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        核心素養(yǎng)視域下邏輯推理能力培養(yǎng)的教學(xué)實踐研究

        2021-11-19 16:41:50郭麗巍
        黑龍江教育·中學(xué) 2021年11期
        關(guān)鍵詞:歸納推理數(shù)學(xué)素養(yǎng)

        郭麗巍

        摘? ? 要:探究動態(tài)問題,妙用特殊思想。如果一個數(shù)學(xué)結(jié)論對一般情況成立,那么對于特殊值的情況必然成立。因此在解決某些問題時就可以利用特殊值法,選擇恰當(dāng)?shù)奶厥庵?、特殊點、特殊圖形來解決,這對煩瑣問題的求解意義重大。本文將針對特殊值在動態(tài)軌跡中的巧妙運用進(jìn)行說明。

        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)素養(yǎng);特殊值;歸納推理;動點問題

        1.研究目標(biāo)

        新課程標(biāo)準(zhǔn)提出數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析??梢娺壿嬐评碓跀?shù)學(xué)教學(xué)中占有舉足輕重的地位。邏輯推理包括歸納推理和演繹推理,它在幾何證明中占有重要的地位。邏輯推理的訓(xùn)練能力應(yīng)該從小培養(yǎng),為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

        《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中給出了邏輯能力的界定:通過對數(shù)學(xué)對象(數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、性質(zhì)、規(guī)則、命題等)進(jìn)行邏輯思考(觀察、實驗、歸納、類比、演繹),從而做出推論;再進(jìn)一步尋找證據(jù)、給出證明或舉出反例說明給出推論的合理性的綜合能力。

        2.應(yīng)用廣度

        動態(tài)幾何問題是初中數(shù)學(xué)非常重要的一類題型,因其綜合性強、涉及知識點多、解答能力要求較高等特點,一直受到命題者的青睞。在近幾年各地的中考、高考試卷中,以動點問題為主的動態(tài)幾何題頻頻出現(xiàn)在填空、選擇、解答等各種題型中,成為全卷的難點,考查學(xué)生對圖形的直覺能力以及從變化中看到不變實質(zhì)的數(shù)學(xué)洞察力。史寧中教授認(rèn)為,教學(xué)不僅要教給知識,更要幫助學(xué)生形成智慧。知識的主要載體是書本,智慧則形成于經(jīng)驗的過程中,形成于經(jīng)歷的活動中,形成于學(xué)生應(yīng)用知識解決實際問題的教育教學(xué)實踐中。今天我們淺談下數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)中的“邏輯推理”中的“歸納推理”。它主要體現(xiàn)在特殊值情況代替題設(shè)中的普遍條件,得出特殊的結(jié)論,從而在解決問題時做出正確判斷。這種方法叫做“特殊值法”。題目中已知條件中含有某些不確定的量,而題目的結(jié)論是唯一的或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時,可以將變量取一些特殊值或特殊的位置、特殊情況來求出這個定值,從而簡化了推理、論證的過程。這種方法的主要特征是取特例(如特殊值、特殊函數(shù)、特殊角、特殊點、特殊位置等),進(jìn)行合理科學(xué)的判斷——否定或肯定,從而達(dá)到快速解題的目的。

        下面以實例說明特殊值在一些數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。

        3.案例展示

        (1)解題策略——運用函數(shù)模型,靜化動點問題

        例:已知A是雙曲線y=在第一象限上的一動點,連結(jié)AO并延長交另一分支于點B,以AB為邊做等邊三角形ABC,點C在第四象限,已知點C的位置始終在一函數(shù)圖像上運動,則這個函數(shù)解析式為(? ? )

        A.y=-(x>0)? ? ? ? ? B.y=(x>0)

        C.y=-6x(x>0)? ? ? ? ? D.y=6x(x>0)

        [分析]:A為動點,AB為動線??紤]A及AB的特殊位置,使得點A及直線AB為定點和定直線,把動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題。

        解:如右圖,當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為45?紫時;當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時,直線AB為y=x,此時可求出點A(,),∠ACO=30?紫,OC=2,即點C的坐標(biāo)為(,-? ),k=×-=-6,即函數(shù)解析式為y= (x>0)

        解:如下圖,當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為60?紫時;當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時,直線AB為y=x,此時可求出點A(? x,x ),且k=x×x=2。則OA=2x,∠ACO=30?紫,AC=4x,OC=2x,即點C的坐標(biāo)為(3x,- x ),k=3x×- x=-3x2=6,即函數(shù)解析式為y= ?(x>0)

        解:如下圖,當(dāng)AB與x軸正半軸的夾角為30?紫時;當(dāng)直線AB為一三象限的角分線時,直線AB為y= x ,此時可求出點A(x,x ),且k=x×x=2。則OA=2x,∠ACO=30?紫,AC=4x,OC=2x,即點C的坐標(biāo)為(x,-3x ),k= 3x×- x=-3x2=6,即函數(shù)解析式為y= ?(x>0)

        [解析]首先判斷點C的軌跡,若是選擇題,便可直接帶入點去驗證,若本題為填空題,無論特殊點A選在哪里,都會得到一個確定的C點,嘗試兩次即可發(fā)現(xiàn)此軌跡為反比例函數(shù)的一支。代入點求出函數(shù)表達(dá)式。

        (一般證明求解。)

        解:過點A作x軸的垂線交x軸于點E,過點C做x軸的垂線交x軸于點F。

        ∵△ABC是等邊三角形

        ∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=30?紫;

        OC=OA;

        △AOE∽△OCF;

        ===;

        OF=AE,CF=OE;

        ∴OF×CF=3AE×OE=6

        即函數(shù)解析式為:y=(x>0)

        [評析]本題是考查反比例函數(shù)的綜合題。自然解法源于高觀點的統(tǒng)領(lǐng)[1],本題涉及了直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的知識,綜合考查的知識點較多。解答本題的關(guān)鍵是將所學(xué)知識融會貫通。由于本題是選擇題,引導(dǎo)學(xué)生自然化的解決問題,化動點為定線,培養(yǎng)核心素養(yǎng),簡單巧妙地解決問題。此題要想求出函數(shù)解析式,只要求點C函數(shù)軌跡,即點C的橫縱坐標(biāo)。由于此題中點C是一個動點,因此讓直線AB選取特定的位置,選定A、B點C的位置就很容易確定了。若要規(guī)范地證明此題需要一個完整的思考體系,一般的學(xué)生很難得到標(biāo)準(zhǔn)答案。因此在做選擇填空題時,學(xué)生應(yīng)該學(xué)會適當(dāng)?shù)匕盐罩骶€、學(xué)會巧妙化動為定。

        (2)嘗試運用——打破思維定式,尋找最優(yōu)解法

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