張啟鋒 童其林 李祎

摘? ? 要：“用教材教”的理念指的是用好教材、創(chuàng)造性地使用教材，目的是因材施教，提高教育教學(xué)質(zhì)量.在教學(xué)中設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題串，是“用教材教”理念的體現(xiàn).教師應(yīng)遵循有情境、有層次、有探索的原則，必要時(shí)可對(duì)教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整以創(chuàng)設(shè)真實(shí)、自然的情境，讓課堂結(jié)構(gòu)清晰順暢且符合學(xué)生認(rèn)知，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，并由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生展開思維探究，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)能力.問題串可從能力層次、函數(shù)模型的多樣性、情境化、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、課后作業(yè)等多個(gè)角度進(jìn)行設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：用教材教;問題串;數(shù)學(xué)建模;三角恒等變換

在設(shè)計(jì)人教A版（2019）普通高中教科書《數(shù)學(xué)》必修第一冊（以下簡稱“教材”）第五章第五節(jié)第二目“簡單的三角恒等變換”第二課時(shí)的教學(xué)時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)教材中的“例10”具有建立函數(shù)模型、以角為自變量、多個(gè)三角公式同時(shí)使用等特點(diǎn)，而學(xué)生對(duì)此理解困難.因此，筆者從“用教材教”理念出發(fā)，以問題串形式對(duì)教材內(nèi)容加以整合，設(shè)計(jì)新的教學(xué)方案，讓學(xué)生的思維有爬升過程并在知識(shí)上有所拓展.

“用教材教”是指教師依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱“《課程標(biāo)準(zhǔn)》”），根據(jù)自身的實(shí)踐與研究，自主地領(lǐng)會(huì)、把握課程與教學(xué)，把教材作為一種重要的“中介”加以利用的教學(xué)行為.其核心理念就是把教材內(nèi)容當(dāng)作基本抓手，當(dāng)成教學(xué)設(shè)計(jì)的想法庫、教學(xué)思路的靈感源泉，以此為“圓點(diǎn)”，科學(xué)拓展，適度豐富教學(xué)資源.也就是說，要用好教材，創(chuàng)造性地使用教材，根據(jù)實(shí)際情況對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行必要的取舍、調(diào)整甚至創(chuàng)造，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)教材的“二次開發(fā)”.

一、基于問題串的設(shè)計(jì)視角

教師按照《課程標(biāo)準(zhǔn)》、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生學(xué)情，對(duì)一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容合理地進(jìn)行取舍，設(shè)計(jì)一組或多組問題，組內(nèi)問題要相互關(guān)聯(lián)，組外問題要層層遞進(jìn)，并將主問題貫穿于整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中.當(dāng)然，問題串的設(shè)計(jì)要貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，遵循有情境、有層次、有探索的原則.基于問題串的課堂教學(xué)，能更好地引導(dǎo)學(xué)生由淺入深地展開思維探究，推進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，幫助學(xué)生形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)并深刻理解知識(shí)，從而在過程與結(jié)果、知識(shí)與能力之間架起橋梁.以下筆者從五個(gè)角度，結(jié)合實(shí)際教學(xué)談?wù)勅绾卧O(shè)計(jì)問題串.

（一）從能力層次角度設(shè)計(jì)問題

知識(shí)的增長是以能力為媒介的，而能力的發(fā)展又以知識(shí)為基礎(chǔ)，二者相輔相成，一定條件下，還可相互轉(zhuǎn)化.學(xué)生能力層次有差異，問題的設(shè)計(jì)也要注意層次性，遵循先易后難的原則.設(shè)計(jì)簡單問題有兩個(gè)好處：一是問題層次低，能使每一個(gè)學(xué)生都積極參與到問題解決中來，都能在問題解決中有所收獲;二是切入點(diǎn)多，只要學(xué)生有想法、愿動(dòng)筆，問題都能解決.

