秦瑋

摘 要：2019年人教A版高中數(shù)學(xué)新教材是核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)教材變革。相對(duì)于舊教材而言，新教材對(duì)“三角函數(shù)”概念教學(xué)作了全新的處理。研究者以人教版高中數(shù)學(xué)新教材 “三角函數(shù)的概念”為例，對(duì)新教材的課程內(nèi)容進(jìn)行分析與整合，創(chuàng)新了教學(xué)設(shè)計(jì)，凸顯了函數(shù)本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì);整合

對(duì)于高中數(shù)學(xué)教材的認(rèn)識(shí)是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，更何況是剛剛推廣使用的新教材。教師應(yīng)立足于教材，但教材不等于教學(xué)內(nèi)容，它需要根據(jù)實(shí)際情況再加工。教師可以根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)自行研發(fā)校本教材，創(chuàng)造性地使用教材。創(chuàng)造性地使用教材并不是弱化教材的地位，相反，教師是立足教材、重視教材。筆者喜歡翻開課本，逐字、逐句、逐節(jié)地閱讀，對(duì)定義、定理、結(jié)論中的關(guān)鍵語句仔細(xì)品味、反復(fù)思考，領(lǐng)悟其語意，切實(shí)領(lǐng)悟教材編輯者的意圖。

一、設(shè)計(jì)背景研究

1.教材內(nèi)容

三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，它的本質(zhì)是以角度（弧度制）為自變量，角度對(duì)應(yīng)任意角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或其比值為因變量的函數(shù)。也可以等價(jià)地用與單位圓有關(guān)的各種線段的長(zhǎng)度來定義。

2.學(xué)情分析

學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的概念，知道了角的概念推廣是建立在需要數(shù)學(xué)地表示周期性運(yùn)動(dòng)的邏輯起點(diǎn)上，這為進(jìn)一步研究三角函數(shù)的概念提供邏輯起點(diǎn)。由于學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了以直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)，沒有在函數(shù)觀點(diǎn)層面上認(rèn)識(shí)銳角的三角函數(shù)，由此產(chǎn)生任意角三角函數(shù)認(rèn)識(shí)的負(fù)遷移，認(rèn)為任意角三角函數(shù)就是求任意角三角函數(shù)值。這種對(duì)函數(shù)關(guān)系的認(rèn)同是學(xué)生學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)概念的困難之一。我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角的三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”。

3. 教學(xué)目標(biāo)

（1）了解三角函數(shù)的背景，體會(huì)三角函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系;

（2）經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

4. 教學(xué)重點(diǎn)

任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

5. 教學(xué)難點(diǎn)

理解三角函數(shù)的函數(shù)本質(zhì)，能借助單位圓定義任意角的三角函數(shù)。

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.情境引入

周期變化規(guī)律的現(xiàn)象廣泛存在于自然界中：

東升西落照蒼穹，影短影長(zhǎng)角不同。晝夜循環(huán)潮起伏，冬春更替草枯榮。

函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律應(yīng)當(dāng)用不同的函數(shù)來刻畫，我們學(xué)過哪些基本初等函數(shù)？客觀世界中還存在著一些現(xiàn)象，比如，地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化，公轉(zhuǎn)引起的四季變化，月亮圓缺變化，潮汐變化等，他們都具有循環(huán)往復(fù)，周而復(fù)始的現(xiàn)象，這種變化規(guī)律稱為周期性，以及物理學(xué)中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)或即將要學(xué)的單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移變化，交變電流變化都具有周期性，我們前面學(xué)的函數(shù)刻畫不了這種周期性變化的規(guī)律，什么函數(shù)模型能最好的刻畫這種周期變化的規(guī)律？──三角函數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】在理科知識(shí)學(xué)習(xí)中，增加文學(xué)趣味，從而改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)枯燥、蒼白的印象，促使學(xué)生更好的感受數(shù)學(xué)世界的魅力所在，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)激發(fā)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的。最后引出“周期現(xiàn)象”，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)過往“函數(shù)”知識(shí)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，從而用數(shù)學(xué)模型刻畫周期現(xiàn)象，讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課程知識(shí)學(xué)習(xí)任務(wù)有所認(rèn)知。

