摘 要：隨著信息化時(shí)代的到來，大數(shù)據(jù)成為研究的熱點(diǎn)。中學(xué)教學(xué)開始引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)據(jù)的收集與處理進(jìn)行初步嘗試。2001年教育部頒發(fā)了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，將“統(tǒng)計(jì)與概率”作為一個(gè)完整的學(xué)習(xí)內(nèi)容模塊引入到九年義務(wù)教育中，與“數(shù)與代數(shù)”“幾何與圖形”并列為三大數(shù)學(xué)模塊，貫穿義務(wù)教育的數(shù)學(xué)課程?！敖y(tǒng)計(jì)與概率”研究的是不確定問題，因此在思維方法上依賴于辯證的思維手段，對于培養(yǎng)學(xué)生的不確定性能力有很大的作用。概率與統(tǒng)計(jì)中的很多概念是相互聯(lián)系極為密切的，學(xué)生不但要理解這些概念，還應(yīng)該正確理解這些概念之間的聯(lián)系。目前初中階段統(tǒng)計(jì)概率在中考中占比不大，題目不難，使得教師和學(xué)生的重視度不夠。針對這一現(xiàn)象，教學(xué)中不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。讓學(xué)生研究身邊的材料，抽象出數(shù)學(xué)問題，建立起數(shù)學(xué)模型，再去解決生活中的問題，既調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣與經(jīng)驗(yàn)，又很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，可謂兩全其美。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)整理;數(shù)據(jù)分析;統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)

數(shù)據(jù)是信息的載體，這個(gè)載體既包括數(shù)，也包括言語、信號、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計(jì)與概率就是通過這些載體來提取信息進(jìn)行分析的科學(xué)和藝術(shù)。“統(tǒng)計(jì)與概率”在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中占據(jù)重要內(nèi)容，在基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)課程改革中受到特別重視，這都是基于其在當(dāng)今社會(huì)生活中有著重要的應(yīng)用，因此培養(yǎng)學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)十分必要。

華師大版數(shù)學(xué)教材依據(jù)初中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律將概率分為認(rèn)知、分析、應(yīng)用三個(gè)層面分割到四個(gè)學(xué)年完成教學(xué)，從而幫助學(xué)生能夠真正學(xué)會(huì)利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題。然而在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)：概率知識(shí)點(diǎn)所涉及的面很廣，學(xué)生在學(xué)習(xí)中普遍感到概念抽象;學(xué)生對概率的認(rèn)知不夠深入;或者對概率的認(rèn)知停留在應(yīng)試層面，在生活中還是無法熟練應(yīng)用。

一、統(tǒng)計(jì)與概率課程的教育價(jià)值

（一）有利于培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力

“統(tǒng)計(jì)與概率”研究的是不確定性問題，主要依靠辯證思維和歸納的方法去學(xué)習(xí)，對培養(yǎng)學(xué)生明智地處理變化與不確定性的能力、實(shí)踐能力和合作精神等方面更直接、更有效。

（二）有利于培養(yǎng)學(xué)生的批判精神

面對大量的數(shù)據(jù)，需要保持鎮(zhèn)定，從大量煩瑣的數(shù)據(jù)中摘取自己需要的數(shù)據(jù)，并獲得盡可能多的有用信息，還要保持理智的心態(tài)，對數(shù)據(jù)的來源、收集數(shù)據(jù)的方法、數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式以及得到的結(jié)論等進(jìn)行合理的質(zhì)疑。

（三）有利于推動(dòng)信息技術(shù)的使用

“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容中涉及大量的復(fù)雜數(shù)據(jù)的計(jì)算問題，依靠人工計(jì)算是不可能實(shí)現(xiàn)的，引導(dǎo)學(xué)生和教師使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算，并制作各類統(tǒng)計(jì)表，省時(shí)省力。

二、統(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)習(xí)方法

以華東師范出版社的教材為研究對象。在本套教材中，初中教材中涉及概率與統(tǒng)計(jì)的部分主要分成了四個(gè)部分，分別為數(shù)據(jù)的收集與表示、數(shù)據(jù)的整理與初步處理、隨機(jī)事件的概率、樣本和總體。在該套教材中，以趣味性的方式來引入定義，例子注重生活化，在教授過程中，學(xué)生可以很容易理解感知這些概念的存在，但是對于統(tǒng)計(jì)與概率中相關(guān)定義依然很難理解和應(yīng)用。這主要是因?yàn)橐酝臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，都是研究確定性問題，但概率研究是不確定性問題，學(xué)生短時(shí)間內(nèi)很難接受，并且對于依靠思維和歸納的方法去解題的思路也需要經(jīng)過很長時(shí)間的訓(xùn)練。在統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)過程中，要循序漸進(jìn)，從學(xué)生熟悉的定義與概念入手，比如平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等概念。