本設(shè)計(jì)首先要突破的就是自變量的選擇這一關(guān)，筆者從思維量小、切入點(diǎn)多方面出發(fā)，設(shè)計(jì)一道以角[α]為自變量，借助角[α]表示邊AB，BC的長度，從而求出矩形的面積的例題，為教材“例10”中以角為自變量作鋪墊.“例10”有三層作用：其一，示范作用，包括解題規(guī)范、分析方法、公式的綜合應(yīng)用;其二，滲透數(shù)學(xué)思想，如函數(shù)建模思想、化歸思想;其三，發(fā)揮教材的育人作用，讓學(xué)生欣賞圖形、公式、運(yùn)算符號(hào)之美，經(jīng)歷思維的策略，體驗(yàn)嚴(yán)苛的邏輯.

據(jù)此，筆者在設(shè)計(jì)時(shí)把“例10”與教材第228頁的“練習(xí)2”進(jìn)行對(duì)調(diào)，把“練習(xí)2”作為第一個(gè)問題，把“例10”作為第二個(gè)問題，讓問題串以遞進(jìn)方式呈現(xiàn).這樣，不僅有利于知識(shí)、方法的自然生成，還有利于學(xué)生能力的提高、核心素養(yǎng)的培育.

問題1? ?（即練習(xí)2）要在半徑為R的圓形場地內(nèi)建一個(gè)矩形的花壇，應(yīng)怎樣截取，才能使花壇的面積最大？

解析：設(shè)圓心為O，矩形[ABCD]的面積為S，[∠BAC=α（0<α<π2）]，則[AB=2Rcosα]，[BC=2Rsinα]，所以S=AB·BC[=4R2cosαsinα][=2R2sin2α].

所以，當(dāng)[α]=[π4]時(shí)，花壇的面積最大，[S最大=2R2]，此時(shí)[AB=2R]，[BC=2R].

另外，此題還可假設(shè)[BC=x（0<x<2R）]，則[AB=4R2-x2]，依題意可得[S=AB·BC=]

[x4R2-x2]，[S2=x2（4R2-x2）≤][x2+4R2-x22]

[=4R4]，所以，[S最大=2R2]，此時(shí)[AB=2R]，[BC=2R].

解決此類問題有兩種思路：一是把長方形的一邊當(dāng)變量，另一邊用這個(gè)變量表達(dá)出來，即可表達(dá)長方形的面積;二是引入輔助角，把長方形的兩邊都用含輔助角的三角函數(shù)表達(dá)，即可表達(dá)長方形的面積.

布魯姆的掌握學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，只要在提供恰當(dāng)?shù)牟牧虾瓦M(jìn)行教學(xué)的同時(shí)，給每個(gè)學(xué)生提供適度的幫助和充分的時(shí)間，幾乎所有的學(xué)生都能完成學(xué)習(xí)任務(wù)或達(dá)到規(guī)定的學(xué)習(xí)目標(biāo).

問題2? ?（即例10）在扇形OPQ（圖略）中，半徑OP=1，圓心角[∠POQ=π3]，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形.記[∠POC=α]，求當(dāng)角[α]取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.

分析：可先建立矩形ABCD的面積S與[α]之間的函數(shù)關(guān)系[S=f（α）]，再求函數(shù)[S=f（α）]的最大值. 在此題的求解過程中，筆者把[y=asinx+bcosx]轉(zhuǎn)化為[y=a2+b2sin（x+φ）]的形式，這一過程蘊(yùn)含了化歸思想（解題過程略）.

