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        撥開迷霧看本質(zhì)

        2021-10-21 15:53:40詹嘉玲
        關(guān)鍵詞:定義域端點(diǎn)交點(diǎn)

        詹嘉玲

        【摘要】導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用是歷年來高考數(shù)學(xué)卷中的難點(diǎn)題目,而通過導(dǎo)數(shù)方法解決函數(shù)的單調(diào)性問題為其重要考點(diǎn)之一,尤其是含參單調(diào)性的討論更是高考的熱點(diǎn)問題。本文主要通過分析、總結(jié)近幾年高考真題,對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何開展“含參單調(diào)性的討論”的教學(xué)策略進(jìn)行研究,并提出按照“趨勢→根→端點(diǎn)”的知識(shí)脈絡(luò),形成一個(gè)有章可循、化難為簡、操作性強(qiáng)的解題思路。

        【關(guān)鍵詞】含參單調(diào)性;解題思路

        改革后的新高考提出,要“重思維、重應(yīng)用”,要“以生考熟”,用陌生的問題考查熟悉的知識(shí)。而在學(xué)生眼中,數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)題考查的內(nèi)容就非常陌生——盡是自己不熟悉的函數(shù),這部分內(nèi)容靈活多變,內(nèi)容龐雜,邏輯思維要求高,甚至連答案都看不懂、想不到,所以一說到導(dǎo)數(shù)題,他們都是望而卻步,避之如蛇蝎。

        作為一名一線數(shù)學(xué)教育工作者,我非常想突破這樣的瓶頸。題目再靈活,也有不變的東西,那就是必備知識(shí)和關(guān)鍵能力。事實(shí)上,導(dǎo)數(shù)壓軸題中涉及的概念公式等往往比較少,每一個(gè)考生基本都能理解掌握,真正讓各位考生覺得難以下筆的,其實(shí)是導(dǎo)數(shù)壓軸題中復(fù)雜的式子處理技巧。高考導(dǎo)數(shù)題中,經(jīng)??疾椤坝懻摵瘮?shù)的單調(diào)性”,其實(shí)就是考查學(xué)生能否利用導(dǎo)數(shù)這一工具,剝開函數(shù)復(fù)雜的外衣,找出它與已學(xué)的基本初等函數(shù)之間的聯(lián)系,并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析、認(rèn)識(shí)這個(gè)函數(shù)。而幾乎所有的導(dǎo)數(shù)壓軸題目都是有參數(shù)的,有參數(shù)就會(huì)導(dǎo)致不確定性,必然就會(huì)導(dǎo)致正常的思考受阻。

        然而,在筆者接觸的學(xué)生中,即便完成了“求定義域”“求導(dǎo)”兩個(gè)基本步驟,也難以找到正確的方向?qū)瘮?shù)進(jìn)行進(jìn)一步研究。究其原因,要么沒能看出導(dǎo)函數(shù)與基本初等函數(shù)的聯(lián)系,要么學(xué)了很多的分析方法步驟,卻不知從哪個(gè)方向先下手。

        那么,如果能分析、總結(jié)出一套討論含參單調(diào)性的簡單易上手的“套路”,則可以幫助學(xué)生形成良好的思維模式;也可以培養(yǎng)他們綜合解題能力,使他們?cè)谘芯亢瘮?shù)單調(diào)性時(shí)能夠有的放矢。本文通過研究近幾年高考的導(dǎo)數(shù)題,談?wù)劇昂瑓握{(diào)性的討論”的典型套路。

        在對(duì)需要討論單調(diào)性的函數(shù)進(jìn)行簡單的分析定義域和求導(dǎo)后,最關(guān)鍵的是“繪制出導(dǎo)函數(shù)的圖像”,這是我們建立分析體系的立足點(diǎn)。此時(shí),我們可以對(duì)函數(shù)作如下分析:

        一、討論函數(shù)的“趨勢”

        高考導(dǎo)數(shù)題的導(dǎo)函數(shù),都是立足于已學(xué)的基本初等函數(shù),而對(duì)含有參數(shù)的二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的考察尤為常見。學(xué)生在課堂上已經(jīng)學(xué)習(xí)過如何對(duì)這些函數(shù)及其相關(guān)變形進(jìn)行初步的認(rèn)識(shí),其中,研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)該是第一步,學(xué)生可從導(dǎo)函數(shù)的最高次系數(shù)下手,如二次函數(shù)最高次系數(shù)會(huì)影響其開口方向,指數(shù)函數(shù)前的系數(shù)的正負(fù)會(huì)影響其單調(diào)性等等:

        【2017年新課標(biāo)Ⅰ卷,理21】已知函數(shù).

