①0.8表示（ ）個0.1，1.2表示（ ）個0.1。

②8+8+8+8+8=（ ）×（ ）。

當學(xué)生回答后，師問：你能說說為什么是8×5嗎？

生：表示5個8相加是和是多少。

2.感知意義

（1）出示情境圖

師談話問：如果我要買四塊橡皮獎勵學(xué)生，請你們幫老師算算需要多少元？說說你是怎么想的？生獨立思考，再匯報：

生1：0.2+0.2+0.2+0.2=0.8（元）。

生2：0.2x4=0.8（元）。

師：你為什么用0.2×4呢？

生：因為8+8+8+8+8=8×5，所以0.2×4=0.8。

師：還有其它想法嗎？

生：老師，我想2+2+2+2=2×4，所以0.2×4=0.8。

師：你根據(jù)的是整數(shù)乘法的意義，能嘗試說說它的意義嗎？

生：0.2×4表示4個0.2相加是多少。

師給予肯定并出示意義：求4個0.2相加的和是多少。

（四）磨課思考

再次執(zhí)教時，我們在復(fù)習(xí)中設(shè)計了8+8+8+8+8=8×5，學(xué)生有了復(fù)習(xí)的鋪墊，利用整數(shù)乘法的意義這個舊知類比遷移理解小數(shù)乘整數(shù)的意義，讓學(xué)生根據(jù)對式子的理解，嘗試用語言進行描述，逐步構(gòu)建小數(shù)乘整數(shù)的意義，體會新知識的產(chǎn)生是通過舊知識的遷移得到的。

二、說理中體驗轉(zhuǎn)化，明晰算理

口算教學(xué)表面上是在培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，實際上是通過口算這個抓手來提升學(xué)生的思維品質(zhì)。這節(jié)課，學(xué)生能夠借助面積模型用語言來表達“0.2×4為什么等于0.8”，這既是這節(jié)的重點，也是難點。語言是思維的外殼，口算是依“口”而“算”，但不只是為了“算”，更要突出口的語言表征作用。

（一）初次執(zhí)教

1.師：淘氣買四塊橡皮需要多少元？你還有別的算法嗎？說說你怎樣算出0.2×4？

（1）學(xué)生分小組交流、討論。

（2）匯報算法。

生1：0.2元=2角，0.2×4=8角，8角就是0.8元。

師：還有不同的算法嗎？

沒有學(xué)生舉手。經(jīng)過教師的一再提醒，一位學(xué)生呈現(xiàn)了面積模型圖（如下圖）。

生：0.2×4=0.8這個就表示0.8。

（3）師出示學(xué)生笑笑的面積模型，講解并進行小結(jié)可以用三種方法解答。

2.出示第二個問題：買三把尺子，需要多少元？

（1）與同伴交流你的想法，生獨立解答。

（2）討論、展示不同的方法：

①0.4x3=1.2（元）。

②0.4元=4角，4x3=12角，12角=1.2元。

③面積模型（有學(xué)生出現(xiàn)下面的情況）。

教材中設(shè)計了“笑笑是這樣做的，你能看懂嗎？”這個問題是引導(dǎo)學(xué)生用小數(shù)的面積模型進一步解釋0.2×4=0.8的道理。借助小數(shù)的直觀模型理解小數(shù)乘整數(shù)的道理，掌握口算方法。在例題1的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對面積模型的理解不到位，教學(xué)時，教師只是出示講解帶過，沒有讓學(xué)生深度學(xué)習(xí)，造成學(xué)生在完成第二個問題時產(chǎn)生了知識理解的障礙。實際上，這個運算的算理、過程和方法離不開十進位值制計數(shù)法。學(xué)生對十進位值制計數(shù)原理沒有真正理解。

我國著名數(shù)學(xué)教育家周玉仁說過：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識，形成數(shù)學(xué)技能和能力的一種思維活動過程。”我們知道，“數(shù)學(xué)是思維的體操”，運算能力的發(fā)展能促進思維能力的發(fā)展、思維品質(zhì)的提升，有助于運算教學(xué)質(zhì)量的提升。所以，思維是核心素養(yǎng)的重要組成部分。因此，在運算教學(xué)中，我們要充分讓學(xué)生悟算理，說算理。學(xué)生通過說達成思維能力的培養(yǎng)、算理邏輯的建立。