從問題1到問題2，學(xué)生經(jīng)歷了解題方法由易到難的建構(gòu)過程.筆者的目的是通過問題驅(qū)動(dòng)和公式之間的相互轉(zhuǎn)化，滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).數(shù)學(xué)家波利亞說：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義但不太復(fù)雜的題目，幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”

（二）從函數(shù)模型的多樣性角度設(shè)計(jì)問題

利用不同知識(shí)、選擇不同角度，函數(shù)模型的選擇也會(huì)有所不同，但要把握兩個(gè)基本原則：其一，內(nèi)容要合適，比如有些函數(shù)模型只能在某類知識(shí)中使用，不能為了模型，生搬硬套;其二，方法的滲透要得當(dāng)，最好是能用通法建立函數(shù)模型，也可以設(shè)計(jì)暫時(shí)無法求解的函數(shù)模型，后者在開拓解決問題的途徑方面很有價(jià)值，不能因?yàn)檎J(rèn)識(shí)問題和解決問題的能力有限就因噎廢食，“雖不能至，心向往之”也是人類探索未知的一個(gè)動(dòng)力，可以激發(fā)學(xué)生對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的求知欲和興趣.把握這兩個(gè)原則設(shè)計(jì)的問題，既能鞏固所學(xué)知識(shí)，又能拓展學(xué)生思維，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教師設(shè)計(jì)多樣性的函數(shù)模型，可以使不同層次學(xué)生的思維得到相應(yīng)的激發(fā)，讓學(xué)生在潛移默化中增長知識(shí)、提升能力，感悟數(shù)學(xué)模型思想.

問題3? ?如圖1，在扇形OPQ中，半徑OP=1，圓心角[∠POQ=π3]，[C]是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形，求矩形ABCD的最大面積.

問題3即把“例10”中的“記[∠POC=α]”這一條件去掉，設(shè)問改成“求矩形ABCD的最大面積”.去掉“記[∠POC=α]”這個(gè)條件，就突破了對(duì)學(xué)生思維的限制，學(xué)生可以自由選取符合自己能力的方法，如自變量的選取、函數(shù)模型等，盡管所得函數(shù)有一部分暫時(shí)還無法求出其最大值，但能促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)模型多樣性的理解，并能使學(xué)生感受到此題求解以角為自變量的優(yōu)越性.

思路1：與問題2解法相同，此處略.

思路2：在建立函數(shù)模型時(shí)，可設(shè)[AD=x（0<x<32）]，依題意可得[S=x（1-x2-33x）].如此，求矩形ABCD面積S的最大值，對(duì)高一學(xué)生來說雖然還比較困難，但至少多了一種自變量的選擇.

（三）從情境化角度設(shè)計(jì)問題

懷特海認(rèn)為，將學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)嵌入廣泛的真實(shí)學(xué)習(xí)情境和真實(shí)社會(huì)發(fā)展情境，可以幫助學(xué)生在獲取相應(yīng)的知識(shí)、技能和思維方式的同時(shí)，還能領(lǐng)會(huì)應(yīng)用這些知識(shí)、技能和思維方式的情境化條件，由此為改變“呆滯”頑疾提供重要支撐[1].問題情境的選取應(yīng)以學(xué)生熟悉的環(huán)境、身邊發(fā)生的事例為主，通過對(duì)背景材料的組織，構(gòu)建起知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，從而向?qū)W生表明，在學(xué)校中所學(xué)的知識(shí)有什么樣的用處，賦予學(xué)習(xí)以實(shí)際意義.

問題4? ?某學(xué)校要修建一個(gè)矩形的觀賽場地.決定在半徑為30m，圓心角為[2π3]的扇形空地O的內(nèi)部修建一矩形觀賽場地ABCD（圖略），請你確定[B]點(diǎn)的位置，使觀賽場地的面積最大，并求出最大面積.

分析：如圖2，設(shè)CD的中點(diǎn)為M，連接OM交AB于N，記∠COM=θ，[θ∈（0，π3）]，問題4轉(zhuǎn)化為問題2.

問題4中的矩形ABCD與“例10”中的矩形ABCD內(nèi)接于扇形的內(nèi)接方式不同，這就為問題5的提出創(chuàng)造了條件.