        (1)討論的單調(diào)性;

        解:(1)的定義域?yàn)?,?/p>

        (ⅰ)若,則,所以在單調(diào)遞減。

        (ⅱ)若,則由得。

        當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增。

        評(píng)析:通過求導(dǎo),將看作,同時(shí)將看成自變量(經(jīng)常采用換元法:令),便可發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)最高次系數(shù)不確定的仿二次函數(shù)(若不為0)。

        由于最高次系數(shù)的不確定性,對(duì)其進(jìn)行分類討論,在學(xué)生對(duì)方法還不夠熟悉的情況下,可以引導(dǎo)他們將其簡單分為:①系數(shù)=0;②系數(shù)<0;③系數(shù)>0三類,最后再將相似的情況加以合并即可。

        二、討論的“根”

        確定好導(dǎo)函數(shù)的“趨勢”之后,如何進(jìn)一步繪制出導(dǎo)函數(shù)的圖像呢?這時(shí)我們應(yīng)當(dāng)考慮這個(gè)函數(shù)的圖像與軸是否有交點(diǎn),有幾個(gè)交點(diǎn),這些交點(diǎn)之間的擺放次序應(yīng)當(dāng)是怎樣的。于是又有了以下討論:

        1.根是否存在(是否能因式分解)

        【2017課標(biāo)1,文21】已知函

        (1)討論的單調(diào)性;

        解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,?/p>

        ①若,則由得。

        當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增。

        ②若,則由得。

        當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增。

        ③若,則,在單調(diào)遞增。

        評(píng)析:求導(dǎo)后,開始套用解題模板:

        趨勢:依然可以將將看作,那么導(dǎo)函數(shù)可以看作一個(gè)開口向上的二次函數(shù);

        根:為了進(jìn)一步繪制出導(dǎo)函數(shù)圖像,學(xué)生可以通過令求出它的兩個(gè)根,分別是和,但這種寫法就會(huì)引發(fā)思考:根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0的原理,我們知道

        ①存在的前提是,此時(shí)不存在,即“”這一部分為正,不影響對(duì)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的判斷,學(xué)生只需繪制的圖像,即可通過分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性;

        ②存在的前提是,分析方法同(1);

        ③當(dāng)時(shí),這兩個(gè)根都不存在,此時(shí),這個(gè)“二次函數(shù)”與軸不存在交點(diǎn),根據(jù)開口方向,可得。

        這樣,通過根的真數(shù)形式,觸發(fā)學(xué)生對(duì)導(dǎo)函數(shù)的“根是否存在”的思考,可以清晰明確地確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn),減輕學(xué)生對(duì)此類題目的恐懼感。

        2.兩根大小

        如果確定了導(dǎo)函數(shù)與軸的交點(diǎn)都是存在的,那么是不是就可以直接繪制導(dǎo)函數(shù)圖像了呢?讓我們來看看下面這道高考題:

        【2016課標(biāo)1,21】已知函

        (1)討論的單調(diào)性;

        解: (I)

        (i)設(shè),則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。

        所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增。

        (ii)設(shè),由得x=1或x=ln(-2a)。

        ①若,則,所以在單調(diào)遞增。

        ②若,則ln(-2a)<1,時(shí),;

        當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減。

        ③若,則,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減。

        評(píng)析:這一題乍看之下比較復(fù)雜,分類情況達(dá)到4種,讓我們來研究下它的本質(zhì):

        (1)趨勢:求導(dǎo)后向?qū)W生強(qiáng)調(diào)要提取公因式,得到,這樣方便后續(xù)的分析和處理。這個(gè)函數(shù)式子結(jié)構(gòu)非常特殊,并不是學(xué)生學(xué)過的基本初等函數(shù),但仿照前面我們可以先研究它的“趨勢”:我們發(fā)現(xiàn)這一部分的圖像事實(shí)上是通過函數(shù)的圖像上下平移得到,二者圖像“趨勢”相同,都是在上單調(diào)遞增,而這個(gè)“趨勢”跟的趨勢也是相似的。也就是說,可以近似的看成開口向上的二次函數(shù),“趨勢”是確定的,不需要討論。

        (2)根:考慮完“趨勢”后,就要看看這個(gè)函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)問題。通過令求出它的兩個(gè)根,分別是或,經(jīng)過前面的學(xué)習(xí)可以知道,存在的前提是,也就產(chǎn)生了對(duì)“根是否存在”的分類討論:

        (i)由前面可知,當(dāng),“”恒正,不影響導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),只需繪制出的圖像,即可得原函數(shù)的單調(diào)性;

        (ii)當(dāng)時(shí),兩根和都有意義,那么是否可以直接繪制導(dǎo)函數(shù)的圖像了呢?答案是否定的。由于兩根的大小并不確定,畫圖時(shí)就帶來了圖像與x軸的交點(diǎn)如何放置的問題,于是又引發(fā)了新的討論:

        ①當(dāng),即時(shí),導(dǎo)函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí);

        ②當(dāng),即時(shí),導(dǎo)函數(shù)圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn),且大小確定,可以分析繪制出導(dǎo)函數(shù)圖像;

        ③當(dāng),即時(shí),分析方法與②類似。

        盡管題目看起來相對(duì)復(fù)雜,但通過強(qiáng)化“趨勢→交點(diǎn)”的思路來分析、繪制導(dǎo)函數(shù)的圖像,層層剖析,化繁為簡,最終簡潔高效地解決問題。

        三、討論函數(shù)(定義域的)“端點(diǎn)”