（二）磨課后再執(zhí)教

1.探究算法

師：一塊橡皮0.2元，買4塊橡皮。我們可以列式：0.2×4，那為什么0.2×4等于0.8呢？你能用我們學(xué)過的方法來說明嗎？

（1）學(xué)生獨立思考，再分小組交流、討論。

（2）匯報：0.2元=2角，2×4=8角，8角=0.8元，所以0.2×4=0.8元。

0.2米=2分米，2x4=8分米， 8分米=0.8米，所以0.2×4=0.8米。

（3）展示面積模型圖。

師讓學(xué)生說思路。問：同學(xué)們聽懂了嗎？笑笑的面積模型（如下圖）也跟你一樣，同學(xué)們把你看懂的和不懂的跟同桌交流。

師問：你看懂什么了？有不懂的嗎？

學(xué)生在說理中明白：把一個正方形平均分成10份，每份是0.1，2份是2個0.1，4個0.2就是8個0.1，也就是0.8，畫8個小豎條。

（4）師再問：你們發(fā)現(xiàn)這個算理還可以用我們學(xué)過的什么定律來表示嗎？從0.2×4出發(fā)，怎樣算出0.8？

學(xué)生思考、交流發(fā)現(xiàn)：

0.2×4

=（0.1×2）×4

=0.1×（2×4）

=0.1×8

=0.8

2.師小結(jié)

3.出示：如果要買3把尺子，需要多少元呢？

（1）學(xué)生獨立解答，再交流、討論。

（2）生匯報：3×0.4=1.2（元）

師：說說你是怎么想的？思考：涂色的12條表示什么？為什么4×0.2的結(jié)果比1小，3×0.4的結(jié)果比1大？

（三）磨課思考

0.2×4=0.8，相信大部分學(xué)生能夠得到準確的結(jié)果，但是為什么0.2×4等于0.8呢？可能很多學(xué)生回答不上來。數(shù)學(xué)知識的抽象性往往給學(xué)生的理解帶來困難，學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想方法的能力和意識比較弱。要想突破學(xué)生的這種困惑和弱點，教學(xué)中教師可以借助形的直觀將抽象的道理直觀化地呈現(xiàn)出來，使學(xué)生的說理有形可依。再次執(zhí)教時，我們圍繞核心問題：“為什么0.2×4等于0.8？”抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，設(shè)計“好”問題，架構(gòu)起“問題”和“真知”的橋梁，讓學(xué)生展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的過程，促進學(xué)生更具深度、廣度地進行思考。課堂上，學(xué)生先利用元、角、分和米、分米將小數(shù)乘法的新問題轉(zhuǎn)化成學(xué)過的知識，用舊知推出新知，體驗了轉(zhuǎn)化的思想。我們再讓學(xué)生借助面積模型，把看懂的和看不懂的和同學(xué)交流，學(xué)生表現(xiàn)積極，踴躍說算理。通過兩次深入的交流，學(xué)生再嘗試用算式表達算理，揭示這種算法的基礎(chǔ)知識與技能是用到小數(shù)的意義和乘法運算律。通過理解教師的小結(jié)算法，學(xué)生在完成第二個問題時就會得心應(yīng)手。最后，教師以問題“為什么4×0.2的結(jié)果比1小，3×0.4的結(jié)果比1大？”向?qū)W生滲透一些規(guī)律性的知識，同時也透過兩道算式的對比，讓學(xué)生理解十進位值制的計數(shù)原理。這個環(huán)節(jié)，學(xué)生在交流、討論、說理中逐漸走向深度學(xué)習(xí)。

三、明理中歸納提煉，優(yōu)化算法

《課程標準》提倡算法的多樣化和優(yōu)化，是在理解算理的基礎(chǔ)上進而形成的一般方法。實施以來，往往很多人走進誤區(qū)，在教學(xué)上只求算法的多，且停留在形式上。教師在第一次執(zhí)教時學(xué)生有的用加法、有的用乘法，將元轉(zhuǎn)化為角進行計算。學(xué)生的年齡比較小，沒能從多種算法中進行自我整理。一節(jié)課下來，可能造成一些學(xué)生頭腦一片混亂，不知道該采用哪種方法，在大腦中沒有形成最優(yōu)的算法。

以下為再次執(zhí)教具體步驟。

1.教師小結(jié)，學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)用乘法計算比較方便。

2.師：將元化成角、米化成分米和面積模型是一種列式的方法嗎？

生：不是，是我們想怎么得到結(jié)果的過程。

學(xué)生通過整理，厘清用乘法列式時，可在大腦中建立面積模型，口算出得數(shù)。

3.師歸納最優(yōu)算法，并指出轉(zhuǎn)化法和面積模型能幫助我們探索算法，理解小數(shù)乘整數(shù)的算理。

在教學(xué)實踐中，教師鼓勵學(xué)生用多種方法解答的同時，也要進行總結(jié)、提煉出最簡潔的解答方式，實現(xiàn)算法的最優(yōu)化。再次執(zhí)教時，教師將不同的算法和思路進行總結(jié)和優(yōu)化，學(xué)生通過整理、比較、在大腦中構(gòu)建清晰的脈絡(luò)，對小數(shù)乘整數(shù)的算法有了更明確的認識。這樣，能幫助學(xué)生在解題中快速做出準確的反應(yīng)。