（一）數(shù)據(jù)的收集與表示

“數(shù)據(jù)的收集與表示”是我們學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率的第一步，是學(xué)生感知數(shù)據(jù)存在的初體驗(yàn)。不同于以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，大量數(shù)據(jù)的涌入使得以往的解決方法行不通，開始引導(dǎo)學(xué)生去主動(dòng)尋找新的方法。在收集階段我們提出了頻數(shù)和頻率的概念。

頻數(shù)表示每個(gè)對象出現(xiàn)的次數(shù)，頻率表示每個(gè)對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值（或者百分比）。頻數(shù)和頻率反映的是每個(gè)對象出現(xiàn)的頻繁程度。這是學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果，在這個(gè)階段學(xué)生可以很容易理解并表示出很大的興趣。

根據(jù)頻數(shù)和頻率，課本提出使用條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖來進(jìn)行數(shù)據(jù)的表示。這三種統(tǒng)計(jì)圖在不同的情景下都可以直觀地體現(xiàn)出我們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。條形統(tǒng)計(jì)圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量特征，扇形統(tǒng)計(jì)圖主要突出各組成部分的數(shù)量在總數(shù)量中所占份額的大小，折線統(tǒng)計(jì)圖主要顯示出數(shù)量變化的規(guī)律，可以根據(jù)實(shí)際需要來選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖。這一部分主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和作圖能力，使用計(jì)算機(jī)繪制統(tǒng)計(jì)圖是學(xué)生未來工作和學(xué)習(xí)的必備能力。

（二）數(shù)據(jù)的整理與初步處理

“數(shù)據(jù)的整理與初步處理”是學(xué)生由被動(dòng)變主動(dòng)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在數(shù)據(jù)收集階段，學(xué)生被動(dòng)接受了大量煩瑣的數(shù)據(jù)，我們渴望尋求使用一個(gè)數(shù)字或者符號來直觀呈現(xiàn)出數(shù)據(jù)的特征。因此這個(gè)階段，教材中提出了一些重要的定義：平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。

平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要概念，是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，平均數(shù)包含了算數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)等很多類型，在不同情景下選擇合適的平均數(shù)可以更好地反映數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。我們最為常用的是算數(shù)平均數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商。既可以用它來反映一組數(shù)據(jù)的一般情況和平均水平，也可以用它進(jìn)行不同組數(shù)據(jù)的比較，以此看出組與組之間的差別。

加權(quán)平均數(shù)在實(shí)際生活問題中也很常用，由于各個(gè)指標(biāo)在總結(jié)果中占有不用的重要性，因而會(huì)被賦予不同的權(quán)重。加權(quán)平均值即將各數(shù)值乘以相應(yīng)的權(quán)重，然后加總求和得到總體值，再除以總的單位數(shù)。加權(quán)平均值的大小不僅取決于總體中各單位的數(shù)值（變量值）的大小，而且取決于各數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)（頻數(shù)），由于各數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)對其在平均數(shù)中的影響起著權(quán)衡輕重的作用，因此叫做權(quán)重。

均值是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項(xiàng)指標(biāo)?？傮w的均值為從總體中抽樣，每次抽n個(gè)，每次抽出來的n個(gè)數(shù)值會(huì)有個(gè)均值u，如果一共抽了k次，那就有k個(gè)均值，比如設(shè)為U1，U2，U3，…，Uk，這k個(gè)數(shù)值的均值等于總體的均值。

中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列（即使有相等的數(shù)據(jù)也要全部參加排列），在中間的一個(gè)數(shù)字（或兩個(gè)數(shù)字的平均值）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。通過中位數(shù)算出來可避免極端數(shù)據(jù)，代表著數(shù)據(jù)總體的中等情況。這也是中位數(shù)相對于均值更好地描述一組數(shù)據(jù)的情況的原因。

眾數(shù)是在統(tǒng)計(jì)分布上具有明顯集中趨勢點(diǎn)的數(shù)值，代表數(shù)據(jù)的一般水平（眾數(shù)可以不存在或多于一個(gè)）。它也是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)值，有時(shí)眾數(shù)在一組數(shù)中有好幾個(gè)。簡單地說，就是一組數(shù)據(jù)中占比例最多的那個(gè)數(shù)。

（三）平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的區(qū)別

平均數(shù)非常明顯的優(yōu)點(diǎn)之一是，它能夠利用所有數(shù)據(jù)的特征，而且比較好算。另外，在數(shù)學(xué)中，平均數(shù)是使誤差平方和達(dá)到最小的統(tǒng)計(jì)量，也就是說利用平均數(shù)代表數(shù)據(jù)，可以使二次損失最小。因此，平均數(shù)在數(shù)學(xué)中是一個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量。但是平均數(shù)也有不足之處，正是因?yàn)樗昧怂袛?shù)據(jù)的信息，平均數(shù)容易受極端數(shù)據(jù)的影響。用眾數(shù)代表一組數(shù)據(jù)，可靠性較差，不過，眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響，并且求法簡便。在一組數(shù)據(jù)中，如果個(gè)別數(shù)據(jù)有很大的變動(dòng)，選擇中位數(shù)表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢”就比較適合。