（四）從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)角度設(shè)計(jì)問題

問題4與問題2中的矩形是以不同方式內(nèi)接于扇形中的，那么，不同的內(nèi)接方式，矩形面積的最大值會(huì)發(fā)生怎樣的變化？這就為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了機(jī)會(huì).所謂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是指按照數(shù)學(xué)思想發(fā)展的脈絡(luò)，創(chuàng)造問題情境，設(shè)計(jì)系列問題，引導(dǎo)學(xué)生自主、積極、批判地思考，然后給出驗(yàn)證和理論證明，從而使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)建構(gòu)，逐步把握認(rèn)識(shí)事物、發(fā)展真理的方式方法，培養(yǎng)創(chuàng)造能力和科學(xué)研究意識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一種數(shù)學(xué)探索活動(dòng)[2].讓學(xué)生動(dòng)手進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，利用一個(gè)由靜止的狀態(tài)到按某一規(guī)律運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)情境，通過觀察和計(jì)算，運(yùn)用直觀感知與數(shù)學(xué)運(yùn)算方法，得出一般規(guī)律，明確不同量之間的內(nèi)在聯(lián)系，能激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)、求異思維和發(fā)散思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

課前，筆者預(yù)先安排學(xué)生4～6人為一組，每組準(zhǔn)備1把扇子、1根橡皮筋、4個(gè)夾子，然后引導(dǎo)學(xué)生做如下3個(gè)實(shí)驗(yàn).

（1）把橡皮筋折成4段，構(gòu)成一個(gè)矩形，把矩形內(nèi)接到扇子上.內(nèi)接方式一：把矩形一邊固定于扇形的母線OP上.內(nèi)接方式二：把矩形相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)分別固定在扇形的兩條母線上，使得OA=OB.

（2）改變扇子夾角的大小.

（3）觀察內(nèi)接矩形面積的大小變化.

讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)后，筆者再提出下面的問題.

問題5? ?在扇形OPQ中，設(shè)[OP=1]，圓心角∠POQ=θ（[0<θ≤π2]），[C]是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，矩形ABCD以兩種方式內(nèi)接于扇形（圖略）.當(dāng)角θ分別取[π6]，[π4]，[π3]，[π2]時(shí)，哪種內(nèi)接方式可使矩形ABCD的面積更大？

（五）從課后作業(yè)角度設(shè)計(jì)問題

作業(yè)是課堂教學(xué)的延續(xù)，是教學(xué)過程中不可缺少的一部分，是使學(xué)生與教師在認(rèn)識(shí)上達(dá)成共識(shí)、產(chǎn)生共鳴，并將數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為學(xué)生的個(gè)人素養(yǎng)、形成技能的有效方法.作業(yè)設(shè)計(jì)要能體現(xiàn)學(xué)生能力層次的差異性、解決問題模式的多樣性、解決方法的探索性、問題情境的熟悉性.作業(yè)可以布置3～5道題，在教師引導(dǎo)下供學(xué)生選擇，作業(yè)要有基本題、提高題、探索題，采用生活、生產(chǎn)和科技情境，緊扣教學(xué)內(nèi)容，分層設(shè)計(jì)、多元呈現(xiàn)、開放探索，目的是鞏固所學(xué)知識(shí)、掌握主要方法、培養(yǎng)創(chuàng)新能力.比如以下設(shè)計(jì)的課后作業(yè)1是很具體的問題;課后作業(yè)2是利用兩個(gè)變量分別建立函數(shù)關(guān)系，以達(dá)到復(fù)習(xí)和鞏固之效;課后作業(yè)3通過引進(jìn)變量θ，建立面積函數(shù)后，把問題轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值問題，通過三角恒等變換，鞏固化歸思想解決問題等.

課后作業(yè)1? ?如圖（略）所示，某交通協(xié)管員站在距L公路40米的P處測到一輛在公路L上行駛的轎車從A點(diǎn)到B點(diǎn)所用的時(shí)間為2秒，已知[∠APH=60°]，[∠BPH=30°]（[PH⊥L]），問轎車在這一段公路上是否超過80km/h的限制速度？

課后作業(yè)2? ? （改編自2008年高考江蘇卷理科第17題）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點(diǎn)A，B，及CD的中點(diǎn)P處（圖略），已知AB=20km，CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且與A，B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長為ykm.