        在前面的分析中,我們討論的都是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的單調(diào)性,但高中階段學(xué)生還學(xué)習(xí)了指、對(duì)、冪、三角函數(shù),其中,對(duì)數(shù)函數(shù)更是命題者的“寵兒”。對(duì)于含對(duì)數(shù)的函數(shù)的討論,關(guān)鍵就是要注意其定義域的限制,那么,在研究單調(diào)性方面又有什么方法技巧呢?讓我們一起來看下面這道題:

        【2018年新課標(biāo)Ⅰ卷,21】已知函數(shù)。

        (1)討論的單調(diào)性;

        解:(1)的定義域?yàn)?,?/p>

        (i)若,則,所以在單調(diào)遞減。

        (ii)若,令得,或。

        當(dāng)

        ∈(,)∪(,+)時(shí),;

        當(dāng)時(shí),。

        所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增。

        評(píng)析:此題看似較為常規(guī),導(dǎo)函數(shù)是學(xué)生非常熟悉的二次函數(shù),但答案看起來無從下手,為何一上來就分析≤?別急,按照前面“趨勢→根”的套路來分析:

        (1)趨勢:開口向下,無需討論;

        (2)根:導(dǎo)函數(shù)無法進(jìn)行因式分解,故通過求根公式求的根,而求根公式就需先討論判別式的符號(hào)問題,即“根是否存在”:

        (i)當(dāng),即,導(dǎo)函數(shù)圖像與軸沒有交點(diǎn)或僅一個(gè)交點(diǎn),則;

        (ii)當(dāng),即,此時(shí)有兩個(gè)不同的根,分別為,,且,大小無需討論,導(dǎo)函數(shù)圖像基本確定。

        那么,這是否意味著討論結(jié)束呢?并不然。通過觀察可知,函數(shù)的定義域?yàn)?,而?dǎo)函數(shù)兩個(gè)根與定義域端點(diǎn)0的大小關(guān)系還未確定,于是又引入了對(duì)“端點(diǎn)”的討論:

        (3)端點(diǎn):由于根的形式比較復(fù)雜,這里利用根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)兩根與0的大小關(guān)系進(jìn)行判斷更為方便,由于,可得同號(hào),所以:

        ①當(dāng),均為負(fù),此時(shí),所以在單調(diào)遞減;

        ②當(dāng),均為正,此時(shí)

        當(dāng)時(shí),;

        當(dāng)時(shí),。

        看似簡單的二次函數(shù),后面隱藏著并不簡單的討論過程,但按照“趨勢→根→端點(diǎn)”的解題套路,可以一步步撥開導(dǎo)函數(shù)復(fù)雜的外衣,準(zhǔn)確高效地找到思路,不重不漏地進(jìn)行分析討論。因此,學(xué)生需要在平時(shí)做題時(shí)注重積累和強(qiáng)化思想方法,厘清討論函數(shù)單調(diào)性的基本順序和過程,這樣才能舉一反三,融會(huì)貫通,真正做到會(huì)一題,通一類。

        由于導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的龐雜性,在教學(xué)過程中,應(yīng)幫助學(xué)生將零散的知識(shí)系統(tǒng)化,形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu):引導(dǎo)學(xué)生理清知識(shí)發(fā)生的過程,幫助他們理解問題的一般規(guī)律,滲透分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的思想,掌握解決問題的通性通法。一般在教學(xué)的初始階段筆者會(huì)通過思維導(dǎo)圖的方式幫助學(xué)生快速地理清解題的思路:

        不管導(dǎo)函數(shù)的形式有多么復(fù)雜多變,只要通過這樣“趨勢→根→端點(diǎn)”的簡單的思維過程,就能對(duì)導(dǎo)函數(shù)從本質(zhì)上進(jìn)行整合,這樣的解題套路思路清晰,操作性強(qiáng),讓含參單調(diào)性的討論變得有章可循,有助于學(xué)生快速找準(zhǔn)解題思路,提高教學(xué)復(fù)習(xí)的效率。

        但在教學(xué)的中后期,應(yīng)將學(xué)習(xí)活動(dòng)的“C位”交還給學(xué)生,讓他們掌握自己學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán),通過自己梳理知識(shí),不斷地發(fā)現(xiàn)和解決問題。比如鼓勵(lì)學(xué)生通過學(xué)習(xí)積累,對(duì)思維導(dǎo)圖進(jìn)行進(jìn)一步的細(xì)化和完善,進(jìn)而促使更加靈活自如地對(duì)思維和方法進(jìn)行遷移,促進(jìn)學(xué)科素養(yǎng)的達(dá)成。

        總而言之,含參單調(diào)性的討論是對(duì)數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸等思想方法的綜合考查,是對(duì)基于學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向下的關(guān)鍵能力和必備知識(shí)的考查,盡管題目靈活多變,但只要學(xué)生抓準(zhǔn)“趨勢→根→端點(diǎn)”的總體知識(shí)脈絡(luò),扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)觸類旁通,融會(huì)貫通,以不變應(yīng)萬變,便能撥開迷霧,窺探本質(zhì),覓得真知!

        參考文獻(xiàn):

        [1]教育部考試中心.中國高考評(píng)價(jià)體系說明[M].北京:人民教育出版社,2019:32-35.

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