需要指出的是，我們處理的數(shù)據(jù)，大部分是對稱的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)符合或者近似符合正態(tài)分布。這時(shí)候，均值（平均數(shù)）、中位數(shù)和眾數(shù)是一樣的。只有在數(shù)據(jù)分布偏態(tài)（不對稱）的情況下，才會(huì)出現(xiàn)均值、中位數(shù)和眾數(shù)的區(qū)別。所以說，如果是正態(tài)的話，用哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量都行。如果偏態(tài)情況特別嚴(yán)重的話，可以用中位數(shù)。

實(shí)際的情況是，很多時(shí)候我們無法直接知道數(shù)據(jù)是正態(tài)的還是偏態(tài)的，因此對于平均值、中位數(shù)和眾數(shù)的合理選用是個(gè)難題。使用概率的概念來展現(xiàn)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，更加科學(xué)，更加嚴(yán)謹(jǐn)。

（四）正確理解隨機(jī)事件的概率

從定義的角度進(jìn)行探究，首先是隨機(jī)事件的定義，無法預(yù)先確定在一次實(shí)驗(yàn)中會(huì)不會(huì)發(fā)生的事件叫做隨機(jī)事件，在這里我們以擲骰子為例，假設(shè)這個(gè)骰子質(zhì)地均勻，“擲得的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”是可能發(fā)生的事件，這就是一個(gè)隨機(jī)事件。隨機(jī)事件實(shí)際上是一個(gè)不確定的事件，而對于無須通過實(shí)驗(yàn)就能預(yù)先確定每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的事件為確定事件。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生正確理解隨機(jī)事件的定義，并能在生活中區(qū)分隨機(jī)事件和確定事件。

其次討論概率的定義，概率代表了“事件發(fā)生的可能性”。在大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)后，頻率趨于概率。需要明確的是，概率可以用來預(yù)測事件的結(jié)果，但不能確定事件的結(jié)果;概率對已經(jīng)發(fā)生的事件是沒有意義的;單次實(shí)驗(yàn)不能體現(xiàn)概率，大量多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)頻率會(huì)接近概率。在講解時(shí)，教師可以聯(lián)系實(shí)際，通過實(shí)例解釋概率的意義和作用。

三、對初中數(shù)學(xué)概率教學(xué)的建議

（一）重視實(shí)驗(yàn)的作用

在關(guān)于初中概率知識(shí)的課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該結(jié)合日常生活的實(shí)例，采用自主探索和合作交流相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式，為學(xué)生提供充分的實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間，使學(xué)生在自由和諧的教學(xué)氛圍中獲得更廣泛的概率學(xué)理論經(jīng)驗(yàn)?？茖W(xué)理論的形成是需要經(jīng)過千錘百煉的實(shí)踐才能夠最終成形的，而概率實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行，既有利于學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程以及對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析中體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象的不確定性，又可以通過大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)過程，理解其中出現(xiàn)的規(guī)律性，并最終對概率形成系統(tǒng)的認(rèn)知。

（二）要明確統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)的教學(xué)觀念

從簡單隨機(jī)事件出發(fā)，理性認(rèn)識(shí)概率。在體驗(yàn)活動(dòng)中對隨機(jī)事件出現(xiàn)機(jī)會(huì)的直覺猜想、自主探究、動(dòng)手操作和實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析的過程后，絕大多數(shù)學(xué)生對概率以及概率的頻率定義有了較為透徹的理解。此時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生理性地分析以往隨機(jī)事件的概率便水到渠成。在將對簡單隨機(jī)事件的概率理解從直觀體驗(yàn)上升至理性辯證思維的過程中，教師應(yīng)當(dāng)從簡單的實(shí)例入手。

在我們生活的世界中，大部分信息都由數(shù)據(jù)構(gòu)成，學(xué)會(huì)收集數(shù)據(jù)、篩選數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)，是我們的必備技能，加強(qiáng)數(shù)學(xué)“概率與統(tǒng)計(jì)”教學(xué)效果的研究是數(shù)學(xué)教學(xué)事業(yè)發(fā)展的必然趨勢。總之，統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)，應(yīng)該注重讓學(xué)生理解這些重要概念背后的含義及它們之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)其在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，而不能將這部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容純粹作為計(jì)算題來學(xué)習(xí)。對統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)還有許多相關(guān)問題值得我們研究，需要我們在理論和實(shí)踐中不斷探索、不斷改進(jìn)，共同努力來完善我們的數(shù)學(xué)教學(xué)改革。

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作者簡介：

韓丹，吉林省長春市，吉林大學(xué)附屬中學(xué)。