四、辯理中把握本質(zhì)，觸類旁通

在學(xué)生學(xué)習(xí)完例題之后，我們設(shè)計了一道辨析題：

師：這個圖形用式子表示是？3×4。（生異口同聲回答）

師：我用這個圖形能夠表示3×4，30×4，0.3×4的理嗎？

生：不可以。（語氣非?？隙ǎ?/p>

師：再想想。

生1：好像也可以。

生2：一個三角形表示1，4個3就是12。如果一個三角形表示10，那么也可以表示：30×4。

生3：一個三角形就是一個，怎么可以表示10呢？

學(xué)生在你一言我一語的辯理中，逐漸明白：如果一個三角形表示10，就是（3×4）個10，如果一個三角形表示0.1，那么就是（3×4）個0.1。

師問：發(fā)現(xiàn)什么嗎？

生：三角形可以表示整數(shù)也可以表示小數(shù)。

師：它可以表示（3×4）個10、100、1000……也可以表示（3×4）個0.1、0.01、0.001……也就是說都表示幾個幾。

這道題的設(shè)計是抓住四則計算的本質(zhì)：“按計數(shù)單位分組計算”。教師用圖例提出：“能夠表示3×4，30×4，0.3×4的算理嗎？”學(xué)生在激烈的爭辯中感知用一個三角形表示計數(shù)單位。教師引導(dǎo)學(xué)生從算式與直觀的聯(lián)系中深挖知識的本質(zhì)，進而領(lǐng)悟到小數(shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法的共性——都是在計算幾個“幾”。

五、融理中聯(lián)通算法，鞏固提升

算理的鞏固和算法的掌握需要通過練習(xí)的加強?！墩n程標準》指出：“基本技能的形成，需要一定量的訓(xùn)練，但要適度，不能依賴機械的重復(fù)操作，要注重訓(xùn)練的實效性。教師應(yīng)把握技能形成的階段性，根據(jù)內(nèi)容的要求和學(xué)生的實際，分層次地落實?！?/p>

在完成例題的教學(xué)后，教師安排了三個層次的練習(xí)：

1.（1）根據(jù)幾個相同加數(shù)相加填乘法算式，學(xué)生口頭回答。

（2）結(jié)合具體情境，學(xué)生涂一涂、算一算。兩道題鞏固學(xué)生對小數(shù)乘法意義的理解。

2.買6支鉛筆（每支0.3元）需要多少元？學(xué)生也可以借助直觀模型畫一畫，幫助理解。學(xué)生獨立完成后，讓學(xué)生說一說是怎樣計算的。這道題擺脫了例題直觀情境的束縛，嘗試從抽象到一般化的過程，加強學(xué)生對算法的運用。

3.用搶答的形式完成9道小數(shù)乘整數(shù)的口算題。9道題在屏幕上依次出現(xiàn)，學(xué)生必須在最短的時間內(nèi)算出結(jié)果，口腦并用，迅速搶答。口算是一種“動腦動口不動手”的快速反應(yīng)，依賴思維直接算出結(jié)果。這個環(huán)節(jié)在學(xué)生的思維層面完成了跨越，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性和廣闊性。

練習(xí)的設(shè)計，既注重對算理的理解，也加強對算法的提煉和運用。學(xué)生在鞏固提升中，完成對算法的抽象與內(nèi)化，進而形成計算技能。練習(xí)的設(shè)計不僅多樣化，也體現(xiàn)出難度的層次性，促使學(xué)生對知識的融會貫通。

總之，當前的運算教學(xué)中存在很多需要解決的問題，我們在課題研究中，要注重在運算教學(xué)中訓(xùn)練學(xué)生的說理能力，通過算理和算法的融合，實現(xiàn)學(xué)生的思維能力和計算技能的有機結(jié)合，達到觸類旁通，方法遷移，進而提高學(xué)生的運算能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

[本文系廣東省教研課題“提高小學(xué)中高年級學(xué)生運算能力的策略研究”（課題編號：GDJY-2020-A-s043）的研究成果]

參考文獻：

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[3]方軍成.小學(xué)數(shù)學(xué)運算教學(xué)“拾零”[M].廣州出版社，2021.

責(zé)任編輯? 羅燕燕