郭麗巍

摘? ? 要：探究動(dòng)態(tài)問題，妙用特殊思想。如果一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論對(duì)一般情況成立，那么對(duì)于特殊值的情況必然成立。因此在解決某些問題時(shí)就可以利用特殊值法，選擇恰當(dāng)?shù)奶厥庵?、特殊點(diǎn)、特殊圖形來解決，這對(duì)煩瑣問題的求解意義重大。本文將針對(duì)特殊值在動(dòng)態(tài)軌跡中的巧妙運(yùn)用進(jìn)行說明。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng);特殊值;歸納推理;動(dòng)點(diǎn)問題

1.研究目標(biāo)

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析?？梢娺壿嬐评碓跀?shù)學(xué)教學(xué)中占有舉足輕重的地位。邏輯推理包括歸納推理和演繹推理，它在幾何證明中占有重要的地位。邏輯推理的訓(xùn)練能力應(yīng)該從小培養(yǎng)，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中給出了邏輯能力的界定：通過對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、性質(zhì)、規(guī)則、命題等）進(jìn)行邏輯思考（觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、演繹），從而做出推論;再進(jìn)一步尋找證據(jù)、給出證明或舉出反例說明給出推論的合理性的綜合能力。

2.應(yīng)用廣度

動(dòng)態(tài)幾何問題是初中數(shù)學(xué)非常重要的一類題型，因其綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)點(diǎn)多、解答能力要求較高等特點(diǎn)，一直受到命題者的青睞。在近幾年各地的中考、高考試卷中，以動(dòng)點(diǎn)問題為主的動(dòng)態(tài)幾何題頻頻出現(xiàn)在填空、選擇、解答等各種題型中，成為全卷的難點(diǎn)，考查學(xué)生對(duì)圖形的直覺能力以及從變化中看到不變實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)洞察力。史寧中教授認(rèn)為，教學(xué)不僅要教給知識(shí)，更要幫助學(xué)生形成智慧。知識(shí)的主要載體是書本，智慧則形成于經(jīng)驗(yàn)的過程中，形成于經(jīng)歷的活動(dòng)中，形成于學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的教育教學(xué)實(shí)踐中。今天我們淺談下數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中的“邏輯推理”中的“歸納推理”。它主要體現(xiàn)在特殊值情況代替題設(shè)中的普遍條件，得出特殊的結(jié)論，從而在解決問題時(shí)做出正確判斷。這種方法叫做“特殊值法”。題目中已知條件中含有某些不確定的量，而題目的結(jié)論是唯一的或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以將變量取一些特殊值或特殊的位置、特殊情況來求出這個(gè)定值，從而簡(jiǎn)化了推理、論證的過程。這種方法的主要特征是取特例（如特殊值、特殊函數(shù)、特殊角、特殊點(diǎn)、特殊位置等），進(jìn)行合理科學(xué)的判斷——否定或肯定，從而達(dá)到快速解題的目的。

下面以實(shí)例說明特殊值在一些數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。

3.案例展示

（1）解題策略——運(yùn)用函數(shù)模型，靜化動(dòng)點(diǎn)問題

例：已知A是雙曲線y=在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊做等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限，已知點(diǎn)C的位置始終在一函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)，則這個(gè)函數(shù)解析式為（? ? ）

A.y=-（x>0）? ? ? ? ? B.y=（x>0）

C.y=-6x（x>0）? ? ? ? ? D.y=6x（x>0）

[分析]：A為動(dòng)點(diǎn)，AB為動(dòng)線。考慮A及AB的特殊位置，使得點(diǎn)A及直線AB為定點(diǎn)和定直線，把動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題。

解：如右圖，當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為45？紫時(shí);當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時(shí)，直線AB為y=x，此時(shí)可求出點(diǎn)A（，），∠ACO=30？紫，OC=2，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，-? ），k=×-=-6，即函數(shù)解析式為y= （x>0）

解：如下圖，當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為60？紫時(shí);當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時(shí)，直線AB為y=x，此時(shí)可求出點(diǎn)A（? x，x ），且k=x×x=2。則OA=2x，∠ACO=30？紫，AC=4x，OC=2x，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3x，- x ），k=3x×- x=-3x2=6，即函數(shù)解析式為y= ?（x>0）

解：如下圖，當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為30？紫時(shí);當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時(shí)，直線AB為y= x ，此時(shí)可求出點(diǎn)A（x，x ），且k=x×x=2。則OA=2x，∠ACO=30？紫，AC=4x，OC=2x，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，-3x ），k= 3x×- x=-3x2=6，即函數(shù)解析式為y= ?（x>0）

[解析]首先判斷點(diǎn)C的軌跡，若是選擇題，便可直接帶入點(diǎn)去驗(yàn)證，若本題為填空題，無論特殊點(diǎn)A選在哪里，都會(huì)得到一個(gè)確定的C點(diǎn)，嘗試兩次即可發(fā)現(xiàn)此軌跡為反比例函數(shù)的一支。代入點(diǎn)求出函數(shù)表達(dá)式。

（一般證明求解。）

解：過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C做x軸的垂線交x軸于點(diǎn)F。

∵△ABC是等邊三角形

∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=30？紫;

OC=OA;

△AOE∽△OCF;

===;

OF=AE，CF=OE;

∴OF×CF=3AE×OE=6

即函數(shù)解析式為：y=（x>0）

[評(píng)析]本題是考查反比例函數(shù)的綜合題。自然解法源于高觀點(diǎn)的統(tǒng)領(lǐng)[1]，本題涉及了直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，綜合考查的知識(shí)點(diǎn)較多。解答本題的關(guān)鍵是將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通。由于本題是選擇題，引導(dǎo)學(xué)生自然化的解決問題，化動(dòng)點(diǎn)為定線，培養(yǎng)核心素養(yǎng)，簡(jiǎn)單巧妙地解決問題。此題要想求出函數(shù)解析式，只要求點(diǎn)C函數(shù)軌跡，即點(diǎn)C的橫縱坐標(biāo)。由于此題中點(diǎn)C是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因此讓直線AB選取特定的位置，選定A、B點(diǎn)C的位置就很容易確定了。若要規(guī)范地證明此題需要一個(gè)完整的思考體系，一般的學(xué)生很難得到標(biāo)準(zhǔn)答案。因此在做選擇填空題時(shí)，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會(huì)適當(dāng)?shù)匕盐罩骶€、學(xué)會(huì)巧妙化動(dòng)為定。

（2）嘗試運(yùn)用——打破思維定式，尋找最優(yōu)解法