2.活動(dòng)探究

引例：水車灌溉，始于東漢，宋代改良為高轉(zhuǎn)筒車（水車）。

探究1：現(xiàn)某風(fēng)景區(qū)內(nèi)有半徑r=1的水車，為了讓水車更加美觀，需要進(jìn)行裝飾，遇到了這樣一個(gè)問題：點(diǎn)P與點(diǎn)O在同一個(gè)水平位置，隨著水車逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的位置在哪里？點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】高中學(xué)生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和一定的科學(xué)知識(shí)，因此選擇感興趣的、與其生活實(shí)際密切相關(guān)的素材，通過生活中的實(shí)例──水車（筒車）旋轉(zhuǎn)過程中某質(zhì)點(diǎn)的位置確定，直觀感知?jiǎng)蛩賵A周運(yùn)動(dòng)中圓周上的點(diǎn)的坐標(biāo)的三角函數(shù)刻畫，體會(huì)三角函數(shù)刻畫周期運(yùn)動(dòng)的必然性。此情景設(shè)計(jì)應(yīng)該有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的理解。這個(gè)數(shù)學(xué)模型很好融合初中對(duì)三角函數(shù)的定義，也能放在直角坐標(biāo)系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù)的本質(zhì)。

探究2：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)又是什么？如果給定一個(gè)角a，它的終邊OP與單位圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是唯一確定的嗎？你能用函數(shù)的語言刻畫角α與交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？

使用幾何畫板，得出P的坐標(biāo)是唯一確定。

師：如圖，點(diǎn)P作圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)a變化時(shí)，還有哪些量在變化？它們與a具有函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？

學(xué)生整體感知，教師以y與a的函數(shù)關(guān)系為例，引導(dǎo)學(xué)生從以下三個(gè)方面理解問題：

①a的所有取值記為集合A，y的所有取值記為集合B，集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)。

②在單位圓中，根據(jù)弧度的定義，a的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于a所對(duì)的弧長(zhǎng)，因此集合 A 中的每一個(gè)元素都可以用實(shí)數(shù)表示，集合B中的元素也是實(shí)數(shù)，根據(jù)函數(shù)定義可以判斷y是a的函數(shù)。

③y隨著a的變化而變化，所以a是自變量，y是函數(shù)值。

三、教學(xué)反思

一堂好的數(shù)學(xué)課，必須蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，能夠激發(fā)學(xué)生思考的熱情，使學(xué)生經(jīng)歷“百思不得其解的困惑——茅塞頓開的激動(dòng)——問題解決的愉悅”的過程，從中品味思考的樂趣，發(fā)展思維的能力，獲得數(shù)學(xué)的思想方法。這樣的課才既有內(nèi)容又有思想，既見樹木又見森林。

我將本節(jié)課設(shè)計(jì)成探究問題串的形式，通過問題串誘發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生完成本節(jié)課的探究過程（概念復(fù)習(xí)——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境——概念探究——概念形成——概念拓展——鞏固訓(xùn)練——?dú)w納總結(jié)）。整個(gè)教學(xué)過程層層遞進(jìn)，線索清晰，突出了教學(xué)重點(diǎn)，突破了教學(xué)難點(diǎn).問題的設(shè)計(jì)能讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知需求，享受在領(lǐng)悟、感知中探求新方法和學(xué)習(xí)新知識(shí)的樂趣。我對(duì)新教材的課程內(nèi)容進(jìn)行分析與整合，創(chuàng)新了教學(xué)設(shè)計(jì)，凸顯了函數(shù)本質(zhì)。

本節(jié)課在知識(shí)的學(xué)習(xí)中很好的滲透了數(shù)學(xué)的思想和方法。比如，單位圓的引入滲透了數(shù)形結(jié)合的思想;由銳角的三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)體現(xiàn)了從特殊到一般的思想;將任意角的正弦函數(shù)的定義類比到了任意角的余弦函數(shù)和正切函數(shù)定義等等。

本節(jié)課融入了中國歷史文化、數(shù)學(xué)育人的精神。比如，以七言絕句“東升西落照蒼穹，影短影長(zhǎng)角不同。晝夜循環(huán)潮起伏，冬春更替草枯榮。”開頭，引出任意角三角函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是周期變化現(xiàn)象，是“周而復(fù)始”變化規(guī)律的數(shù)學(xué)刻畫。通過歷史必修二中的“高轉(zhuǎn)筒車”圖片，滲透了中國歷史文化，提高課堂的文化厚度，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)是源于生活的。

整個(gè)教學(xué)過程中，我為學(xué)生提供獨(dú)立思考的時(shí)間，自主的思維。最后的總結(jié)，又回到引入的情境，讓學(xué)生思考回味總結(jié)，這樣的設(shè)計(jì)新穎又首尾呼應(yīng)，也調(diào)動(dòng)了學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的興趣。

參考文獻(xiàn)：;

[1]用幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算的方法研究三角函數(shù)[J]. 章建躍.數(shù)學(xué)通報(bào). 2020（11）

[2]從一道三角函數(shù)求值題中引發(fā)的思考[J]. 華倩. 科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新. 2020（26）

本文是基金項(xiàng)目：廣州市教育科學(xué)規(guī)劃2018年度一般課題“高中數(shù)學(xué)知識(shí)主干整合與教學(xué)實(shí)踐研究”（編號(hào)：201811662）的階段性成果.