郭麗巍
摘? ? 要:探究動(dòng)態(tài)問題,妙用特殊思想。如果一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論對(duì)一般情況成立,那么對(duì)于特殊值的情況必然成立。因此在解決某些問題時(shí)就可以利用特殊值法,選擇恰當(dāng)?shù)奶厥庵?、特殊點(diǎn)、特殊圖形來解決,這對(duì)煩瑣問題的求解意義重大。本文將針對(duì)特殊值在動(dòng)態(tài)軌跡中的巧妙運(yùn)用進(jìn)行說明。
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)素養(yǎng);特殊值;歸納推理;動(dòng)點(diǎn)問題
1.研究目標(biāo)
新課程標(biāo)準(zhǔn)提出數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析??梢娺壿嬐评碓跀?shù)學(xué)教學(xué)中占有舉足輕重的地位。邏輯推理包括歸納推理和演繹推理,它在幾何證明中占有重要的地位。邏輯推理的訓(xùn)練能力應(yīng)該從小培養(yǎng),為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。
《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中給出了邏輯能力的界定:通過對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、性質(zhì)、規(guī)則、命題等)進(jìn)行邏輯思考(觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、演繹),從而做出推論;再進(jìn)一步尋找證據(jù)、給出證明或舉出反例說明給出推論的合理性的綜合能力。
2.應(yīng)用廣度
動(dòng)態(tài)幾何問題是初中數(shù)學(xué)非常重要的一類題型,因其綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)點(diǎn)多、解答能力要求較高等特點(diǎn),一直受到命題者的青睞。在近幾年各地的中考、高考試卷中,以動(dòng)點(diǎn)問題為主的動(dòng)態(tài)幾何題頻頻出現(xiàn)在填空、選擇、解答等各種題型中,成為全卷的難點(diǎn),考查學(xué)生對(duì)圖形的直覺能力以及從變化中看到不變實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)洞察力。史寧中教授認(rèn)為,教學(xué)不僅要教給知識(shí),更要幫助學(xué)生形成智慧。知識(shí)的主要載體是書本,智慧則形成于經(jīng)驗(yàn)的過程中,形成于經(jīng)歷的活動(dòng)中,形成于學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的教育教學(xué)實(shí)踐中。今天我們淺談下數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中的“邏輯推理”中的“歸納推理”。它主要體現(xiàn)在特殊值情況代替題設(shè)中的普遍條件,得出特殊的結(jié)論,從而在解決問題時(shí)做出正確判斷。這種方法叫做“特殊值法”。題目中已知條件中含有某些不確定的量,而題目的結(jié)論是唯一的或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí),可以將變量取一些特殊值或特殊的位置、特殊情況來求出這個(gè)定值,從而簡(jiǎn)化了推理、論證的過程。這種方法的主要特征是取特例(如特殊值、特殊函數(shù)、特殊角、特殊點(diǎn)、特殊位置等),進(jìn)行合理科學(xué)的判斷——否定或肯定,從而達(dá)到快速解題的目的。
下面以實(shí)例說明特殊值在一些數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。
3.案例展示
(1)解題策略——運(yùn)用函數(shù)模型,靜化動(dòng)點(diǎn)問題
例:已知A是雙曲線y=在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B,以AB為邊做等邊三角形ABC,點(diǎn)C在第四象限,已知點(diǎn)C的位置始終在一函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng),則這個(gè)函數(shù)解析式為(? ? )
A.y=-(x>0)? ? ? ? ? B.y=(x>0)
C.y=-6x(x>0)? ? ? ? ? D.y=6x(x>0)
[分析]:A為動(dòng)點(diǎn),AB為動(dòng)線??紤]A及AB的特殊位置,使得點(diǎn)A及直線AB為定點(diǎn)和定直線,把動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題。
解:如右圖,當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為45?紫時(shí);當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時(shí),直線AB為y=x,此時(shí)可求出點(diǎn)A(,),∠ACO=30?紫,OC=2,即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,-? ),k=×-=-6,即函數(shù)解析式為y= (x>0)
解:如下圖,當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為60?紫時(shí);當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時(shí),直線AB為y=x,此時(shí)可求出點(diǎn)A(? x,x ),且k=x×x=2。則OA=2x,∠ACO=30?紫,AC=4x,OC=2x,即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3x,- x ),k=3x×- x=-3x2=6,即函數(shù)解析式為y= ?(x>0)
解:如下圖,當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為30?紫時(shí);當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時(shí),直線AB為y= x ,此時(shí)可求出點(diǎn)A(x,x ),且k=x×x=2。則OA=2x,∠ACO=30?紫,AC=4x,OC=2x,即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,-3x ),k= 3x×- x=-3x2=6,即函數(shù)解析式為y= ?(x>0)
[解析]首先判斷點(diǎn)C的軌跡,若是選擇題,便可直接帶入點(diǎn)去驗(yàn)證,若本題為填空題,無論特殊點(diǎn)A選在哪里,都會(huì)得到一個(gè)確定的C點(diǎn),嘗試兩次即可發(fā)現(xiàn)此軌跡為反比例函數(shù)的一支。代入點(diǎn)求出函數(shù)表達(dá)式。
(一般證明求解。)
解:過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)C做x軸的垂線交x軸于點(diǎn)F。
∵△ABC是等邊三角形
∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=30?紫;
OC=OA;
△AOE∽△OCF;
===;
OF=AE,CF=OE;
∴OF×CF=3AE×OE=6
即函數(shù)解析式為:y=(x>0)
[評(píng)析]本題是考查反比例函數(shù)的綜合題。自然解法源于高觀點(diǎn)的統(tǒng)領(lǐng)[1],本題涉及了直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí),綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多。解答本題的關(guān)鍵是將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。由于本題是選擇題,引導(dǎo)學(xué)生自然化的解決問題,化動(dòng)點(diǎn)為定線,培養(yǎng)核心素養(yǎng),簡(jiǎn)單巧妙地解決問題。此題要想求出函數(shù)解析式,只要求點(diǎn)C函數(shù)軌跡,即點(diǎn)C的橫縱坐標(biāo)。由于此題中點(diǎn)C是一個(gè)動(dòng)點(diǎn),因此讓直線AB選取特定的位置,選定A、B點(diǎn)C的位置就很容易確定了。若要規(guī)范地證明此題需要一個(gè)完整的思考體系,一般的學(xué)生很難得到標(biāo)準(zhǔn)答案。因此在做選擇填空題時(shí),學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)匕盐罩骶€、學(xué)會(huì)巧妙化動(dòng)為定。
(2)嘗試運(yùn)用——打破思維定式,尋找最優(yōu)解法