（1）設(shè)[∠BAO=θ（rad）]，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式;

（2）設(shè)[OP=x（km）]，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式.

課后作業(yè)3? ?如圖3，ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中AST是一半徑為AT=90m的扇形小山，其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車場，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在弧ST上，相鄰兩邊CQ，CR落在正方形的邊BC，CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

（一）體現(xiàn)課標(biāo)新理念，彰顯教材育人價(jià)值

新教材是在《課程標(biāo)準(zhǔn)》理念指導(dǎo)下根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)和需要編寫的，是具有一定范圍和深度的體現(xiàn)知識(shí)和技能的指導(dǎo)性文本.因此，教師設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，可在遵循《課程標(biāo)準(zhǔn)》原有架構(gòu)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，創(chuàng)設(shè)真實(shí)、自然的情境，讓課堂結(jié)構(gòu)清晰順暢且符合學(xué)生認(rèn)知，最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，避免機(jī)械灌輸和“填鴨”.本課教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)與學(xué)情出發(fā)，把課后練習(xí)與例題進(jìn)行對(duì)調(diào)，建構(gòu)更加符合數(shù)學(xué)邏輯和學(xué)生心理的教學(xué)過程，利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.

（二）一般觀念引領(lǐng)，通過問題串提煉思想方法

章建躍博士認(rèn)為，一般觀念指的是對(duì)內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的進(jìn)一步提煉和概括……對(duì)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方式對(duì)事物進(jìn)行觀察、思考、分析以及發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題等都具有指路明燈的作用[3].因此，在一般觀念的指導(dǎo)下，問題串的設(shè)計(jì)從四個(gè)角度出發(fā)，借助自變量的選取、情境的類比、函數(shù)模型的變化等，觸發(fā)繁與簡的對(duì)比，再用矩形放置位置的不同、扇形角度大小的改變、不同角的選擇等，引發(fā)學(xué)生思考，形成研究解決問題的一般思路，在變與不變中提煉出函數(shù)建模的數(shù)學(xué)思想方法.

（三）布置探索性問題，促進(jìn)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的遷移

教材只是對(duì)知識(shí)體系中的主要知識(shí)、數(shù)學(xué)思想作了介紹，不可能面面俱到，教師需要主動(dòng)挖掘知識(shí)的深度與思維的廣度，不斷拓寬學(xué)生的思維通道，探索性問題就是很好的載體.比如，問題5讓學(xué)生在獨(dú)立思考、自主探究、合作交流下，經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性思維參與過程，提升學(xué)生的素養(yǎng)，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)把“抽象問題具體化、隱性問題顯性化、靜態(tài)問題動(dòng)態(tài)化”的功能.因此，依據(jù)教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)探索性問題，促進(jìn)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的遷移，能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，也是體現(xiàn)學(xué)科寬度、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的重要途徑.

由于受到各種限制，教材不能將編寫者全部的、可能的想法與方案都呈現(xiàn)出來，通常展示的只是一種（或幾種）選擇（呈現(xiàn)方式、編排順序、內(nèi)容載體等），因此，在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，教師必須考慮更多的因素與可能，從學(xué)生獲得最大發(fā)展的角度進(jìn)行加工[4].“用教材教”作為一種理念，雖然沒有放之四海而皆準(zhǔn)的模式和方法，但卻是有效教學(xué)的重要組成部分，是教師創(chuàng)造力的體現(xiàn).貫徹“用教材教”這種理念的核心，必須充分發(fā)揮教材的示范和價(jià)值引領(lǐng)作用，把編寫者的智慧與希冀，實(shí)實(shí)在在地落實(shí)在對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力、意識(shí)、品質(zhì)、素養(yǎng)的提升上.

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